GeoGebra/1T - Teoretisk matematikk/1T.3
1T - Teoretisk matematikkKapittel 1T.3

Polynomer

Polynomer er uttrykk bygget opp av ledd med potenser av x. Her lærer du om polynomfunksjoner av høyere grad, deres grafer og egenskaper, samt polynomdivisjon.

18 min
5 oppgaver
Dette skal du lære
  • •Polynomfunksjoner
  • •Grafer
  • •Nullpunkter
  • •Faktorisering

Polynomfunksjoner

Et polynom av grad n har formen:

P(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0

Grad 1

P(x)=ax+bP(x) = ax + b

Rett linje

Grad 2

P(x)=ax2+bx+cP(x) = ax^2 + bx + c

Parabel

Grad 3

P(x)=ax3+bx2+cx+dP(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

Kubisk funksjon

Viktig egenskap:

Et polynom av grad n har maksimalt n nullpunkter

Utforsk polynomfunksjoner

Se hvordan polynomer av forskjellige grader ser ut.

Laster GeoGebra...

Grafer av polynomfunksjoner

Grafens form bestemmes av polynomets grad og ledende koeffisient:

Partall-grad (2, 4, 6, ...)

  • Leder koeff > 0: U-form
  • Leder koeff < 0: ∩-form
  • Går mot +∞ eller -∞ i begge ender

Oddetall-grad (1, 3, 5, ...)

  • Leder koeff > 0: -∞ til +∞
  • Leder koeff < 0: +∞ til -∞
  • Forskjellig fortegn i endene

Sammenlign polynomgrafer

Se forskjellen mellom polynomer av partalls- og oddetallsgrad.

Laster GeoGebra...

Nullpunkter og faktorisering

Hvis x = a er et nullpunkt, kan polynomet faktoriseres med (x - a):

P(x)=(x−a)⋅Q(x)P(x) = (x - a) \cdot Q(x)

Eksempel: Faktorisering med kjent nullpunkt

Gitt: P(x) = x³ - 6x² + 11x - 6

Vi ser at P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0

Derfor: P(x) = (x - 1)(x² - 5x + 6)

Videre: P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)

Faktoriser polynomer

Bruk Faktoriser() i CAS til å faktorisere polynomer.

Laster GeoGebra...

Polynomdivisjon

Polynomdivisjon brukes til å dele et polynom med et annet:

P(x)D(x)=Q(x)+R(x)D(x)\frac{P(x)}{D(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{D(x)}

Q(x) = kvotient, R(x) = rest

Eksempel: Dele med lineært uttrykk

x3−2x2+3x−1x−1\frac{x^3 - 2x^2 + 3x - 1}{x - 1}

I GeoGebra CAS: (x³ - 2x² + 3x - 1) / (x - 1)

Restsetningen

Hvis vi deler P(x) med (x - a), er resten lik P(a)

Polynomdivisjon

Utfør polynomdivisjon i CAS.

Laster GeoGebra...

Øv selv

Laster øvelser...
Ekstra oppgaver
  1. Tegn grafen til P(x) = x³ - 4x og finn alle nullpunkter
  2. Faktoriser P(x) = x³ + 2x² - 5x - 6 med Faktoriser()
  3. Hvis P(2) = 0 for P(x) = x³ - 3x² - 4x + 12, faktoriser P(x)
  4. Utfør divisjonen (x³ + 3x² + 2x) / (x + 1)
  5. Bestem graden til polynomet P(x) = 2x⁴ - 3x² + 5x - 1

Øvingsvindu

Løs oppgavene over.

Laster GeoGebra...

Nyttige kommandoer

KommandoBeskrivelseEksempel
Factor(P(x))Faktoriserer polynometFactor(x³ - 6x² + 11x - 6)
Expand(uttrykk)Utvider parenteserExpand((x-1)(x-2)(x-3))
Grad(P(x))Finner graden til polynometGrad(x³ + 2x - 1)
Nullpunkt(P(x))Finner nullpunkterNullpunkt(x³ - 4x)

Oppsummering

  • Polynom av grad n har formen aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀
  • Et polynom av grad n har maksimalt n nullpunkter
  • Hvis P(a) = 0, kan P(x) faktoriseres med (x - a)
  • Factor(P) faktoriserer polynomet i GeoGebra
  • Polynomdivisjon: P(x) = Q(x)·D(x) + R(x)