GeoGebra/1T - Teoretisk matematikk/1T.6
1T - Teoretisk matematikkKapittel 1T.6

Trigonometri

Trigonometri handler om sammenhenger mellom vinkler og sider i trekanter. Du starter med sinus, cosinus og tangens i rettvinklede trekanter, og lærer deretter de avanserte setningene for vilkårlige trekanter.

20 min
5 oppgaver
Dette skal du lære
  • •Sinussetningen
  • •Cosinussetningen
  • •Arealsetningen
  • •Vilkårlige trekanter

Rettvinklede trekanter

I en rettvinklet trekant har vi spesielle navn på sidene i forhold til en vinkel:

Hypotenus

Den lengste siden. Ligger motsatt den rette vinkelen.

Motstående katet

Siden som ligger motsatt vinkelen vi ser på.

Hosliggende katet

Siden som ligger inntil vinkelen (ikke hypotenus).

Utforsk rettvinklet trekant

Se på sidene i en rettvinklet trekant.

Laster GeoGebra...

Sinus, cosinus og tangens

De tre grunnleggende trigonometriske funksjonene viser forholdet mellom sider og vinkler:

Sinus (sin)

sin⁡(v)=motsta˚endehypotenus\sin(v) = \frac{\text{motstående}}{\text{hypotenus}}

Cosinus (cos)

cos⁡(v)=hosliggendehypotenus\cos(v) = \frac{\text{hosliggende}}{\text{hypotenus}}

Tangens (tan)

tan⁡(v)=motsta˚endehosliggende\tan(v) = \frac{\text{motstående}}{\text{hosliggende}}

Huskeregel (SOH-CAH-TOA):

  • SOH: Sin = Opposite / Hypotenuse
  • CAH: Cos = Adjacent / Hypotenuse
  • TOA: Tan = Opposite / Adjacent

Finne sider og vinkler

Med trigonometri kan vi finne ukjente sider og vinkler i rettvinklede trekanter.

Finne side:

Hypotenus = 10 cm, vinkel = 30°. Finn motstående katet:

sin⁡(30°)=motsta˚ende10\sin(30°) = \frac{\text{motstående}}{10}
motsta˚ende=10⋅sin⁡(30°)=5 cm\text{motstående} = 10 \cdot \sin(30°) = 5 \text{ cm}

Finne vinkel:

Motstående = 3, hosliggende = 4. Finn vinkelen:

tan⁡(v)=34\tan(v) = \frac{3}{4}
v=tan⁡−1(34)≈36.87°v = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) \approx 36.87°

I GeoGebra:

  • sin(30°), cos(45°), tan(60°)
  • asin(0.5), acos(0.5), atan(1) for inverse

Beregn sider og vinkler

Bruk trigonometri til å finne ukjente verdier.

Laster GeoGebra...

Sinussetningen

Sinussetningen gir en sammenheng mellom sider og motstående vinkler:

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}

Når bruker vi sinussetningen?

  • Vi kjenner to vinkler og en side (VVS)
  • Vi kjenner to sider og en motstående vinkel (SSV)

Eksempel

I en trekant er A = 40°, B = 60° og a = 5. Finn b:

5sin⁡40°=bsin⁡60°\frac{5}{\sin 40°} = \frac{b}{\sin 60°}
b=5⋅sin⁡60°sin⁡40°≈6,74b = \frac{5 \cdot \sin 60°}{\sin 40°} \approx 6{,}74

Utforsk sinussetningen

Lag en trekant og bruk sinussetningen.

Laster GeoGebra...

Cosinussetningen

Cosinussetningen er en generalisering av Pytagoras setning:

c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

Når bruker vi cosinussetningen?

  • Vi kjenner tre sider (SSS)
  • Vi kjenner to sider og innliggende vinkel (SVS)

Eksempel: Finn vinkel

I en trekant er a = 5, b = 7, c = 8. Finn vinkel C:

82=52+72−2⋅5⋅7⋅cos⁡C8^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos C
64=25+49−70cos⁡C64 = 25 + 49 - 70\cos C
cos⁡C=1070=17\cos C = \frac{10}{70} = \frac{1}{7}
C=arccos⁡(17)≈81,8°C = \arccos(\frac{1}{7}) \approx 81{,}8°

Merk:

Hvis C = 90°, blir cos C = 0, og vi får Pytagoras: c² = a² + b²

Utforsk cosinussetningen

Lag en trekant og bruk cosinussetningen.

Laster GeoGebra...

Arealsetningen

Arealsetningen gir arealet av en trekant når vi kjenner to sider og innliggende vinkel:

A=12absin⁡CA = \frac{1}{2}ab\sin C

Eksempel

En trekant har sider a = 6 og b = 8, med innliggende vinkel C = 30°

A=12⋅6⋅8⋅sin⁡30°=12⋅6⋅8⋅0,5=12A = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 30° = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot 0{,}5 = 12

Alternative former

A=12absin⁡C=12bcsin⁡A=12acsin⁡BA = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B

Utforsk arealsetningen

Beregn areal med arealsetningen.

Laster GeoGebra...

Sammenligning av setningene

Oversikt over når du skal bruke hvilken setning:

GittBruk
To vinkler og en side (VVS)Sinussetningen
To sider og motstående vinkel (SSV)Sinussetningen
Tre sider (SSS)Cosinussetningen
To sider og innliggende vinkel (SVS)Cosinussetningen
To sider og innliggende vinkel (areal)Arealsetningen

Øv selv

Laster øvelser...
Ekstra oppgaver
  1. Bruk sinussetningen: a = 7, A = 50°, B = 60°. Finn b
  2. Bruk cosinussetningen: a = 5, b = 6, c = 7. Finn vinkel C
  3. Bruk arealsetningen: a = 10, b = 12, C = 45°. Finn arealet
  4. En trekant har vinkler A = 40°, B = 70° og side a = 8. Finn c
  5. En trekant har sider a = 3, b = 4, c = 5. Finn alle vinklene

Øvingsvindu

Løs oppgavene over.

Laster GeoGebra...

Nyttige kommandoer

KommandoBeskrivelseEksempel
sin(vinkel)Beregner sinussin(30°)
cos(vinkel)Beregner cosinuscos(60°)
arcsin(x)Invers sinusarcsin(0.5)
arccos(x)Invers cosinusarccos(0.5)
Avstand(A, B)Finner avstand mellom punkterAvstand(A, B)

Oppsummering

  • Sinussetningen: a/sin A = b/sin B = c/sin C
  • Cosinussetningen: c² = a² + b² - 2ab cos C
  • Arealsetningen: A = (1/2)ab sin C
  • Sinussetningen: VVS eller SSV
  • Cosinussetningen: SSS eller SVS