8.2 Kvadratsetningene

Tre snarveier du må kunne

Når vi multipliserer polynomer, dukker det opp noen mønstre som går igjen så ofte at det lønner seg å lære dem utenat. De tre kvadratsetningene er slike mønstre -- elegante snarveier som sparer deg for mye regning og gir deg et kraftig verktøy for å faktorisere uttrykk.

Disse setningene er blant de viktigste verktøyene i algebra, og du vil bruke dem i mange sammenhenger: likningslosning, funksjonsanalyse og videre i matematikken.

Første kvadratsetning: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Den første kvadratsetningen sier at kvadratet av en sum er lik summen av kvadratene pluss det dobbelte av produktet:

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

Hvorfor? Jo, $(a + b)^2 = (a + b)(a + b)$. Med FOIL får vi $a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Det dobbelte produktet $2ab$ kommer fra at vi får $ab$ to ganger.

La oss ta et konkret eksempel: $(x + 4)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 + 8x + 16$. Med koeffisienter: $(2x + 1)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 + 4x + 1$. Og $(3x + 2)^2 = 9x^2 + 12x + 4$.

Geometrisk kan vi se dette som et kvadrat med side $(a + b)$ delt i fire deler: et stort kvadrat ($a^2$), to rektangler (hvert med areal $ab$) og et lite kvadrat ($b^2$). De to rektanglene forklarer nøyaktig hvorfor $2ab$ dukker opp.

Vanlig feil! Mange skriver $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ -- men dette er galt! Du glemmer det dobbelte produktet $2ab$. En rask sjekk: $(3 + 4)^2 = 49$, men $9 + 16 = 25 \neq 49$. Det manglende leddet er $2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$, og $25 + 24 = 49$.

Andre kvadratsetning: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Den andre kvadratsetningen handler om kvadratet av en differanse:

$$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

Den ligner veldig på den første, men midtleddet er negativt. Beviset: $(a - b)^2 = (a - b)(a - b) = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Legg merke til at siste ledd $b^2$ alltid er positivt, fordi $(-b)(-b) = b^2$.

Eksempler: $(x - 6)^2 = x^2 - 12x + 36$. $(3x - 4)^2 = 9x^2 - 24x + 16$. $(5x - 1)^2 = 25x^2 - 10x + 1$.

Geometrisk: start med et stort kvadrat med side $a$ og areal $a^2$. Trekk fra to rektangler med areal $ab$ (langs to sider). Men da har du trukket fra hjornekvadratet $b^2$ to ganger, så du legger det til en gang. Resultatet er $a^2 - 2ab + b^2$, som er arealet av et kvadrat med side $(a - b)$.

Konjugatsetningen: $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

Den tredje og siste er konjugatsetningen (også kalt tredje kvadratsetning). Den sier at produktet av to konjugerte binomier -- uttrykk på formen $(a + b)$ og $(a - b)$ -- gir differansen av kvadratene:

$$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$$

Beviset er vakkert enkelt: $(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2$. De to midtleddene $+ab$ og $-ab$ slår hverandre ut!

Eksempler: $(x + 8)(x - 8) = x^2 - 64$. $(2x + 3)(2x - 3) = 4x^2 - 9$. $(4x + 7)(4x - 7) = 16x^2 - 49$.

Konjugatsetningen er også et fantastisk verktøy for hoderegning! $47 \cdot 53 = (50 - 3)(50 + 3) = 2500 - 9 = 2491$. $99 \cdot 101 = (100 - 1)(100 + 1) = 10000 - 1 = 9999$. $28 \cdot 32 = (30 - 2)(30 + 2) = 900 - 4 = 896$. Smart, ikke sant?

Geometrisk: et stort kvadrat med side $a$ mister et lite hjornekvadrat med side $b$. Den L-formede figuren som gjensatar kan omarrangeres til et rektangel med sider $(a + b)$ og $(a - b)$. Arealet er det samme: $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$.

Oppsummering

De tre kvadratsetningene er: