GeoGebra/R1 - Realfagsmatematikk/R1.6
R1 - RealfagsmatematikkKapittel R1.6

Analytisk geometri

Analytisk geometri kobler algebra og geometri. Her studerer vi linjer, sirkler, ellipser og parabler i koordinatsystemet.

20 min
5 oppgaver
Dette skal du lære
  • •Linjens likning
  • •Sirkelens likning
  • •Ellipse
  • •Parabel

Linjens likning

En linje kan beskrives på flere måter:

Eksplisitt form

y=ax+by = ax + b

a = stigningstall, b = konstantledd

Generell form

Ax+By+C=0Ax + By + C = 0

A, B, C er konstanter

To-punktsform

y−y1y2−y1=x−x1x2−x1\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}

Linje gjennom (x₁, y₁) og (x₂, y₂)

Utforsk linjer

Tegn linjer på ulike former.

Laster GeoGebra...

Sirkelens likning

En sirkel med sentrum (h, k) og radius r har likningen:

(x−h)2+(y−k)2=r2(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

Eksempel:

Sirkel med sentrum (2, -1) og radius 3:

(x−2)2+(y+1)2=9(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9

Generell form:

x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0

Fullføre kvadratet for å finne sentrum og radius

Tegn sirkler

Utforsk sirkler med ulike sentre og radier.

Laster GeoGebra...

Ellipsen

En ellipse med sentrum i origo har likningen:

x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

Parametere:

  • a: Halv lengde av x-akse
  • b: Halv lengde av y-akse
  • Hvis a > b: Ellipsen er bredere enn høy
  • Hvis b > a: Ellipsen er høyere enn bred

Med forskjøvet sentrum (h, k):

(x−h)2a2+(y−k)2b2=1\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1

Tegn ellipser

Utforsk ellipser med ulike parametere.

Laster GeoGebra...

Parabelen

En parabel med vertikalt symmetriakse har formen:

y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c

Toppunktsform:

y=a(x−h)2+ky = a(x - h)^2 + k

Toppunkt: (h, k)

Egenskaper:

  • a > 0: Åpner oppover
  • a < 0: Åpner nedover
  • |a| stor: Smal parabel
  • |a| liten: Bred parabel

Utforsk parabler

Se hvordan parametere påvirker parabelen.

Laster GeoGebra...

Avstand fra punkt til linje

Avstanden fra punkt P(x₀, y₀) til linjen Ax + By + C = 0 er:

d=∣Ax0+By0+C∣A2+B2d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

Eksempel:

Avstand fra P(3, 4) til linjen 3x - 4y + 5 = 0:

d=∣3(3)−4(4)+5∣32+42=∣−2∣5=0.4d = \frac{|3(3) - 4(4) + 5|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|-2|}{5} = 0.4

I GeoGebra:

Avstand(P, linje)

Avstand punkt-linje

Mål avstanden fra punkt til linje.

Laster GeoGebra...

Øv selv

Laster øvelser...
Ekstra oppgaver
  1. Finn likningen for linjen gjennom (1, 2) og (4, 8)
  2. Finn sentrum og radius for sirkelen x² + y² - 4x + 6y - 3 = 0
  3. Tegn ellipsen x²/9 + y²/4 = 1
  4. Finn toppunktet til parabelen y = 2x² - 8x + 5
  5. Finn avstanden fra (2, 3) til linjen 4x + 3y - 10 = 0

Øvingsvindu

Løs oppgavene over.

Laster GeoGebra...

Nyttige kommandoer

KommandoBeskrivelseEksempel
Linje(A, B)Linje gjennom to punkterLinje((1,2), (3,4))
Sirkel(M, r)Sirkel med sentrum M, radius rSirkel((0,0), 3)
Ellipse(M, a, b)Ellipse med halv-akser a, bEllipse((0,0), 4, 2)
Parabola(F, l)Parabel med brennpunkt F, direktrise lParabola((0,1), y=-1)
Avstand(P, objekt)Avstand fra punkt til objektAvstand((1,2), linje)

Oppsummering

  • Linje: y = ax + b eller Ax + By + C = 0
  • Sirkel: (x-h)² + (y-k)² = r²
  • Ellipse: x²/a² + y²/b² = 1
  • Parabel: y = a(x-h)² + k
  • Distance(P, linje) finner avstand