2.4 Ulikheter

Mer enn bare "er lik"

Hittil har vi jobbet med likninger -- utsagn om at to ting er like. Men i virkeligheten er ting sjelden nøyaktig like. "Du må tjene minst 300 000 for å få lån." "Ballen er i luften i mindre enn 4 sekunder." "Temperaturen er mellom -5 og 10 grader."

Alle disse er ulikheter -- matematiske utsagn om at noe er større enn, mindre enn, eller i et bestemt område. I dette kapittelet skal vi lære å løse dem, og vi skal oppdage at det finnes én viktig felle som du absolutt må passe deg for!

Førstegradsulikheter og den viktige regelen

En ulikhet bruker symbolene $<$ (mindre enn), $>$ (større enn), $\leq$ (mindre enn eller lik) og $\geq$ (større enn eller lik).

Vi løser ulikheter nesten på samme måte som likninger -- vi kan legge til, trekke fra, gange og dele på begge sider. Men her kommer den kritiske regelen:

Når vi ganger eller deler med et negativt tall, må vi snu ulikhetstegnet!

Hvorfor? Tenk på talllinjen. $2 < 5$, men gang begge med $-1$: $-2 > -5$. Negativ multiplikasjon snur rekkefølgen!

La oss løse $3x - 7 > 8$. Legger til 7: $3x > 15$. Deler på 3 (positivt, ingen snuing): $x > 5$.

Nå: $-2x + 5 \leq 11$. Trekker fra 5: $-2x \leq 6$. Deler på $-2$ (negativt, snur tegnet!): $x \geq -3$.

Enda et eksempel: $5 - 2x \geq 13$. Trekker fra 5: $-2x \geq 8$. Deler på $-2$ (snur!): $x \leq -4$.

$3(x - 2) < 2(x + 1)$ gir $3x - 6 < 2x + 2$, altså $x < 8$.

$\displaystyle \frac{x - 1}{3} \leq 2$ gir $x - 1 \leq 6$, altså $x \leq 7$.

Løsningen av en ulikhet er ikke ett tall, men et intervall -- en hel mengde tall som oppfyller betingelsen.

Doble ulikheter -- tall mellom to grenser

Noen ganger trenger vi å uttrykke at $x$ ligger mellom to verdier. For eksempel: "temperaturen er mellom $-3$ og $7$ grader." Matematisk skriver vi $-3 < x \leq 7$.

En dobbel ulikhet som $-3 < 2x + 1 \leq 7$ løses ved å gjøre det samme på alle tre "leddene" samtidig.

Trekker fra 1 fra alle ledd: $-4 < 2x \leq 6$. Deler på 2: $-2 < x \leq 3$.

Løsningen er alle $x$ slik at $x$ er større enn $-2$ og mindre enn eller lik 3.

La oss ta flere eksempler:

$1 < 3x - 2 < 10$: Legger til 2: $3 < 3x < 12$. Deler på 3: $1 < x < 4$.

$-5 \leq 2x + 3 \leq 9$: Trekker fra 3: $-8 \leq 2x \leq 6$. Deler på 2: $-4 \leq x \leq 3$.

$-2 < 1 - x < 5$: Trekker fra 1: $-3 < -x < 4$. Ganger med $-1$ (snur begge tegnene!): $-4 < x < 3$.

Pass spesielt på den siste! Når vi ganger med $-1$, snur vi begge ulikhetstegnene, og vi snur også rekkefølgen.

Andregradsulikheter og fortegnsskjema

Nå tar vi steget opp til andregradsulikheter -- ulikheter med $x^2$. For å løse disse bruker vi fortegnsskjema.

Ta $x^2 - 4x - 5 > 0$. Fremgangsmåten er:

1. Faktoriser: $(x - 5)(x + 1) > 0$
2. Finn nullpunktene: $x = 5$ og $x = -1$
3. Tegn fortegnsskjema: Del talllinjen i tre intervaller: $x < -1$, $-1 < x < 5$, og $x > 5$.
4. Bestem fortegnet i hvert intervall:
- For $x < -1$: $(x - 5)$ er negativ og $(x + 1)$ er negativ. $(-)(-) = +$ (positiv)
- For $-1 < x < 5$: $(x - 5)$ er negativ og $(x + 1)$ er positiv. $(-)(+) = -$ (negativ)
- For $x > 5$: $(x - 5)$ er positiv og $(x + 1)$ er positiv. $(+)(+) = +$ (positiv)
5. Les av: Vi vil ha $> 0$ (positivt), altså $x < -1$ eller $x > 5$.

For $x^2 - 9 > 0 = (x+3)(x-3) > 0$: positivt når $x < -3$ eller $x > 3$.

For $x^2 - 2x - 8 \leq 0 = (x-4)(x+2) \leq 0$: negativt (eller null) når $-2 \leq x \leq 4$.

Et spesialtilfelle: $x^2 - 6x + 9 \geq 0 = (x-3)^2 \geq 0$. Et kvadrat er alltid $\geq 0$, så løsningen er alle reelle tall!

Praktiske anvendelser av ulikheter

Ulikheter er perfekte for å modellere situasjoner med grenser og krav.

Ballkast: En ball kastes opp med høyde $h(t) = -5t^2 + 20t$ meter etter $t$ sekunder. Når er ballen høyere enn 15 meter?

$-5t^2 + 20t > 15$, altså $-5t^2 + 20t - 15 > 0$. Deler på $-5$ (snur tegnet!): $t^2 - 4t + 3 < 0$, som faktoriseres til $(t - 1)(t - 3) < 0$. Løsning: $1 < t < 3$. Ballen er over 15 meter mellom 1 og 3 sekunder.

Arealoppgave: Et rektangel med bredde $x$ og lengde $(x + 4)$ skal ha minst 45 cm$^2$. $x(x + 4) \geq 45$, altså $x^2 + 4x - 45 \geq 0$, som gir $(x + 9)(x - 5) \geq 0$. Siden $x > 0$ (bredde er positiv): $x \geq 5$.

Fortjeneste: En produsent har fortjeneste $P(x) = -2x^2 + 100x - 800$ kr ved salg av $x$ enheter. Når er fortjenesten positiv? $-2x^2 + 100x - 800 > 0$, deler på $-2$ (snur!): $x^2 - 50x + 400 < 0$, som gir $(x - 10)(x - 40) < 0$. Løsning: $10 < x < 40$. Produsenten må selge mellom 10 og 40 enheter for å gå med overskudd.

Merk at den viktigste fellen i alle disse er å huske å snu ulikhetstegnet når vi deler med negativt tall!

Oppsummering

Ulikheter bruker symbolene $<$, $>$, $\leq$ og $\geq$ og løses som likninger, men med én kritisk regel: snu ulikhetstegnet når du ganger eller deler med negativt tall.

Doble ulikheter som $a < bx + c < d$ løses ved å gjøre det samme på alle tre ledd.

Andregradsulikheter løses med fortegnsskjema: faktoriser, finn nullpunkter, bestem fortegn i hvert intervall, og les av løsningen.

Løsningen av en ulikhet er alltid et intervall (eller en forening av intervaller), ikke et enkelt tall. Ulikheter er nyttige for å modellere situasjoner med grenser, krav og begrensninger.