6.3 Differensialligninger: separable og lineære første ordens

Standardmetodene for første ordens differensialligninger — pensumkrav uten arkivforekomster, dekket kompakt med integrasjonsteknikkene fra Del 4.

40 min

5 oppgaver

Differensialligningerseparablelineære første ordens

Din fremgang i kapitlet

0 / 5 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.3Substitusjon og delvis integrasjon

Brukes videre i

6.PPrøver til del 6: Taylor, rekker og differensialligninger

Ærlig eksamensvinkel — les dette først. Differensialligninger har 0 forekomster i hele arkivet —

0

21

slutteksamener (H2003–H2023) og

0

16

midtveiseksamener (H2003–H2018). Temaet er aldri testet. Vi dekker det fordi gjeldende emnebeskrivelse krever det, og behandlingen er kompakt: metodene gjenbruker integrasjonsteknikk-repertoaret fra Del 4 (som er 95 %-eksamensstoff), så du får det nesten som en bonus av å beherske integrasjon.

- Prioritér etter Del 1–5. Ikke bruk mye tid her; lær de to standardmetodene (separabel og lineær) og gå videre.
- Oppgavene er skrevet i E-format med diffligning-ramme (E = integrasjonsteknikk-kjede) — kjernen er alltid et integral du allerede kan.

Kilde: arkivet med $21$ slutteksamener (H2003–H2023, $18$ med løsningsforslag) og $16$ midtveiseksamener (H2003–H2018). Arkivet stopper i 2023 — dukker differensialligninger opp i nyere sett, er metodene her standardformatet; sjekk de sist gitte settene. Prioritet: kjenne (høyeste prioritet er Del 1–5).

Forkunnskaper: Alt her hviler på integrasjon: substitusjon og delvis (4.3) og rasjonale integrander (4.4). VGS-basis: Separable differensiallikninger og Lineære differensiallikninger.

Sist du var her — tre grep du gjenbruker rått. Del 6 ligger sent i boka, så vi frisker opp:
- Antideriverte: $\displaystyle\int e^{ax}\,dx=\tfrac1a e^{ax}+C$ , $\displaystyle\int\tfrac1y\,dy=\ln|y|+C$ .
- Substitusjon i eksponent: $\displaystyle\int p(x)\,dx$ dukker opp i eksponenten $e^{\int p\,dx}$ — regn integralet uten konstant der.
- Verifikasjon ved innsetting: en påstått løsning sjekkes ved å derivere den og sette inn i ligningen — samme disiplin som for åpne konstruksjonsoppgaver.

En kopp kaffe på $80\ ^\circ\text{C}$ settes i et rom på $20\ ^\circ\text{C}$ . Den avkjøles raskt i starten og saktere etter hvert — avkjølingsfarten er proporsjonal med temperaturforskjellen til rommet. Det er en setning om en rate: «hvor fort noe endrer seg, avhenger av hvor mye det er». Skrevet med symboler blir det $T'(t)=-k\,(T-20)$ .

En slik ligning — der den ukjente er en funksjon, og ligningen binder funksjonen til sin egen deriverte — kalles en differensialligning. Bestand som vokser, kapital som forrentes, stoff som henfaller: alle beskrives slik. Dette kapitlet gir deg de to standardmetodene for å finne funksjonen $y(x)$ eksplisitt, og du skal alltid verifisere svaret ved innsetting.

Løkke 1 — Hva en løsning er, og verifikasjon (~7 min)

Før vi løser noe: hva betyr det å løse en differensialligning, og hvordan sjekker vi et svar?

Differensialligning (første ordens)

y=y(x)

Løsning og verifikasjon ved innsetting

y(x)

Ordenen til en differensialligning

y'+2y=x

✏️Verifiser en løsning

Vis at $y(x)=e^{-x}+2e^{-2x}$ er en løsning av $y'+2y=e^{-x}$ .

Deriver den påståtte løsningen:

y'(x)=-e^{-x}-4e^{-2x}.

Sett inn $y$ og $y'$ i venstre side:
$y'+2y=\big(-e^{-x}-4e^{-2x}\big)+2\big(e^{-x}+2e^{-2x}\big)=(-1+2)e^{-x}+(-4+4)e^{-2x}=e^{-x}.$

Sammenlign med høyre side: venstre side ble $e^{-x}$ , som er nettopp høyre side. Identiteten holder for alle $x$ .

Konklusjon: $y(x)=e^{-x}+2e^{-2x}$ er en løsning av $y'+2y=e^{-x}$ . (Legg merke til metoden: deriver, sett inn, forenkle, sammenlign — dette er verifikasjonen du gjentar i hver oppgave.)

📝Oppgave 1

(E-format med diffligning-ramme — lett innstegsoppgave.) «E-format» betyr en oppgave der kjernen er et integral du kjenner; her pakket inn i en differensialligning. Vis at $y(x)=Ce^{3x}$ løser $y'=3y$ for enhver konstant $C$ .

Løkke 2 — Separable ligninger (~9 min)

Den første standardmetoden: samle alt med $y$ på én side og alt med $x$ på den andre, og integrer.

Separabel ligning

x

📜Separasjonsmetoden

Oppskrift for $y'=f(x)g(y)$ : (1) skriv $\dfrac{dy}{g(y)}=f(x)\,dx$ ; (2) integrer begge sider (én $+C$ er nok); (3) løs for $y$ hvis mulig; (4) sjekk konstantløsningene $g(y)=0$ separat. Metoden bytter en differensialligning mot to vanlige integraler — derav «E-format».

Konstantløsninger (

g(y)=0

)

g(y)

✏️Separabel ligning med konstantløsning

Løs $y'=xy$ , og finn alle konstantløsninger.

Sjekk formen:

y'=x\cdot y

er separabel med

f(x)=x

g(y)=y

Konstantløsning først: $g(y)=y=0$ gir $y\equiv 0$ — sett inn: $y'=0$ og $xy=0$ . ✓ Så $y\equiv 0$ er en løsning.

Separer (for $y\ne 0$ ):
$\frac{dy}{y}=x\,dx.$

Integrer begge sider:
$\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx\ \Longrightarrow\ \ln|y|=\frac{x^2}{2}+C.$

Løs for $y$ : eksponentier: $|y|=e^{x^2/2}\cdot e^{C}$ , så $y=A\,e^{x^2/2}$ der $A=\pm e^{C}$ er en vilkårlig konstant $\ne 0$ . (Setter vi $A=0$ , får vi konstantløsningen tilbake.)

Konklusjon: den generelle løsningen er $y=A\,e^{x^2/2}$ (inkludert $A=0$ , altså $y\equiv 0$ ). Verifikasjon: $y'=A\,x\,e^{x^2/2}=x\cdot\big(A e^{x^2/2}\big)=xy$ . ✓

📝Oppgave 2

(E-format med diffligning-ramme — separabel.) Løs $y'=-2xy^2$ , med initialbetingelsen $y(0)=1$ . Husk å sjekke konstantløsninger.

Løkke 3 — Lineære ligninger og integrerende faktor (~10 min)

Den andre standardmetoden, for ligninger som ikke er separable men har formen $y'+p(x)y=q(x)$ .

Lineær første ordens ligning

y'+p(x)\,y=q(x)

Integrerende faktor

y'+p(x)y=q(x)

📜Løsningsformelen (integrerende faktor)

Etter multiplikasjon med

\mu=e^{\int p\,dx}

integreres

\big(\mu y\big)'=\mu q

\mu(x)\,y=\int \mu(x)\,q(x)\,dx+C\ \Longrightarrow\ y=\frac{1}{\mu(x)}\Big(\int \mu(x)q(x)\,dx+C\Big).

Kjernen er integralet

\int\mu q\,dx

— et vanlig integral fra Del 4. Konstanten

C

plasseres før du deler på

\mu

✏️Lineær ligning med integrerende faktor

Løs $y'+y=x$ .

Identifiser: lineær med

p(x)=1

q(x)=x

Integrerende faktor: $\mu=e^{\int 1\,dx}=e^{x}$ .

Gang ligningen med $\mu=e^x$ — venstresiden blir en eksakt derivert:
$\big(e^{x}y\big)'=e^{x}\cdot x.$

Integrer begge sider (høyre side med delvis, $u=x$ , $v'=e^x$ ):
$e^{x}y=\int x\,e^{x}\,dx=(x-1)e^{x}+C.$

Løs for $y$ (del på $e^x$ ):
$y=x-1+C\,e^{-x}.$

Konklusjon: $y(x)=x-1+Ce^{-x}$ . Verifikasjon: $y'=1-Ce^{-x}$ , så $y'+y=(1-Ce^{-x})+(x-1+Ce^{-x})=x$ ✓.

📝Oppgave 3

(E-format med diffligning-ramme — lineær.) Løs initialverdiproblemet $y'+2y=e^{-x}$ , $y(0)=3$ .

Løkke 4 — Initialverdiproblemer (~6 min)

Den generelle løsningen har en fri konstant $C$ ; en initialbetingelse plukker ut den ene kurven som passer.

Generell og partikulær løsning

C

Initialverdiproblem

y(x_0)=y_0

📝Oppgave 4

(E-format med diffligning-ramme — separabel IVP.) Løs $y'=3x^2y$ , $y(0)=2$ .

Løkke 5 — Enkle modeller (~5 min)

De to klassiske anvendelsene: eksponentiell vekst/henfall og Newtons avkjølingslov — begge løses med metodene over.

Eksponentiell vekst og henfall

y'=k\,y

Newtons avkjølingslov

T_s

✏️Eksponentiell modell

En bakteriekultur vokser slik at veksten er proporsjonal med bestanden: $y'=k y$ . Ved $t=0$ er bestanden $500$ , og etter $2$ timer er den doblet. Finn $y(t)$ .

Løs ligningen:

y'=ky

er separabel med løsning

y(t)=y_0 e^{kt}

(fra modellen over).

Bruk startverdien: $y(0)=500$ , så $y_0=500$ og $y(t)=500\,e^{kt}$ .

Bestem $k$ fra doblingen: $y(2)=1000$ gir
$500\,e^{2k}=1000\ \Longrightarrow\ e^{2k}=2\ \Longrightarrow\ k=\frac{\ln 2}{2}\approx 0{,}347\ \text{per time}.$

Konklusjon: $y(t)=500\,e^{(\ln 2/2)\,t}=500\cdot 2^{t/2}$ . Verifikasjon: $y(0)=500$ ✓, $y(2)=500\cdot 2^{1}=1000$ ✓, og $y'=ky$ per konstruksjon.

📝Oppgave 5

(E-format med diffligning-ramme — henfall.) Et radioaktivt stoff henfaller med $y'=-0{,}1\,y$ (tid i år) og har $y(0)=80$ gram. Finn $y(t)$ og mengden etter $10$ år.

Retningsfelt (kjennskap)

y'=f(x,y)

Autonom ligning (kjennskap)

x

Typiske feil (differensialligninger)

- Mistet konstantløsning. Når du deler på $g(y)$ i separasjonen, sjekk alltid $g(y)=0$ separat — hver slik $y\equiv y_0$ er en egen løsning.
- Konstanten $C$ plassert feil. I lineær metode kommer $C$ inn før du deler på $\mu$ : $\mu y=\int\mu q\,dx+C$ , så $y=\tfrac{1}{\mu}(\dots+C)$ . Legger du $C$ etterpå, blir den skalert feil.
- Fortegnsfeil i $\int p\,dx$ . Integrerende faktor er $e^{+\int p\,dx}$ (pluss), for ligningen skrevet som $y'+p\,y=q$ . Sjekk at ligningen står på standardform først.
- Glemt integrasjonskonstant før man løser for $y$ . Ta med $+C$ ved integrasjonen, ikke etter at $y$ er isolert.
- Ikke verifisert. Sett alltid løsningen tilbake i ligningen (og sjekk initialbetingelsen) — det er obligatorisk føring.

Begrepsbank

Flashcard- og repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget gjelder kjernestoffet i løkkene.

Metodevalg for første ordens ligninger

f(x)g(y)

Løsningen som kurveskare

y(x;C)

Symbol- og formelliste

Repetisjonsoppgaver (fra 4.3 og 4.4)

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.