2.2 Andregradslikningar | Matematikk 10. klasse

Løyse andregradslikningar med faktorisering og abc-formelen.

60 min

16 oppgaver

AndregradslikningFaktoriseringabc-formelenDiskriminant

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.1Førstegradslikninger 1.3Faktorisering og forenkling

Brukes videre i

2.4Ulikheter

Andregradslikninar er likningar der den ukjende variabelen opptrer i andre potens. Dei kan løysast ved faktorisering eller ved hjelp av abc-formelen.

Andregradslikning

ax^2 + bx + c = 0

✏️Eksempel 1: Løysa ved faktorisering

Løys likningane:
a) $x^2 - 5x + 6 = 0$
b) $x^2 - 9 = 0$

a) $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0$
$x = 2$ eller $x = 3$

b) $x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3) = 0$
$x = -3$ eller $x = 3$

📝Oppgave 2.2.1

Løys likningane ved faktorisering.

Løys $x^2 + 7x + 12 = 0$

Løys $x^2 - x - 20 = 0$

Løys $x^2 - 16 = 0$

Løys $x^2 + 6x + 9 = 0$

Løs oppgaven

✏️Eksempel 2: Bruka abc-formelen

Løys likninga $2x^2 - 5x - 3 = 0$

a = 2

b = -5

c = -3

$\displaystyle x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2}$

$\displaystyle x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{5 \pm 7}{4}$

$\displaystyle x_1 = \frac{5 + 7}{4} = 3$ eller $\displaystyle x_2 = \frac{5 - 7}{4} = -\frac{1}{2}$

📝Oppgave 2.2.2

Bruk abc-formelen til å løysa likningane.

Løys $x^2 + 4x - 5 = 0$

Løys $2x^2 + 3x - 2 = 0$

Løys $x^2 - 6x + 9 = 0$

Løys $3x^2 - x - 4 = 0$

Løs oppgaven

✏️Eksempel 3: Nullpunkt til andregradsfunksjonar

Finn nullpunkta til $f(x) = x^2 - 2x - 8$ .

Set $f(x) = 0$ :
$x^2 - 2x - 8 = 0$

Ved faktorisering: $(x - 4)(x + 2) = 0$

$x = 4$ eller $x = -2$

Nullpunkta er $(-2, 0)$ og $(4, 0)$ .

📝Oppgave 2.2.3

Finn nullpunkta til funksjonane.

Finn nullpunkta til $f(x) = x^2 - 4x - 12$

Finn nullpunkta til $g(x) = x^2 + 2x - 15$

Finn nullpunkta til $h(x) = 2x^2 - 8x$

Finn nullpunkta til $p(x) = x^2 - 6x + 9$

Løs oppgaven

✏️Døme 4: Praktiske problem

Eit rektangel har areal 48 cm^2. Lengda er 2 cm meir enn breidda. Finn sidene.

La breidda vere $x$ cm. Da er lengda $(x + 2)$ cm.

Areal: $x(x + 2) = 48$
$x^2 + 2x - 48 = 0$
$(x + 8)(x - 6) = 0$

$x = 6$ (vi forkaster $x = -8$ )

Breidda er 6 cm og lengda er 8 cm.

📝Oppgave 2.2.4

Set opp andregradslikning og løys.

Produktet av to påfølgjande positive tal er 72. Finn tala.

Ein rettvinkla trekant har kateter der den eine er 7 cm lengre enn den andre. Hypotenusen er 13 cm. Finn katetene.

Eit kvadratisk område skal utvidast med 3 m på kvar side. Det nye arealet blir 121 m^2. Finn den opphavlege sidelengda.

Løs oppgaven

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Andregradslikningar: Likningar på forma $ax^2 + bx + c = 0$ der $a \neq 0$
- Løysing ved faktorisering: Skrive uttrykket som eit produkt og bruke nullregelen
- abc-formelen: Bruke $\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ for å finne løysingar
- Diskriminanten: Bruke $D = b^2 - 4ac$ til å avgjerå antal løysingar
- Nullpunkt: Finne nullpunkta til andregradsfunksjonar ved å løyse $f(x) = 0$

Nøkkelbegrep

Omgrep	Forklaring
Andregradslikning	Likning der den ukjende opptrer i andre potens
abc-formelen	$\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Diskriminanten	$D = b^2 - 4ac$ , avgjer antal løysingar
Dobbeltrot	Likninga har berre ei løysing ( $D = 0$ )
Nullpunkt	Punkt der grafen krysser $x$ -aksen ( $f(x) = 0$ )
Nullregelen	Viss $a \cdot b = 0$ , så er $a = 0$ eller $b = 0$

Viktige formlar

- abc-formelen:

\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

D > 0

: to ulike løysingar
-

D = 0

: ei løysing (dobbeltrot)
-

D < 0

: ingen reelle løysingar

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 4 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.