GeoGebra/R1 - Realfagsmatematikk/R1.5
R1 - RealfagsmatematikkKapittel R1.5

Trigonometri

Trigonometri i R1 bygger på enhetssirkelen og trigonometriske identiteter. Du lærer å løse trigonometriske likninger og arbeide med sammensatte vinkler.

22 min
6 oppgaver
Dette skal du lære
  • •Enhetssirkelen
  • •Trigonometriske identiteter
  • •Likninger
  • •Grafer

Enhetssirkelen

Enhetssirkelen har radius 1 og sentrum i origo. Et punkt P på sirkelen har koordinater (cos θ, sin θ).

Viktige vinkler:

0°: (1, 0)
90°: (0, 1)
180°: (-1, 0)
270°: (0, -1)

Pytagoreisk identitet:

sin⁡2(θ)+cos⁡2(θ)=1\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1

Utforsk enhetssirkelen

Se sammenhengen mellom vinkel og koordinater.

Laster GeoGebra...

Trigonometriske identiteter

Identiteter er likninger som alltid er sanne for alle vinkler.

Grunnleggende

tan⁡(θ)=sin⁡(θ)cos⁡(θ)\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}
sin⁡2(θ)+cos⁡2(θ)=1\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1

Addisjon

sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b
cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b

Dobbel vinkel

sin⁡(2θ)=2sin⁡(θ)cos⁡(θ)\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)
cos⁡(2θ)=cos⁡2(θ)−sin⁡2(θ)\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta)

Verifiser identiteter

Se at identiteter stemmer grafisk.

Laster GeoGebra...

Trigonometriske likninger

Trigonometriske likninger løses ved å bruke enhetssirkelen og periodisitet.

Eksempel 1: Grunnleggende

Løs: sin(x) = 0.5

Løsning: x = 30° + n·360° eller x = 150° + n·360°

Eksempel 2: Kvadratisk form

Løs: 2cos²(x) - cos(x) = 0

Faktoriser: cos(x)(2cos(x) - 1) = 0

I GeoGebra CAS:

Løs(sin(x) = 0.5, x)

Løs trigonometriske likninger

Finn løsninger grafisk og algebraisk.

Laster GeoGebra...

Grafene til trigonometriske funksjoner

De trigonometriske funksjonene har karakteristiske grafer:

sin(x)

  • Periode: 2π
  • Amplitude: 1
  • Nullpunkter: nπ

cos(x)

  • Periode: 2π
  • Amplitude: 1
  • Nullpunkter: π/2 + nπ

tan(x)

  • Periode: π
  • Asymptoter: π/2 + nπ
  • Nullpunkter: nπ

Utforsk trigonometriske grafer

Se hvordan parametere påvirker grafene.

Laster GeoGebra...

Øv selv

Laster øvelser...
Ekstra oppgaver
  1. Finn verdien av sin(45°) og cos(45°)
  2. Verifiser at sin²(30°) + cos²(30°) = 1
  3. Løs likningen: cos(x) = 0.5 for 0 ≤ x ≤ 2π
  4. Vis at sin(2x) = 2sin(x)cos(x) for x = 30°
  5. Tegn grafen til f(x) = 2sin(3x) og finn perioden

Øvingsvindu

Løs oppgavene over.

Laster GeoGebra...

Nyttige kommandoer

KommandoBeskrivelseEksempel
sin(x)Sinusfunksjonsin(pi/4)
cos(x)Cosinusfunksjoncos(pi/3)
tan(x)Tangensfunksjontan(pi/6)
Løs(sin(x) = a, x)Løs trigonometrisk likningLøs(sin(x) = 0.5, x)
asin(x)Arcus sinus (invers)asin(0.5)

Oppsummering

  • Enhetssirkelen: (cos θ, sin θ)
  • Pytagoreisk identitet: sin²θ + cos²θ = 1
  • Solve() løser trigonometriske likninger
  • Periode: sin og cos har 2π, tan har π
  • Addisjon: sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b