3.1 Lineære funksjoner

Rette linjer overalt

Tenk deg at du bestiller en taxi. Det koster 50 kroner bare å sette deg inn, og deretter 15 kroner for hver kilometer du kjører. Jo lenger du kjører, desto mer koster det -- men økningen er helt jevn. Kjører du 1 kilometer til, koster det alltid 15 kroner mer. Denne typen jevn, forutsigbar vekst er kjennetegnet på en lineær funksjon.

En lineær funksjon har formen $f(x) = ax + b$, og grafen er alltid en rett linje. Her er $a$ det vi kaller stigningstallet, og det forteller hvor bratt linjen er -- altså hvor mye $y$-verdien endrer seg for hver gang $x$ øker med 1. Tallet $b$ er konstantleddet, og det forteller oss hvor linjen krysser $y$-aksen, altså verdien av $f(0)$. Taxien vår kan skrives som $P(x) = 15x + 50$, der stigningstallet 15 er prisen per kilometer og konstantleddet 50 er startprisen.

Lineære funksjoner dukker opp overalt i hverdagen: lønnen som øker med antall timer du jobber, temperaturen som synker jevnt gjennom natten, og mobilregningen som vokser med antall SMS du sender.

Stigningstallet -- hvor bratt er linjen?

Stigningstallet $a$ er nøkkelen til å forstå hvordan en lineær funksjon oppfører seg. Hvis $a$ er positiv, stiger linjen -- den går oppover mot høyre. Hvis $a$ er negativ, synker linjen. Og hvis $a = 0$, er linjen helt flat, altså horisontal.

Men hvordan finner vi stigningstallet når vi bare kjenner to punkter på linjen? Da bruker vi formelen:

$$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

La oss si at vi kjenner punktene $(2, 5)$ og $(4, 11)$. Da regner vi: $\displaystyle a = \frac{11 - 5}{4 - 2} = \frac{6}{2} = 3$. Stigningstallet er 3, som betyr at $y$ øker med 3 for hver gang $x$ øker med 1.

For å finne hele funksjonsuttrykket fra to punkter følger vi to steg. Først beregner vi stigningstallet $a$. Deretter setter vi inn ett av punktene for å finne $b$. For eksempel, med punktene $(1, 5)$ og $(3, 11)$: vi finner $a = 3$, setter inn $(1, 5)$ i $f(x) = 3x + b$, og får $5 = 3 \cdot 1 + b$, som gir $b = 2$. Funksjonen er $f(x) = 3x + 2$.

Nullpunkt og skjæringspunkter

Nullpunktet er det punktet der grafen krysser $x$-aksen, altså der funksjonsverdien er null. For å finne det setter vi $f(x) = 0$ og løser likningen. Ta for eksempel $f(x) = 2x + 6$: vi setter $2x + 6 = 0$, som gir $2x = -6$ og dermed $x = -3$. Nullpunktet er altså $(-3, 0)$.

Skjæringspunktet mellom to linjer finner vi ved å sette funksjonene lik hverandre. Tenk deg at vi har $f(x) = 2x + 1$ og $g(x) = -x + 10$. Vi setter $2x + 1 = -x + 10$ og løser: $3x = 9$, altså $x = 3$. Vi setter inn: $f(3) = 2 \cdot 3 + 1 = 7$. Skjæringspunktet er $(3, 7)$.

Denne teknikken er utrolig nyttig i praksis! Tenk deg at du skal velge mellom to mobilabonnementer. Abonnement A koster 99 kr i måneden pluss 0,50 kr per SMS, mens Abonnement B koster 149 kr med gratis SMS. Da setter vi opp $A(x) = 0{,}50x + 99$ og $B(x) = 149$, og finner at de er like dyre ved $0{,}50x + 99 = 149$, som gir $x = 100$ SMS. Sender du mer enn 100 SMS, lønner B seg.

Praktiske anvendelser

La oss se på et par eksempler som viser hvor nyttige lineære funksjoner er. Et vannbasseng inneholder 500 liter vann, og det tappes ut 20 liter per minutt. Vannmengden kan beskrives av $V(t) = -20t + 500$. Her er stigningstallet negativt fordi vannet minker. Etter 10 minutter er det $V(10) = -20 \cdot 10 + 500 = 300$ liter igjen. Bassenget er tomt når $V(t) = 0$, altså $-20t + 500 = 0$, som gir $t = 25$ minutter.

Eller tenk på to venner som går mot hverandre. Anna starter hjemmefra og går med 5 km/t: $A(t) = 5t$. Bjørn starter 18 km unna og går mot Anna med 4 km/t: $B(t) = 18 - 4t$. De møtes når $5t = 18 - 4t$, som gir $9t = 18$ og $t = 2$ timer. Da har Anna gått $5 \cdot 2 = 10$ km. Parallelle linjer har samme stigningstall men ulike konstantledd -- de møtes aldri.

Oppsummering

En lineær funksjon har formen $f(x) = ax + b$ der $a$ er stigningstallet og $b$ er konstantleddet. Stigningstallet forteller hvor bratt linjen er og om den stiger eller synker. Konstantleddet er der linjen krysser $y$-aksen. For å finne funksjonsuttrykket fra to punkter beregner du først stigningstallet med $\displaystyle a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, og deretter konstantleddet ved å sette inn et punkt. Nullpunktet finner du ved å sette $f(x) = 0$, og skjæringspunktet mellom to linjer finner du ved å sette dem lik hverandre. Lineære funksjoner er et kraftig verktøy for å modellere situasjoner med jevn vekst eller nedgang.