8.1 Multiplikasjon av polynomer

Algebra som areal

Tenk deg at du skal finne arealet av et rektangulart rom der sidene er $(x + 3)$ meter og $(x + 5)$ meter. Eller kanskje du skal forenkle et uttrykk i en likning. I begge tilfeller må du vite hvordan du multipliserer polynomer. Et polynom er et algebraisk uttrykk med ett eller flere ledd, for eksempel $2x^2 + 3x - 5$. Et uttrykk med bare ett ledd (som $3x^2$) kalles et monom, og et uttrykk med to ledd (som $x + 3$) kalles et binom.

I dette kapittelet bygger vi opp ferdighetene steg for steg: først monom ganger polynom, så binom ganger binom, og til slutt vilkårlige polynomer.

Monom ganger polynom -- distributiv lov

Når vi multipliserer et monom med et polynom, bruker vi den distributive loven:

$$a(b + c) = ab + ac$$

Du ganger monomet med hvert ledd i polynomet, ett om gangen. For eksempel: $3x(2x + 5) = 3x \cdot 2x + 3x \cdot 5 = 6x^2 + 15x$. Husk at $x \cdot x = x^2$.

Det fungerer også med flere ledd og negative koeffisienter. $-2x^2(3x^2 - 4x + 1)$: vi ganger $-2x^2$ med hvert ledd og får $-6x^4 + 8x^3 - 2x^2$. Legg merke til at minus ganger minus gir pluss ($-2x^2 \cdot (-4x) = +8x^3$).

Den generelle regelen er: $a(b_1 + b_2 + \ldots + b_n) = ab_1 + ab_2 + \ldots + ab_n$. Uansett hvor mange ledd polynomet har, ganger du monomet med hvert enkelt ledd.

Binom ganger binom -- FOIL-metoden

Når du multipliserer to binomier $(a + b)(c + d)$, må hvert ledd i den første parentesen ganges med hvert ledd i den andre. En populær huskeregel er FOIL:

- First (første ledd): $a \cdot c$
- Outer (ytre ledd): $a \cdot d$
- Inner (indre ledd): $b \cdot c$
- Last (siste ledd): $b \cdot d$

$$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$$

La oss prøve: $(x + 3)(x + 5)$. F: $x \cdot x = x^2$. O: $x \cdot 5 = 5x$. I: $3 \cdot x = 3x$. L: $3 \cdot 5 = 15$. Så får vi $x^2 + 5x + 3x + 15 = x^2 + 8x + 15$.

Vær nøyaktig med fortegnene! $(x - 3)(x + 2)$: F: $x^2$, O: $2x$, I: $-3x$, L: $-6$. Resultat: $x^2 + 2x - 3x - 6 = x^2 - x - 6$. Og $(x - 4)(x - 5)$: F: $x^2$, O: $-5x$, I: $-4x$, L: $+20$ (minus ganger minus gir pluss!). Resultat: $x^2 - 9x + 20$.

Det finnes også en nyttig generell formel: $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$. Midtleddet er summen av $a$ og $b$, og siste ledd er produktet. For $(x + 7)(x - 3)$: $a + b = 7 + (-3) = 4$ og $ab = 7 \cdot (-3) = -21$, så svaret er $x^2 + 4x - 21$.

Arealmodellen og større polynomer

Arealmodellen gir en vakker geometrisk tolkning av polynom-multiplikasjon. Tenk deg et rektangel med sider $(x + 3)$ og $(x + 5)$. Del rektangelet i fire deler:

For tre parenteser multipliserer du to om gangen: $(x + 2)(x - 3)(x + 1)$ -- først $(x + 2)(x - 3) = x^2 - x - 6$, så $(x^2 - x - 6)(x + 1) = x^3 + x^2 - x^2 - x - 6x - 6 = x^3 - 7x - 6$.

Husk alltid a samle like ledd til slutt!

Oppsummering

Vi har lært fire teknikker for polynom-multiplikasjon:

1. Monom ganger polynom: Distributiv lov -- $a(b + c) = ab + ac$
2. Binom ganger binom (FOIL): $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$
3. Arealmodellen: En geometrisk tolkning som viser at multiplikasjonen tilsvarer summen av delarealer i et rektangel
4. Polynom ganger polynom: Hvert ledd i den ene faktoren ganges med hvert ledd i den andre

Husk alltid å samle like ledd etter at du har utvidet uttrykket, og varer nøyaktig med fortegnene!