GeoGebra/R1 - Realfagsmatematikk/R1.4
R1 - RealfagsmatematikkKapittel R1.4

Vektorer i planet

Vektorer er sentrale i R1. Her lærer du om vektoroperasjoner, skalarprodukt, projeksjoner, vinkel mellom vektorer og parameterfremstilling av linjer.

22 min
6 oppgaver
Dette skal du lære
  • •Skalarprodukt
  • •Projeksjoner
  • •Vinkel mellom vektorer
  • •Parameterfremstilling

Grunnleggende vektorregning

En vektor i planet har to komponenter:

v⃗=(vxvy)\vec{v} = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix}

Addisjon

a⃗+b⃗=(ax+bxay+by)\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} a_x + b_x \\ a_y + b_y \end{pmatrix}

Skalarmultiplikasjon

ka⃗=(kaxkay)k\vec{a} = \begin{pmatrix} ka_x \\ ka_y \end{pmatrix}

Lengde (norm)

∣v⃗∣=vx2+vy2|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}

Vektoroperasjoner

Utforsk vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon.

Laster GeoGebra...

Skalarprodukt

Skalarproduktet av to vektorer er et tall:

a⃗⋅b⃗=axbx+ayby\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y

Alternativ formel:

a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅cos⁡(θ)\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta)

der θ er vinkelen mellom vektorene

Viktig egenskap:

Ortogonale vektorer: Hvis a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 0, er vektorene vinkelrette på hverandre.

Skalarprodukt

Beregn skalarprodukt av vektorer.

Laster GeoGebra...

Projeksjoner

Projeksjonen av vektor a⃗\vec{a} på vektor b⃗\vec{b}:

projb⃗a⃗=a⃗⋅b⃗∣b⃗∣2b⃗\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \vec{b}

Eksempel:

Finn projeksjonen av a⃗=(34)\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}på b⃗=(10)\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}

projb⃗a⃗=31(10)=(30)\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{3}{1} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}

Vektorprojeksjon

Visualiser projeksjoner.

Laster GeoGebra...

Vinkel mellom vektorer

Vinkelen θ mellom to vektorer finner vi fra skalarproduktet:

cos⁡(θ)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}

Eksempel:

Finn vinkelen mellom a⃗=(11)\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}og b⃗=(10)\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}

cos⁡(θ)=12⋅1=12\cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{2}}
θ=45°\theta = 45°

I GeoGebra:

Vinkel(a, b)

Vinkel mellom vektorer

Finn vinkler mellom vektorer.

Laster GeoGebra...

Parameterfremstilling av linje

En linje i planet kan beskrives med en parameterfremstilling:

r⃗(t)=r0⃗+tv⃗\vec{r}(t) = \vec{r_0} + t\vec{v}

Komponenter:

  • r0⃗\vec{r_0}: Ortsvektor til et punkt på linjen
  • v⃗\vec{v}: Retningsvektor (parallell med linjen)
  • t: Parameter (kan være alle reelle tall)

Eksempel:

Linje gjennom P(2, 1) med retningsvektor v⃗=(3−1)\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}:

r⃗(t)=(21)+t(3−1)\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}

Parameterfremstilling

Tegn linjer med parameterfremstilling.

Laster GeoGebra...

Øv selv

Laster øvelser...
Ekstra oppgaver
  1. Finn lengden av vektoren (4, 3)
  2. Beregn skalarproduktet av (2, 5) og (3, -1)
  3. Finn vinkelen mellom (1, 1) og (0, 1)
  4. Finn projeksjonen av (4, 2) på (1, 0)
  5. Sett opp parameterfremstilling for linjen gjennom (1, 2) med retningsvektor (2, -3)

Øvingsvindu

Løs oppgavene over.

Laster GeoGebra...

Nyttige kommandoer

KommandoBeskrivelseEksempel
Vektor((x, y))Lager en vektorVektor((3, 4))
a * bSkalarproduktVektor((1,2)) * Vektor((3,4))
abs(v)Lengde av vektorabs(Vektor((3, 4)))
Vinkel(a, b)Vinkel mellom vektorerVinkel(a, b)
Linje(P, v)Linje gjennom P med retning vLinje((1,2), Vektor((3,-1)))

Oppsummering

  • Vektor() lager vektorer i GeoGebra
  • Skalarprodukt: a · b = aₓbₓ + aᵧbᵧ
  • Ortogonale vektorer: a · b = 0
  • Vinkel: cos(θ) = (a·b)/(|a||b|)
  • Linje: r(t) = r₀ + tv