2.2 Andregradslikninger

Fra linjer til parabler

Førstegradslikninger ga oss rette linjer og én løsning. Nå tar vi steget opp til andregradslikninger, der den ukjente opptrer i andre potens: $x^2$. Disse likningene beskriver parabler, og de kan ha to løsninger, én løsning, eller ingen løsning i det hele tatt!

Tenk deg at du kaster en ball i luften. Banen ballen følger er en parabel, og spørsmålet "når treffer ballen bakken?" er egentlig en andregradslikning. La oss lære å løse dem.

Løsning ved faktorisering

En andregradslikning har formen $ax^2 + bx + c = 0$ der $a \neq 0$. Den enkleste måten å løse den på er faktorisering -- det vi lærte i forrige kapittel.

Ta $x^2 - 5x + 6 = 0$. Vi faktoriserer: $(x - 2)(x - 3) = 0$. Nå bruker vi nullpunktregelen: et produkt er null hvis og bare hvis minst én av faktorene er null. Altså er $x - 2 = 0$ eller $x - 3 = 0$, som gir $x = 2$ eller $x = 3$. To løsninger!

For $x^2 - 9 = 0$ bruker vi konjugatsetningen: $(x + 3)(x - 3) = 0$, som gir $x = -3$ eller $x = 3$.

For $x^2 + 6x + 9 = 0$ bruker vi kvadratsetningen: $(x + 3)^2 = 0$, som gir $x = -3$. Bare én løsning -- en dobbeltrot. Geometrisk betyr dette at parabelen bare tangerer $x$-aksen.

La oss prøve $x^2 + 7x + 12 = 0$: tallene 3 og 4 ganget gir 12 og summert gir 7, så $(x + 3)(x + 4) = 0$, og $x = -3$ eller $x = -4$.

abc-formelen -- universalverktøyet

Ikke alle andregradslikninger lar seg faktorisere like enkelt. Heldigvis har vi et universalverktøy: abc-formelen (også kalt løsningsformelen for andregradslikninger):

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Her er $a$, $b$ og $c$ koeffisientene i $ax^2 + bx + c = 0$. Det lille symbolet $\pm$ betyr "pluss eller minus", som gir oss potensielt to løsninger.

Uttrykket under rottegnet, $D = b^2 - 4ac$, kalles diskriminanten, og den forteller oss alt:
- $D > 0$: To ulike løsninger
- $D = 0$: Én løsning (dobbeltrot)
- $D < 0$: Ingen reelle løsninger

La oss ta $2x^2 - 5x - 3 = 0$. Her er $a = 2$, $b = -5$, $c = -3$.

$$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{5 \pm 7}{4}$$

Altså $\displaystyle x_1 = \frac{5 + 7}{4} = 3$ eller $\displaystyle x_2 = \frac{5 - 7}{4} = -\frac{1}{2}$.

For $x^2 - 6x + 9 = 0$: $D = 36 - 36 = 0$, så $\displaystyle x = \frac{6}{2} = 3$ (dobbeltrot).

Nullpunkter til andregradsfunksjoner

Å finne nullpunktene til en funksjon $f(x) = ax^2 + bx + c$ betyr å finne hvor grafen krysser $x$-aksen. Det er punktene der $f(x) = 0$ -- altså å løse en andregradslikning!

Ta $f(x) = x^2 - 2x - 8$. Vi setter $f(x) = 0$: $x^2 - 2x - 8 = 0$. Faktoriserer: $(x - 4)(x + 2) = 0$. Nullpunktene er $(-2, 0)$ og $(4, 0)$.

For $g(x) = x^2 + 2x - 15$: $(x+5)(x-3) = 0$, nullpunkter $(-5, 0)$ og $(3, 0)$.

For $h(x) = 2x^2 - 8x$: $2x(x-4) = 0$, nullpunkter $(0, 0)$ og $(4, 0)$. Her har vi faktorisert ut $2x$ som felles faktor.

For $p(x) = x^2 - 6x + 9$: $(x-3)^2 = 0$, kun ett nullpunkt $(3, 0)$. Parabelen tangerer $x$-aksen uten å krysse den.

Antall nullpunkter henger direkte sammen med diskriminanten: to nullpunkter når $D > 0$, ett nullpunkt når $D = 0$, og ingen nullpunkter når $D < 0$ (parabelen ligger helt over eller helt under $x$-aksen).

Praktiske problemer med andregradslikninger

Mange virkelige problemer fører til andregradslikninger -- spesielt problemer som involverer areal, avstand eller bevegelse.

Problem 1: Et rektangel har areal $48 \text{ cm}^2$. Lengden er 2 cm mer enn bredden. Finn sidene.

La bredden være $x$ cm. Lengden er $(x + 2)$ cm. Areal: $x(x + 2) = 48$, som gir $x^2 + 2x - 48 = 0$. Faktoriserer: $(x + 8)(x - 6) = 0$. Siden bredden må være positiv: $x = 6$. Bredden er 6 cm og lengden er 8 cm.

Problem 2: Produktet av to påfølgende positive tall er 72. Finn tallene.

La det minste tallet være $x$. Da er $x(x+1) = 72$, altså $x^2 + x - 72 = 0$. Faktoriserer: $(x+9)(x-8) = 0$. Siden tallene er positive: $x = 8$. Tallene er 8 og 9.

Problem 3: En rettvinklet trekant har kateter der den ene er 7 cm lengre enn den andre. Hypotenusen er 13 cm. Finn katetene.

La korteste katet være $x$. Pytagoras: $x^2 + (x+7)^2 = 13^2$. Utvider: $x^2 + x^2 + 14x + 49 = 169$, som gir $2x^2 + 14x - 120 = 0$, altså $x^2 + 7x - 60 = 0$. Faktoriserer: $(x+12)(x-5) = 0$. Siden kateten er positiv: $x = 5$. Katetene er 5 cm og 12 cm.

Oppsummering

Andregradslikninger har formen $ax^2 + bx + c = 0$ og kan løses ved faktorisering eller med abc-formelen: $\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

Diskriminanten $D = b^2 - 4ac$ avgjør antall løsninger: to ($D > 0$), én dobbeltrot ($D = 0$), eller ingen ($D < 0$).

Nullpunkter til $f(x) = ax^2 + bx + c$ finnes ved å sette $f(x) = 0$ og løse andregradslikningen.

Mange praktiske problemer med areal, avstand og bevegelse fører til andregradslikninger.