3.1 Lineære funksjoner | Matematikk 10. klasse

Egenskaper til lineære funksjoner, stigningstall og skjæringspunkter.

50 min

14 oppgaver

Lineær funksjonStigningstallKonstantleddSkjæringspunkt

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

3.2Andregradsfunksjoner 3.4Regresjon

Innledning

En lineær funksjon er en funksjon der grafen er en rett linje. Lineære funksjoner brukes til å modellere situasjoner der noe øker eller minker jevnt, for eksempel:
- Prisen på en taxi som øker med antall kilometer
- Temperaturen som synker jevnt utover natten
- Lønn som øker med antall timer du jobber

I dette kapittelet skal vi lære om stigningstall, konstantledd, og hvordan vi finner skjæringspunkter mellom linjer.

Lineær funksjon

f(x) = ax + b

Stigningstall

Stigningstallet $a$ forteller oss hvor bratt linjen er:
- Hvis $a > 0$ : Linjen stiger (går oppover mot høyre)
- Hvis $a < 0$ : Linjen synker (går nedover mot høyre)
- Hvis $a = 0$ : Linjen er horisontal

Beregne stigningstall mellom to punkter:

Hvis vi har to punkter $(x_1, y_1)$ og $(x_2, y_2)$ , kan vi beregne stigningstallet:

$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

✏️Eksempel 1: Finn stigningstall og konstantledd

Finn stigningstall og konstantledd for funksjonene:

a) $f(x) = 3x + 5$
b) $g(x) = -2x + 7$
c) $h(x) = 4x$
d) $k(x) = -3$

Løsning:

a) $f(x) = 3x + 5$
- Stigningstall $a = 3$
- Konstantledd $b = 5$

b) $g(x) = -2x + 7$
- Stigningstall $a = -2$
- Konstantledd $b = 7$

c) $h(x) = 4x$
- Stigningstall $a = 4$
- Konstantledd $b = 0$ (linjen går gjennom origo)

d) $k(x) = -3$
- Stigningstall $a = 0$ (horisontal linje)
- Konstantledd $b = -3$

📝Oppgave 1

Finn stigningstall og konstantledd for hver funksjon.

f(x) = 2x + 3

g(x) = -4x + 1

h(x) = 5x - 2

k(x) = -x + 8

m(x) = 7

n(x) = -3x

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave F1

Finn feilen! Liam har skrevet:

$f(x) = 3x + 5$ har stigningstall $5$ og konstantledd $3$ .

Finn feilen og skriv riktig svar.

✏️Eksempel 2: Beregne stigningstall fra to punkter

Finn stigningstallet for linjen som går gjennom punktene:

a) $(2, 5)$ og $(4, 11)$
b) $(1, 8)$ og $(3, 2)$

Løsning:

a) $(2, 5)$ og $(4, 11)$
$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{11 - 5}{4 - 2} = \frac{6}{2} = 3$

b) $(1, 8)$ og $(3, 2)$
$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 8}{3 - 1} = \frac{-6}{2} = -3$

📝Oppgave 2

Finn stigningstallet for linjen som går gjennom punktene.

(1, 3)

(4, 9)

(2, 7)

(5, 1)

(0, 4)

(3, 10)

(-1, 5)

(2, -4)

Løs oppgaven Tren

Finne funksjonsuttrykket

For å finne funksjonsuttrykket $f(x) = ax + b$ når vi kjenner to punkter:

1. Beregn stigningstallet $a$ fra de to punktene
2. Sett inn ett av punktene i $f(x) = ax + b$ for å finne $b$

✏️Eksempel 3: Finne funksjonsuttrykket

Finn funksjonsuttrykket for linjen som går gjennom punktene $(1, 5)$ og $(3, 11)$ .

Løsning:

Steg 1: Finn stigningstallet
$a = \frac{11 - 5}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$

Steg 2: Sett inn punktet $(1, 5)$ i $f(x) = 3x + b$
$5 = 3 \cdot 1 + b$
$5 = 3 + b$
$b = 2$

Svar: $f(x) = 3x + 2$

📝Oppgave 3

Finn funksjonsuttrykket for linjen som går gjennom punktene.

(2, 7)

(4, 13)

(1, 10)

(3, 4)

(0, -2)

(5, 8)

(-2, 1)

(4, 7)

Løs oppgaven Tren

Nullpunkt

Nullpunktet er der grafen krysser $x$ -aksen, altså der $f(x) = 0$ .

For å finne nullpunktet løser vi likningen:
$ax + b = 0$
$x = -\frac{b}{a}$

✏️Eksempel 4: Finne nullpunkt

Finn nullpunktet for funksjonene:

a) $f(x) = 2x + 6$
b) $g(x) = -3x + 9$

Løsning:

a) $f(x) = 2x + 6$
$2x + 6 = 0$
$2x = -6$
$x = -3$
Nullpunkt: $(-3, 0)$

b) $g(x) = -3x + 9$
$-3x + 9 = 0$
$-3x = -9$
$x = 3$
Nullpunkt: $(3, 0)$

📝Oppgave 4

Finn nullpunktet for funksjonene.

f(x) = 4x + 8

g(x) = -2x + 10

h(x) = 5x - 15

k(x) = -x + 7

Løs oppgaven Tren

Skjæringspunkt mellom linjer

For å finne skjæringspunktet mellom to linjer $f(x) = a_1x + b_1$ og $g(x) = a_2x + b_2$ :

1. Sett $f(x) = g(x)$
2. Løs likningen for å finne $x$
3. Sett $x$ -verdien inn i en av funksjonene for å finne $y$

✏️Eksempel 5: Skjæringspunkt mellom linjer

Finn skjæringspunktet mellom $f(x) = 2x + 1$ og $g(x) = -x + 10$ .

Løsning:

Steg 1: Sett $f(x) = g(x)$
$2x + 1 = -x + 10$

Steg 2: Løs likningen
$2x + x = 10 - 1$
$3x = 9$
$x = 3$

Steg 3: Finn $y$ -verdi
$f(3) = 2 \cdot 3 + 1 = 7$

Svar: Skjæringspunktet er $(3, 7)$

📝Oppgave 5

Finn skjæringspunktet mellom linjene.

f(x) = x + 2

g(x) = 3x - 4

f(x) = 2x + 5

g(x) = -x + 11

f(x) = -3x + 12

g(x) = x

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Tegn grafene til funksjonene i GeoGebra og finn skjæringspunktene.

Tegn $f(x) = 2x - 3$ og $g(x) = -x + 6$ . Finn skjæringspunktet.

Tegn $f(x) = 0.5x + 1$ og $g(x) = -2x + 11$ . Finn skjæringspunktet.

Praktiske anvendelser

Lineære funksjoner brukes ofte til å modellere situasjoner i dagliglivet:
- Taxi-pris: Fast startpris + pris per kilometer
- Mobilabonnement: Fast månedspris + pris per minutt/SMS
- Lønn: Fast timelønn ganger antall timer

✏️Eksempel 6: Taxi-pris

En taxi koster 50 kr i oppstart og 15 kr per kilometer.

a) Sett opp en funksjon $P(x)$ for prisen der $x$ er antall kilometer.
b) Hva koster en tur på 8 km?
c) Hvor langt kan du kjøre for 200 kr?

Løsning:

a) $P(x) = 15x + 50$

b) $P(8) = 15 \cdot 8 + 50 = 120 + 50 = 170$ kr

c) $200 = 15x + 50$
$15x = 150$
$x = 10$ km

📝Oppgave 7

En telefontjeneste koster 30 kr i måneden pluss 1,50 kr per SMS.

Sett opp en funksjon $K(x)$ for månedskostnaden der $x$ er antall SMS.

Hva blir månedskostnaden hvis du sender 80 SMS?

Hvor mange SMS kan du sende hvis du har budsjett på 75 kr?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Et vannbasseng inneholder 500 liter vann. Det tappes ut 20 liter per minutt.

Sett opp en funksjon $V(t)$ for vannmengden etter $t$ minutter.

Hvor mye vann er igjen etter 10 minutter?

Når er bassenget tomt?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

To venner skal møtes. Anna starter hjemmefra klokken 12:00 og går mot byen med 5 km/t. Bjørn starter fra byen klokken 12:00 og går mot Anna med 4 km/t. Avstanden mellom dem er 18 km.

Sett opp en funksjon $A(t)$ for Annas avstand fra hjemmet etter $t$ timer.

Sett opp en funksjon $B(t)$ for Bjørns avstand fra Annas hjem etter $t$ timer.

Når møtes de, og hvor langt fra Annas hjem?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

To mobilabonnementer tilbys:

Abonnement A koster 99 kr/mnd + 0,50 kr per SMS. Abonnement B koster 149 kr/mnd med gratis SMS. Sett opp funksjoner for begge.

Ved hvor mange SMS per måned er abonnementene like dyre?

Hvilket abonnement lønner seg hvis du sender 150 SMS per måned?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

Les av stigningstall og konstantledd fra grafene.

En linje går gjennom $(0, 3)$ og $(2, 7)$

En linje går gjennom $(0, 5)$ og $(4, 1)$

En linje går gjennom $(0, -2)$ og $(3, 4)$

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

Temperaturutvikling

Klokken 06:00 er temperaturen 8°C. Temperaturen stiger med 2°C per time. Sett opp en funksjon $T(t)$ der $t$ er antall timer etter kl. 06:00.

Hva er temperaturen klokken 12:00?

Når er temperaturen 24°C?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 13

En bedrift produserer varer. Produksjonskostnaden er gitt ved $K(x) = 50x + 2000$ kr, der $x$ er antall enheter. Salgsinntekten er $I(x) = 80x$ kr.

Forklar hva tallene 50, 2000 og 80 betyr i denne sammenhengen.

Ved hvor mange solgte enheter går bedriften i null (break-even)?

Hva er fortjenesten ved salg av 100 enheter?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 14

Avansert: Parallelle og vinkelrette linjer

To linjer er parallelle når de har samme stigningstall. Finn $k$ slik at $f(x) = 3x + 2$ og $g(x) = kx - 5$ er parallelle.

Finn funksjonsuttrykket for linjen som er parallell med $f(x) = 2x + 3$ og går gjennom punktet $(4, 5)$ .

Finn funksjonsuttrykket for linjen som går gjennom origo og punktet $(3, -6)$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave D1

Drøftingsoppgave: To mobilabonnementer har funksjonsuttrykkene

A(x) = 0{,}80x + 50

B(x) = 0{,}40x + 120

, der

x

er antall minutter per måned. En elev påstår at abonnement A alltid er billigst fordi det har lavere fastpris. Har eleven rett? Begrunn svaret ditt med beregninger og forklar hva stigningstallet og konstantleddet betyr i denne sammenhengen.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Lineær funksjon: En funksjon på formen $f(x) = ax + b$ , der $a$ er stigningstallet og $b$ er konstantleddet
- Stigningstall: Beregnes mellom to punkter med $\displaystyle a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ , og forteller hvor mye $y$ endrer seg når $x$ øker med 1
- Finne funksjonsuttrykk: Beregn stigningstallet fra to punkter, sett inn ett punkt for å finne $b$
- Nullpunkt: Der grafen krysser $x$ -aksen, finnes ved å sette $f(x) = 0$
- Skjæringspunkt: Mellom to linjer finnes ved å sette $f(x) = g(x)$ og løse for $x$

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Stigningstall ( $a$ )	Hvor mye $y$ øker når $x$ øker med 1
Konstantledd ( $b$ )	Der grafen krysser $y$ -aksen
Nullpunkt	Der grafen krysser $x$ -aksen ( $f(x) = 0$ )
Skjæringspunkt	Punkt der to grafer møtes

Viktige formler

f(x) = ax + b

(lineær funksjon)
-

\displaystyle a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

(stigningstall)
-

\displaystyle x = -\frac{b}{a}

(nullpunkt)

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.