7.3 Halveringstid, aktivitet og kjerneenergi

Halveringstid i formel og graf, aktivitet — og energi fra massesvinn med $E = \Delta mc^2$.

55 min

12 oppgaver

Halveringstidaktivitetkjerneenergi

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

7.2Kjerneprosesser: reaksjonsligninger og A/Z-bevaring

Brukes videre i

7.4Drill: kjernefysikk-malen

Høyeste prioritet. Kjernefysikk er testet i 28 av 36 slutteksamener (78 %), og dette kapitlet dekker trinn 2 og 3 i den faste kjernefysikk-malen.

Boka merker oppgaver med en sjangerbokstav — en kode for oppgavetypen fra eksamensarkivet; hele lista A–Q står i kap. 0.1. Her trener du sjanger P (kjernefysikk og stråling) og sjanger Q (kvalitative «forklar hvorfor»-svar på 2–4 setninger).

Slik er stoffet belagt i arkivet:

- Halveringstid med grafisk avlesning etterspørres ofte, sist i V2023 (vår 2023). Løsningsforslagene krever at avlesningen markeres på grafen — ikke bare at tallet står i teksten.
- $E = \Delta mc^2$ med atommasser i u fra vedlegg går igjen: fisjon av uran-235, radioaktiv oppvarming av jordas indre (V2024) og karbondatering.
- Dosimetri (gray mot sievert) er hyppigst i eldre sett og i kortsvarsserier — en arv fra emnets medisinprofil. Det er markert «bør kjenne til» sist i kapitlet.

Formelarket og vedlegget dekker deg. Halveringstider, kjernemasser og omregningsfaktoren fra atommasseenheter til kilogram kommer som vedlegg til oppgaven. Det du må kunne aktivt, er å velge mellom halveringsformelen og eksponentialformen, å lese en graf riktig, og å sette opp masseregnskapet $\Delta m$ = venstre side minus høyre side.

Forkunnskaper — dette bygger kapitlet på:

- kap. 7.2 — reaksjonsligninger og bevaring av nukleontall og ladningstall. Du trenger dem for å vite hvilke masser som skal inn i masseregnskapet.
- Eksponentialfunksjoner og Eksponential- og logaritmeligninger — når du skal løse for tiden $t$ i halveringsformelen.

Sist du var her — de tre tingene du trenger ferdig oppfrisket:

$\sum A_{\text{venstre}} = \sum A_{\text{høyre}}, \qquad \sum Z_{\text{venstre}} = \sum Z_{\text{høyre}}$

Nukleontall og ladningstall balanserer i enhver kjernereaksjon, og balansen skrives ut som to egne regnestykker.

$\alpha: \;A - 4,\ Z - 2 \qquad \beta^-: \;A \text{ uendret},\ Z + 1 \qquad \gamma: \;A,\ Z \text{ uendret}$

Signaturene til de tre henfallstypene — dem kjenner du igjen bare ved å se på endringene.

$a^x = b \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{\ln b}{\ln a}$

Logaritmeregelen du bruker når tiden $t$ står i eksponenten og skal fram i lyset.

Et lager for radioaktivt avfall må sikres i tusener av år. En medisinsk isotop må derimot være borte fra kroppen i løpet av et døgn. En trebit fra en gravhaug kan tidfestes til noen tiår. Alle tre bygger på den samme loven: like store andeler forsvinner i like store tidsrom.

Legg merke til hva som ikke gjelder: en radioaktiv prøve blir aldri «tom» på et bestemt tidspunkt. Det finnes ingen sluttid. Derfor er halveringstiden — tiden det tar før halvparten er igjen — den eneste fornuftige måten å beskrive tempoet på, og derfor er «tiden til null» den mest straffede avlesningsfeilen i hele emnet.

Kapitlet går i seks læringsløkker (litt teori → et eksempel → en oppgave):

1. Halveringstid og henfallsloven (~12 min)
2. Grafisk avlesning av halveringstiden (~9 min)
3. Henfallskonstant og aktivitet (~10 min)
4. Å løse for tiden (~7 min)
5. Energi fra massesvinn, $E = \Delta mc^2$ (~11 min)
6. Fra energi per henfall til effekt (~6 min)

Til slutt kommer dosimetri som «bør kjenne til»-stoff, en feilliste, en begrepsbank og en symbol- og formelliste.

Løkke 1 — Halveringstid og henfallsloven (~12 min)

Enkeltkjerner henfaller tilfeldig: ingen kan si når nettopp den kjernen omdanner seg. Men når du har $10^{17}$ kjerner, blir statistikken knivskarp. I løpet av et bestemt tidsrom henfaller alltid den samme andelen.

Den mest brukte måten å angi tempoet på, er tiden det tar før halvparten er igjen.

Halveringstid

t_{1/2}

Tiden det tar før halvparten av kjernene i en prøve har henfalt. Den er en fast egenskap ved nukliden — den påvirkes ikke av temperatur, trykk, kjemisk binding eller prøvens størrelse. Verdiene spenner fra brøkdeler av et sekund til milliarder av år, og de hentes fra tabell/vedlegg . Etter én halveringstid er halvparten igjen, etter to er en fjerdedel igjen, etter tre en åttendedel — aldri null.

📜Henfallsloven

Antall kjerner igjen etter tiden

t

$N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}}$

der $N_0$ er antallet ved $t = 0$ . Loven gjelder like godt for massen av den radioaktive nukliden og for aktiviteten, siden begge er proporsjonale med antall kjerner:

$m = m_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}}, \qquad A = A_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}}$

Formelen står på formelarket, men du må selv se hvilken av de tre størrelsene oppgaven spør etter. Merk at eksponenten er et rent tall: $t$ og $t_{1/2}$ må ha samme enhet, og da forkortes enheten bort.

✏️Eksempel 1: Hvor mye er igjen? (sjanger P)

En prøve inneholder 12 µg fosfor-32, som har halveringstiden 14,3 døgn. Hvor mye fosfor-32 er igjen etter 30 døgn?

Velg formel. Oppgaven spør etter masse, så vi bruker massevarianten av henfallsloven:

$m = m_0\left(\frac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}}$

Sjekk enhetene i eksponenten. Både $t = 30$ døgn og $t_{1/2} = 14{,}3$ døgn er i døgn, så eksponenten blir et rent tall:

$\frac{t}{t_{1/2}} = \frac{30}{14{,}3} = 2{,}098$

Prøven har altså rukket å gå gjennom litt over to halveringstider.

Regn ut.

$m = 12\ \mu\text{g} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2{,}098} = 12\ \mu\text{g} \cdot 0{,}2336 = 2{,}8\ \mu\text{g}$

Konklusjon og rimelighet. Det er $2{,}8$ µg fosfor-32 igjen etter 30 døgn. Kontroll ved overslag: etter 2 halveringstider (28,6 døgn) skulle det være $12/4 = 3{,}0$ µg igjen, og etter 30 døgn litt mindre — $2{,}8$ µg passer. ✓

Merk: de resterende 9,2 µg har ikke forsvunnet fra prøven — de er blitt svovel-32, som er stabilt. Massen av prøven er nesten uendret; det er mengden fosfor-32 som har falt.

📝Oppgave 1

(Innstegsoppgave — sjanger P, altså kjernefysikk og stråling.) En nuklide har halveringstid 6,0 timer. En prøve inneholder 8,0 mg av nukliden ved klokka 08.00.

a) Hvor mange halveringstider har gått ved klokka 20.00?
b) Hvor mye av nukliden er igjen da?
c) Hvor mye er igjen etter ett døgn?

📝Oppgave 2

Sjanger P

Jod-131 har halveringstid 8,0 døgn. En pasient får en dose der aktiviteten er 550 MBq ved injeksjonen.

a) Hvor stor er aktiviteten etter 12 døgn, dersom vi ser bort fra at kroppen også skiller ut stoffet?
b) Hvor stor andel av den opprinnelige aktiviteten er igjen etter 24 døgn?

— naturlig pausepunkt —

Løkke 2 — Grafisk avlesning av halveringstiden (~9 min)

Eksamen gir deg like gjerne en graf som et tall. Da skal du lese av halveringstiden — og markere avlesningen på grafen. Løsningsforslagene i arkivet gjør nettopp det, og en avlesning uten markering får sjelden full uttelling.

Oppskriften er kort:

1. Les av startverdien der kurven treffer $y$ -aksen.
2. Halver den verdien, og finn den vannrette linja gjennom halvverdien.
3. Gå bort til kurven, og deretter rett ned til tidsaksen.
4. Tegn de to hjelpelinjene, marker skjæringspunktet, og skriv av tiden med enhet.
5. Kontroller med en halvering til: fra halv til kvart skal ta like lang tid.

Den dyreste avlesningsfeilen i emnet

Ikke les av «tiden til null». En eksponentiell kurve når aldri null — den flater bare ut og ser ut som om den treffer aksen et sted. Hvor du synes den «treffer», avhenger av hvor grafen er klippet, og tallet er derfor fysisk meningsløst.

Halveringstiden er tiden fra en hvilken som helst verdi til halvparten av den verdien. Det er den eneste avlesningen som gir samme svar uansett hvor på kurven du starter — og nettopp den egenskapen er poenget med begrepet.

✏️Eksempel 2: Avlesning fra grafen (sjanger P)

Bruk grafen over. Les av halveringstiden, og finn aktiviteten etter 15 timer ved regning.

Avlesning. Kurven starter i

A_0 = 400

Bq. Halvverdien er 200 Bq; den vannrette linja ved 200 Bq treffer kurven ved

t = 5{,}0

timer (markert med hjelpelinjer på figuren). Altså

$t_{1/2} = 5{,}0\ \text{timer}$

Kontroll med en halvering til. Kvartverdien 100 Bq nås ved $t = 10{,}0$ timer. Intervallet fra halv til kvart er $10{,}0 - 5{,}0 = 5{,}0$ timer — like langt som det første. ✓ Avlesningen er konsistent.

Regning. Etter 15 timer:

$A = 400\ \text{Bq} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{15/5{,}0} = 400\ \text{Bq} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = 50\ \text{Bq}$

Konklusjon. Halveringstiden er 5,0 timer, og aktiviteten er falt til 50 Bq etter 15 timer. Merk at 15 timer er nøyaktig tre halveringstider, så $400 \to 200 \to 100 \to 50$ Bq kan også telles på fingrene — en fin kontroll.

📝Oppgave 3

Sjanger P + Q

Grafen over viser aktiviteten til en prøve som funksjon av tiden.

a) Les av halveringstiden, og beskriv hvordan du markerer avlesningen på grafen.
b) Finn aktiviteten etter 9,0 døgn ved regning.
c) En medstudent leser av at «aktiviteten er null etter omtrent 12 døgn» og bruker det som halveringstid. Forklar i høyst tre setninger hvorfor dette er galt.

Fasitfigur: slik skal avlesningen markeres

— naturlig pausepunkt —

Løkke 3 — Henfallskonstant og aktivitet (~10 min)

Halveringstiden sier hvor lenge det tar før halvparten er borte. Den andre måten å beskrive tempoet på, er å spørre: hvor stor andel henfaller per sekund? Det tallet kalles henfallskonstanten.

De to henger sammen med en fast faktor, og den faktoren er $\ln 2$ . Å blande dem er en av de vanligste feilene i sjangeren.

Henfallskonstanten

\lambda

\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}

Eksponentialformen

N = N_0e^{-\lambda t}

N = N_0 e^{-\lambda t}

Aktivitet

A

A = \lambda N

Becquerel (Bq)

= 1\ \text{s}^{-1}

✏️Eksempel 3: Fra masse til aktivitet (sjanger P)

Regn ut aktiviteten til prøven fra eksempel 1 ved $t = 0$ : 12 µg fosfor-32 med halveringstid 14,3 døgn. Atommassen til fosfor-32 er 32,0 u, og Avogadros tall er $6{,}022\cdot10^{23}\ \text{mol}^{-1}$ (begge fra tabellen).

Steg 1 — finn antall kjerner. Ett mol fosfor-32 veier 32,0 g, så

$N_0 = \frac{m}{M}\,N_A = \frac{12\cdot10^{-6}\ \text{g}}{32{,}0\ \text{g/mol}} \cdot 6{,}022\cdot10^{23}\ \text{mol}^{-1} = 2{,}26\cdot10^{17}$

Steg 2 — finn henfallskonstanten. Aktivitet måles i henfall per sekund, så halveringstiden må over i sekunder:

$t_{1/2} = 14{,}3\ \text{døgn} \cdot 86\,400\ \text{s/døgn} = 1{,}24\cdot10^{6}\ \text{s}$

$\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{0{,}693}{1{,}24\cdot10^{6}\ \text{s}} = 5{,}61\cdot10^{-7}\ \text{s}^{-1}$

Steg 3 — regn ut aktiviteten.

$A_0 = \lambda N_0 = 5{,}61\cdot10^{-7}\ \text{s}^{-1} \cdot 2{,}26\cdot10^{17} = 1{,}27\cdot10^{11}\ \text{Bq} = 127\ \text{GBq}$

Enhetskontroll. $\text{s}^{-1}$ ganget med et rent antall gir $\text{s}^{-1} = \text{Bq}$ ✓.

Konklusjon og rimelighet. Aktiviteten er $1{,}27\cdot10^{11}$ Bq, altså 127 GBq. Det er en kraftig kilde — men mengden er også $10^{17}$ kjerner, og hver av dem har $5{,}6\cdot10^{-7}$ sjanse per sekund for å henfalle. Størrelsesordenen stemmer.

📝Oppgave 4

Sjanger P

Bruk tallene fra eksempel 3: fosfor-32 med $t_{1/2} = 14{,}3$ døgn og startaktivitet $A_0 = 127$ GBq.

a) Finn aktiviteten etter 30 døgn.
b) Hvor mange kjerner fosfor-32 er igjen etter 30 døgn?
c) En annen prøve har dobbelt så mange kjerner av samme nuklide. Hva blir aktiviteten, og hva blir halveringstiden?

Løkke 4 — Å løse for tiden (~7 min)

Snus spørsmålet — «hvor lang tid tar det før …?» — står tiden i eksponenten, og da må logaritmen fram. To veier gir samme svar:

Halveringstelling (raskest når svaret er et helt antall halveringstider): er $12{,}5\ \%$ igjen, er det $1/8$ , altså 3 halveringstider.

Logaritmen (alltid):

$\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}} \quad\Longrightarrow\quad t = t_{1/2}\cdot\frac{\ln(N_0/N)}{\ln 2}$

Formen med $\ln(N_0/N)$ i telleren gir alltid et positivt svar, og det er den enkleste å huske uten fortegnsrot.

✏️Eksempel 4: Hvor lang tid tar det? (sjanger P)

Fosfor-32 har halveringstid 14,3 døgn. Hvor lang tid går det før aktiviteten er sunket til 15 % av startverdien?

Sett opp ligningen. Vi vil ha

A/A_0 = 0{,}15

$0{,}15 = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}}$

Ta logaritmen på begge sider og bruk regelen fra kap. 1.3 i R1:

$t = t_{1/2}\cdot\frac{\ln(A_0/A)}{\ln 2} = 14{,}3\ \text{døgn}\cdot\frac{\ln(1/0{,}15)}{\ln 2} = 14{,}3\ \text{døgn}\cdot\frac{1{,}897}{0{,}693}$

$t = 14{,}3\ \text{døgn}\cdot 2{,}737 = 39\ \text{døgn}$

Konklusjon og rimelighet. Det tar 39 døgn før aktiviteten er nede i 15 % av startverdien. Kontroll ved halveringstelling: 15 % ligger mellom $1/8 = 12{,}5\ \%$ (3 halveringstider $= 42{,}9$ døgn) og $1/4 = 25\ \%$ (2 halveringstider $= 28{,}6$ døgn), så svaret skal ligge mellom 28,6 og 42,9 døgn — og 39 døgn gjør det. ✓

📝Oppgave 5

Sjanger P

Levende organismer har et fast innhold av karbon-14, som har halveringstid 5730 år. Når organismen dør, stopper opptaket, og innholdet avtar. I en trebit fra en gravhaug måles aktiviteten per gram karbon til 62 % av verdien i ferskt trevirke.

a) Hvor gammel er trebiten?
b) Hvor stor andel av det opprinnelige karbon-14-innholdet ville vært igjen etter 10 000 år?

— naturlig pausepunkt —

Løkke 5 — Energi fra massesvinn (~11 min)

Veier du morkjernen og legger sammen massene av alt som kommer ut, mangler det litt. Differansen er ikke forsvunnet — den er blitt energi. Det er derfor et gram uran kan varme et hus i årevis.

Regnskapet er alltid det samme: venstre side minus høyre side.

Massesvinn

\Delta m

\Delta m = \sum m_{\text{før}} - \sum m_{\text{etter}}

Atommasseenheten u

1\ \text{u} = 1{,}6605\cdot10^{-27}\ \text{kg}, \qquad 1\ \text{u}\cdot c^2 = 931{,}5\ \text{MeV}

📜Energi fra massesvinn

E = \Delta m\,c^2

To likeverdige regneveier:

Snarveien: $E\,[\text{MeV}] = \Delta m\,[\text{u}] \cdot 931{,}5$ , deretter $E\,[\text{J}] = E\,[\text{MeV}] \cdot 1{,}602\cdot10^{-13}$ .

SI-veien: gjør $\Delta m$ om til kilogram med $1\ \text{u} = 1{,}6605\cdot10^{-27}$ kg, og gang med $c^2 = (3{,}00\cdot10^{8}\ \text{m/s})^2$ .

Formelen står på formelarket. Rimelighetssjekken du alltid skal gjøre: energien per henfall ligger på MeV-skalaen (typisk 0,1–10 MeV), mens en fisjon ligger rundt 200 MeV. Får du kJ per henfall eller 0,001 MeV, har du gjort en enhetsfeil.

✏️Eksempel 5: Energi per alfahenfall (sjanger P)

Radium-226 henfaller ved alfastråling til radon-222. Vedlegget gir atommassene $m(^{226}\text{Ra}) = 226{,}025410$ u, $m(^{222}\text{Rn}) = 222{,}017578$ u og $m(^{4}\text{He}) = 4{,}002603$ u. Finn energien som frigjøres per henfall, i MeV og i joule.

Steg 1 — skriv ligningen og sjekk balansen (fra kap. 7.2):

$^{226}_{88}\text{Ra} \;\rightarrow\; ^{222}_{86}\text{Rn} + ^{4}_{2}\text{He}$

Nukleontall: $226 = 222 + 4$ ✓. Ladningstall: $88 = 86 + 2$ ✓.

Steg 2 — masseregnskapet, venstre minus høyre.

$\Delta m = 226{,}025410\ \text{u} - (222{,}017578\ \text{u} + 4{,}002603\ \text{u})$

$\Delta m = 226{,}025410\ \text{u} - 226{,}020181\ \text{u} = 0{,}005229\ \text{u}$

Legg merke til hvor mange desimaler som trengs: differansen ligger i sjette desimal, så massene må skrives av nøyaktig.

Steg 3 — energien. Med snarveien $1\ \text{u}\cdot c^2 = 931{,}5$ MeV:

$E = 0{,}005229\ \text{u}\cdot931{,}5\ \frac{\text{MeV}}{\text{u}} = 4{,}87\ \text{MeV}$

I joule: $E = 4{,}87\ \text{MeV}\cdot1{,}602\cdot10^{-13}\ \text{J/MeV} = 7{,}80\cdot10^{-13}\ \text{J}$ .

Kontroll via SI-veien: $\Delta m = 0{,}005229\cdot1{,}6605\cdot10^{-27}\ \text{kg} = 8{,}68\cdot10^{-30}$ kg, og

$E = \Delta m c^2 = 8{,}68\cdot10^{-30}\ \text{kg}\cdot(3{,}00\cdot10^{8}\ \text{m/s})^2 = 7{,}81\cdot10^{-13}\ \text{J}\ ✓$

Konklusjon og rimelighet. Hvert henfall frigjør 4,87 MeV, altså $7{,}80\cdot10^{-13}$ J. Størrelsesordenen stemmer: alfahenfall ligger typisk på 4–6 MeV. Mesteparten av energien går til alfapartikkelens bevegelsesenergi, siden den er langt lettere enn datterkjernen.

📝Oppgave 6

Sjanger P

Polonium-210 henfaller ved alfastråling til bly-206. Vedlegget gir $m(^{210}\text{Po}) = 209{,}982874$ u, $m(^{206}\text{Pb}) = 205{,}974465$ u og $m(^{4}\text{He}) = 4{,}002603$ u.

a) Sett opp reaksjonsligningen og vis A/Z-balansen.
b) Finn massesvinnet.
c) Finn energien som frigjøres per henfall, i MeV og i joule.

📝Oppgave 7

Sjanger P

I en reaktor spaltes uran-235 etter reaksjonen

$^{235}_{92}\text{U} + ^{1}_{0}\text{n} \;\rightarrow\; ^{141}_{56}\text{Ba} + ^{92}_{36}\text{Kr} + 3\,^{1}_{0}\text{n}$

Vedlegget gir $m(^{235}\text{U}) = 235{,}043930$ u, $m(^{141}\text{Ba}) = 140{,}914411$ u, $m(^{92}\text{Kr}) = 91{,}926156$ u og $m(\text{n}) = 1{,}008665$ u.

a) Finn massesvinnet i reaksjonen.
b) Finn energien som frigjøres per spalting, i MeV og i joule.
c) Sammenlign med de omtrent 5 MeV et alfahenfall gir, og kommenter hvorfor fisjon er interessant som energikilde.

Løkke 6 — Fra energi per henfall til effekt (~6 min)

Siste trinn i malen kobler de to foregående: vet du hvor mange henfall per sekund (aktiviteten) og hvor mye energi hvert henfall gir, får du effekten ved å gange:

$P = A\cdot E_{\text{per henfall}}$

Enhetskontroll: $\text{s}^{-1}\cdot\text{J} = \text{J/s} = \text{W}$ ✓. Dette er akkurat regnestykket bak «radioaktiv oppvarming av jordas indre» og bak varmekildene i romsonder.

✏️Eksempel 6: Varmeeffekten fra en liten kilde (sjanger P)

En varmekilde inneholder 1,0 mg polonium-210, som har halveringstid 138,4 døgn og frigjør 5,41 MeV per henfall (fra oppgaven i løkke 5). Atommassen er 210 u. Finn varmeeffekten fra kilden ved $t = 0$ .

Steg 1 — antall kjerner.

$N = \frac{m}{M}N_A = \frac{1{,}0\cdot10^{-3}\ \text{g}}{210\ \text{g/mol}}\cdot6{,}022\cdot10^{23}\ \text{mol}^{-1} = 2{,}87\cdot10^{18}$

Steg 2 — henfallskonstanten. $t_{1/2} = 138{,}4\cdot86\,400\ \text{s} = 1{,}196\cdot10^{7}$ s, så

$\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{0{,}693}{1{,}196\cdot10^{7}\ \text{s}} = 5{,}80\cdot10^{-8}\ \text{s}^{-1}$

Steg 3 — aktiviteten.

$A = \lambda N = 5{,}80\cdot10^{-8}\ \text{s}^{-1}\cdot2{,}87\cdot10^{18} = 1{,}66\cdot10^{11}\ \text{Bq}$

Steg 4 — effekten. Hvert henfall gir $5{,}41\ \text{MeV} = 8{,}67\cdot10^{-13}$ J:

$P = A\cdot E = 1{,}66\cdot10^{11}\ \text{s}^{-1}\cdot8{,}67\cdot10^{-13}\ \text{J} = 0{,}14\ \text{W}$

Konklusjon og rimelighet. Ett milligram polonium-210 avgir omtrent 0,14 W — nok til å kjennes tydelig varmt. At et så lite metallkorn kan gi en brøkdel av en watt kontinuerlig, er nettopp grunnen til at slike kilder har vært brukt som varmeelementer i romsonder. Energien kommer fra massesvinn, ikke fra kjemisk forbrenning.

📝Oppgave 8

Sjanger P

I en bergartsprøve på 1,0 kg er aktiviteten fra en alfaaktiv nuklide målt til $3{,}0\cdot10^{4}$ Bq, og hvert henfall frigjør 4,9 MeV.

a) Finn energien per henfall i joule.
b) Finn varmeeffekten fra 1,0 kg av bergarten.
c) Hvor mye varme avgir 1,0 kg bergart i løpet av ett år? (Ett år $= 3{,}16\cdot10^{7}$ s.)

Bør kjenne til: dosimetri — gray og sievert (~5 min)

Dette avsnittet er markert «bør kjenne til». Det er ikke hovedstoff, men det dukker opp som kortsvar og som siste deloppgave i medisinsk innpakkede kjernefysikkoppgaver — særlig i eldre sett. Det koster fem minutter og gir billige poeng.

Spørsmålet dosimetrien svarer på, er: hvor skadelig er strålingen for den som treffes? Det krever to trinn, fordi like mye energi ikke gjør like mye skade.

Absorbert dose

D

D = \frac{E}{m}

Ekvivalent dose

H

H = w_R\,D

Strålingsvektfaktor

w_R

w_R = 1

✏️Eksempel 7: Gray og sievert i samme oppgave (sjanger P + Q)

En pasient på 70 kg får hele kroppen bestrålt med gammastråling og absorberer til sammen 3,5 mJ. En annen pasient har innåndet et alfaaktivt stoff, slik at 1,2 mJ avsettes i 0,60 kg lungevev. Finn absorbert dose og ekvivalent dose i begge tilfeller, og avgjør hvilken pasient som har fått den største helsebelastningen.

Pasient 1 — gammastråling over hele kroppen.

$D_1 = \frac{E}{m} = \frac{3{,}5\cdot10^{-3}\ \text{J}}{70\ \text{kg}} = 5{,}0\cdot10^{-5}\ \text{Gy} = 50\ \mu\text{Gy}$

Med $w_R = 1$ for gamma: $H_1 = 1\cdot50\ \mu\text{Gy} = 50\ \mu\text{Sv}$ .

Pasient 2 — alfastråling i lungevev.

$D_2 = \frac{1{,}2\cdot10^{-3}\ \text{J}}{0{,}60\ \text{kg}} = 2{,}0\cdot10^{-3}\ \text{Gy} = 2{,}0\ \text{mGy}$

Med $w_R = 20$ for alfa: $H_2 = 20\cdot2{,}0\ \text{mGy} = 40\ \text{mSv}$ .

Sammenligning. $H_2/H_1 = 40\ \text{mSv}/0{,}050\ \text{mSv} = 800$ . Pasient 2 har fått en ekvivalent dose 800 ganger større enn pasient 1, selv om den absorberte energien var mindre i absolutt størrelse (1,2 mJ mot 3,5 mJ).

Konklusjon. Pasient 2 har klart den største helsebelastningen. To forhold trekker i samme retning: energien er avsatt i en mye mindre masse, og alfastråling har vektfaktor 20. Regnestykket viser hvorfor dosen må angis i sievert — gray alene ville gitt et misvisende bilde.

📝Oppgave 9

Sjanger P + Q

Under en undersøkelse absorberer 0,25 kg vev 0,80 mJ energi fra betastråling.

a) Finn den absorberte dosen i gray.
b) Finn den ekvivalente dosen i sievert.
c) Hvor stor ville den ekvivalente dosen vært om den samme energien kom fra alfastråling? Forklar i én til to setninger hvorfor forskjellen er så stor.

Typiske feil

- «Tiden til null» lest av grafen. En eksponentiell kurve når aldri null. Halveringstiden er tiden fra en verdi til halvparten av den verdien — og avlesningen skal markeres på grafen, ikke bare nevnes i teksten.
- Blande $\lambda$ og $t_{1/2}$ uten $\ln 2$ . Det er $\lambda = \ln 2/t_{1/2}$ , ikke $\lambda = 1/t_{1/2}$ . (Størrelsen $1/\lambda$ er middellevetiden $\tau$ , som er omtrent 1,44 ganger halveringstiden — en klassisk distraktor.)
- Glemme u $\to$ kg (eller 931,5-faktoren) i $E = \Delta mc^2$ . Setter du inn massesvinnet i u og ganger med $c^2$ , bommer du med 27 tierpotenser. Kontroller alltid at energien per henfall lander på MeV-skalaen.
- Ulike tidsenheter i eksponenten. $t$ og $t_{1/2}$ må ha samme enhet i $t/t_{1/2}$ . Skal du regne aktivitet i becquerel, må $t_{1/2}$ derimot være i sekunder, siden Bq er henfall per sekund.
- Blande Gy og Sv. Gray måler avsatt energi per kilogram; sievert måler den vektede, helsemessige dosen. Glemmer du vektfaktoren $w_R = 20$ for alfa, bommer du med en faktor 20.
- For få desimaler i masseregnskapet. Massesvinnet ligger i femte–sjette desimal. Runder du massene til fire desimaler før subtraksjonen, forsvinner hele svaret.
- Å tro at halveringstiden avhenger av prøvestørrelsen. Dobbelt så mye stoff gir dobbelt så høy aktivitet, men nøyaktig samme halveringstid.
- Å regne massesvinn med kjernemasser når vedlegget gir atommasser (eller motsatt). Vedlegget på eksamen gir atommasser, og for alfa- og betaminus-henfall kan de brukes direkte.

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Middellevetid

\tau

\tau = 1/\lambda

Henfallskurve

Grafen som viser antall kjerner, masse eller aktivitet som funksjon av tiden. Den er alltid avtakende og krummer av mot tidsaksen uten å nå den. Kjennetegnet er at like store andeler forsvinner i like lange tidsrom — derfor tar hver halvering like lang tid, uansett hvor på kurven du starter.

Karbondatering

^{14}\text{C}

Bindingsenergi

c^2

Q-verdi

Q = \Delta m\,c^2

Spesifikk aktivitet

A/m

Effektiv halveringstid

\frac{1}{t_{1/2,\text{eff}}} = \frac{1}{t_{1/2,\text{fys}}} + \frac{1}{t_{1/2,\text{biol}}}

Naturlig bakgrunnsstråling

Strålingen vi utsettes for uten menneskelig påvirkning: radongass fra berggrunnen, kosmisk stråling, naturlig kalium-40 i kroppen og gammastråling fra bakken. I Norge ligger den samlede ekvivalente dosen typisk rundt noen få millisievert per år, og radon er det største bidraget. Tallet er nyttig som målestokk når en oppgave ber deg vurdere om en beregnet dose er stor eller liten.

Fisjonsenergi

Energien som frigjøres når en tung kjerne spaltes — omkring 200 MeV per spalting, altså rundt 40 ganger mer enn et typisk alfahenfall. Størrelsesordenen er verdt å kjenne som rimelighetssjekk: får du noen få MeV per fisjon, eller flere tusen, har du regnet feil et sted i masseregnskapet.

MeV som energienhet

1\ \text{MeV} = 10^{6}\ \text{eV} = 1{,}602\cdot10^{-13}

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0 / 3 oppgaver

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.