GeoGebra/R1 - Realfagsmatematikk/R1.3
R1 - RealfagsmatematikkKapittel R1.3

Derivasjon

Derivasjon er et sentralt tema i R1. Her lærer du avanserte deriveringsregler som kjerneregelen, produktregelen, kvotientregelen og implisitt derivasjon.

25 min
6 oppgaver
Dette skal du lære
  • •Kjerneregel
  • •Produktregel
  • •Kvotientregel
  • •Implisitt derivasjon

Kjerneregelen

Kjerneregelen brukes når vi deriverer sammensatte funksjoner:

ddx[f(g(x))]=f′(g(x))⋅g′(x)\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Eksempel 1:

Deriver h(x) = (3x + 2)⁵

Ytre funksjon: f(u) = u⁵, f'(u) = 5u⁴

Indre funksjon: g(x) = 3x + 2, g'(x) = 3

h′(x)=5(3x+2)4⋅3=15(3x+2)4h'(x) = 5(3x+2)^4 \cdot 3 = 15(3x+2)^4

I GeoGebra CAS:

Derivert((3x + 2)^5)

Øv på kjerneregelen

Deriver sammensatte funksjoner.

Laster GeoGebra...

Produktregelen

Produktregelen brukes når vi deriverer et produkt av to funksjoner:

ddx[f(x)⋅g(x)]=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)\frac{d}{dx}[f(x) \cdot g(x)] = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)

Eksempel:

Deriver h(x) = x² · sin(x)

h′(x)=(x2)′⋅sin⁡(x)+x2⋅(sin⁡(x))′h'(x) = (x^2)' \cdot \sin(x) + x^2 \cdot (\sin(x))'
h′(x)=2x⋅sin⁡(x)+x2⋅cos⁡(x)h'(x) = 2x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot \cos(x)

I GeoGebra CAS:

Derivert(x^2 * sin(x))

Øv på produktregelen

Deriver produkter av funksjoner.

Laster GeoGebra...

Kvotientregelen

Kvotientregelen brukes når vi deriverer en brøk:

ddx[f(x)g(x)]=f′(x)⋅g(x)−f(x)⋅g′(x)[g(x)]2\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}

Eksempel:

Deriver h(x) = x²/(x + 1)

h′(x)=2x⋅(x+1)−x2⋅1(x+1)2h'(x) = \frac{2x \cdot (x+1) - x^2 \cdot 1}{(x+1)^2}
h′(x)=2x2+2x−x2(x+1)2=x2+2x(x+1)2h'(x) = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}

I GeoGebra CAS:

Derivert(x^2/(x + 1))

Øv på kvotientregelen

Deriver rasjonale funksjoner.

Laster GeoGebra...

Implisitt derivasjon

Implisitt derivasjon brukes når y ikke er uttrykt eksplisitt som funksjon av x.

Eksempel:

Finn dy/dx for: x² + y² = 25

Deriver begge sider med hensyn på x:

2x+2y⋅dydx=02x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0
dydx=−xy\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}

I GeoGebra CAS:

ImplisittDerivative(x^2 + y^2 = 25, y, x)

Implisitt derivasjon

Finn deriverte av implisitte funksjoner.

Laster GeoGebra...

Høyere ordens deriverte

Den andre deriverte f''(x) beskriver krumningen til grafen.

f''(x) > 0

Grafen er konveks (smiler)

f''(x) < 0

Grafen er konkav (flirer)

Vendepunkt:

Der f''(x) = 0 og f'' skifter fortegn

Andre deriverte

Finn andre deriverte og vendepunkter.

Laster GeoGebra...

Øv selv

Laster øvelser...
Ekstra oppgaver
  1. Deriver h(x) = (2x + 1)⁴ med kjerneregelen
  2. Deriver g(x) = x³ · e^x med produktregelen
  3. Deriver f(x) = (x - 1)/(x + 1) med kvotientregelen
  4. Finn dy/dx implisitt for x² - xy + y² = 3
  5. Finn vendepunktet til f(x) = x³ - 6x² + 9x + 1

Øvingsvindu

Løs oppgavene over.

Laster GeoGebra...

Nyttige kommandoer

KommandoBeskrivelseEksempel
Derivert(f)Deriverer funksjonen fDerivert(x^2)
Derivert(f, n)n-te deriverteDerivert(x^3, 2)
ImplisittDerivative(likning, y, x)Implisitt derivasjonImplisittDerivative(x^2 + y^2 = 1, y, x)
f'(x)Alternativ notasjon for derivertf'(2)

Oppsummering

  • Kjerneregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x)
  • Produktregel: (f·g)′ = f′·g + f·g′
  • Kvotientregel: (f/g)′ = (f′·g - f·g′)/g²
  • ImplisittDerivative() for implisitt derivasjon
  • Derivative(f, 2) gir andre deriverte