4.2 Ideell gass

Gassloven i begge former, isoterme og isobare prosesser — og kelvin-disiplinen.

50 min

11 oppgaver

Ideell gass

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.1Kalorimetri og faseoverganger

Brukes videre i

4.3Termofysikkens 1. lov, varmemaskiner og TS-diagrammet

Høyeste prioritet. Termofysikk er testet i 31 av 36 slutteksamener (86 %) — og i alle sett siden 2013. Gassloven spesifikt dukker opp i godt over halvparten av de moderne settene.

Oppgavemalen har bokstaven H i sjangerkatalogen i kap. 0.1: sjanger H = ideell gass og termodynamiske prosesser. Slik ser den ut:

- «Finn antall gassmolekyler i beholderen» — ren innsetting i tilstandslikningen, en billig deloppgave på 4 poeng,
- «Hva blir trykket når temperaturen stiger til …» — én prosess med noe holdt konstant,
- konsentrasjonsresonnementet $N/V = p/(kT)$ , brukt til å forklare hvorfor lufta er tynnere høyt oppe eller når den varmes (vår 2023 og vår 2024),
- en kvalitativ hale: «hvorfor må temperaturen regnes i kelvin?» eller «når svikter modellen om ideell gass?».

Kapitlets viktigste enkeltregel: all gasslovregning skjer i kelvin. Celsius i gassloven er den dyreste enkeltfeilen i hele termofysikken — den gir svar som er hundre prosent gale, ikke bare litt skjeve. Regelen står utskrevet i løkke 1, og du møter den igjen i hver eneste utregning i kapitlet.

Forkunnskaper

- Varmeregnskap — kap. 4.1: begrepene varme, temperatur og energi i joule. Du trenger ikke faseoverganger her, men tankegangen «hvilken formel gjelder i hvilken fase» går igjen.
- Løse ut en ukjent i en flerbokstavslikning — Praktisk bruk av likninger: $pV = NkT$ skal kunne løses for hvilken som helst av de fire bokstavene.
- Potenser og standardform — Potenser: tallene her er store ( $10^{25}$ molekyler) og små ( $k \approx 10^{-23}$ J/K), så du må være trygg på regning med tierpotenser.

Konstantene $k$ , $R$ og $N_A$ står på formelarket. Du skal ikke pugge dem — du skal vite hvilken av dem som hører til hvilken form av gassloven.

Hverdagsanker: dekket som «mister luft» om vinteren

Om høsten fyller du dekkene på bilen. Når frosten kommer i november, viser måleren plutselig et lavere trykk — men ingen luft har lekket ut. Hva skjedde?

Gassen i dekket har samme antall molekyler og omtrent samme volum, men lavere temperatur. Molekylene beveger seg saktere, treffer dekkveggen med mindre kraft og sjeldnere, og trykket faller. Hele dette kapitlet er én likning som binder sammen nettopp de fire størrelsene: trykk, volum, antall molekyler og temperatur.

Tidsbruk: fem løkker på 8–13 minutter, med naturlige pausepunkter markert underveis.

Løkke 1 — Kelvin: kapitlets viktigste disiplin (~9 min)

Absolutt temperatur (kelvin)

T

Ideell gass

En ideell gass er en modell der molekylene tenkes som små, harde kuler uten utstrekning som ikke tiltrekker hverandre, og som bare vekselvirker gjennom støt. Modellen er svært god for luft, oksygen, helium og andre gasser ved vanlige trykk og temperaturer — og det er den vi bruker gjennom hele kapitlet. Den svikter først når gassen presses hardt sammen eller nærmer seg kondensasjon; da blir molekylenes eget volum og tiltrekningen mellom dem merkbar.

Kelvin-regelen, skrevet ut

> I gassloven, i $\Delta V/V = \Delta T/T$ og i alle forholdstall mellom temperaturer skal $T$ være i kelvin.

Grunnen er enkel: likningen sier at trykk og volum er proporsjonale med temperaturen. En proporsjonalitet må måles fra det virkelige nullpunktet, ikke fra vannets frysepunkt. Regner du med celsius, kan du til og med få negative eller uendelige trykk — svar som er fysisk umulige.

Sammenlign med kap. 4.1: der stod alltid $\Delta T$ , en differanse, og da var celsius trygt. Kjøreregelen som skiller de to situasjonene:

Står $T$ alene i formelen — bruk kelvin. Står det $\Delta T$ — spiller det ingen rolle.

✏️Eksempel 1: Kelvin i praksis

En gass varmes fra 20 $^\circ$ C til 60 $^\circ$ C i en lukket, stiv beholder.

a) Hvor mange prosent stiger den absolutte temperaturen?
b) Hva ville du fått hvis du regnet med celsiusgrader, og hvorfor er det galt?

a) Regn om først:

T_1 = 20 + 273 = 293

K og

T_2 = 60 + 273 = 333

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{333}{293} = 1{,}137$

Den absolutte temperaturen stiger altså med 13,7 %, og siden volumet er fast, stiger trykket med de samme 14 %.

b) Med celsius: $60/20 = 3{,}0$ — altså en tredobling av trykket. Det er langt fra sannheten. Feilen kommer av at celsiusskalaens nullpunkt er et vilkårlig valgt punkt (vannets frysepunkt), mens proporsjonaliteten i gassloven gjelder fra det absolutte nullpunktet. Merk hvor grov feilen blir: 14 % mot 200 %.

Svar: Den absolutte temperaturen stiger 13,7 %; celsiusregning ville gitt en tredobling, som er fysisk feil.

📝Oppgave 1

(Innstegsoppgave.)

a) Regn om til kelvin: 37 $^\circ$ C, $-196\ ^\circ$ C og 0 $^\circ$ C.
b) Regn om 800 K til celsius.
c) En gass varmes 25 grader. Hvor mange kelvin er det?

— naturlig pausepunkt —

Løkke 2 — Tilstandslikningen i to former (~13 min)

Tilstandslikningen med antall molekyler

pV = NkT

Tilstandslikningen med stoffmengde

pV = nRT

Boltzmanns konstant (k)

k = 1{,}381\cdot10^{-23}

Gasskonstanten (R) og Avogadros tall

R = 8{,}314

✏️Eksempel 2: Hvor mange molekyler? (sjanger H)

En gassflaske på 8,0 L holder trykket $1{,}5\cdot10^{7}$ Pa (150 bar) ved 15 $^\circ$ C.

a) Finn antall gassmolekyler i flasken.
b) Hvor mange mol er det?

a) Vi spør etter antall molekyler, så vi velger formen

pV = NkT

og løser for

N

$N = \frac{pV}{kT}$

Rydd i enhetene først: $V = 8{,}0\ \text{L} = 8{,}0\cdot10^{-3}\ \text{m}^3$ og $T = 15 + 273 = 288$ K. Trykket er alt i pascal.

$N = \frac{1{,}5\cdot10^{7} \cdot 8{,}0\cdot10^{-3}}{1{,}381\cdot10^{-23} \cdot 288} = \frac{1{,}2\cdot10^{5}}{3{,}977\cdot10^{-21}} = 3{,}0\cdot10^{25}$

Svar: Det er $3{,}0\cdot10^{25}$ molekyler i flasken.

b) $n = N/N_A = 3{,}0\cdot10^{25}/6{,}022\cdot10^{23} = 50$ mol.

Kontroll med den andre formen: $n = pV/(RT) = 1{,}2\cdot10^{5}/(8{,}314\cdot288) = 50{,}1$ mol. De to formene gir samme svar, slik de skal.

Rimelighetsvurdering: 50 mol luft veier omtrent $50 \cdot 29$ g $\approx 1{,}5$ kg — en tung, men helt normal gassflaske.

📝Oppgave 2

Sjanger H

En beholder på $0{,}50\ \text{m}^3$ inneholder luft ved trykket $3{,}0\cdot10^{5}$ Pa og temperaturen 25 $^\circ$ C.

a) Finn stoffmengden i mol.
b) Hvilken form av gassloven valgte du, og hvorfor?

( $R = 8{,}314$ J/(mol $\cdot$ K))

— naturlig pausepunkt —

Løkke 3 — Prosesser: hva holdes konstant? (~13 min)

Nesten alle eksamensoppgaver i sjanger H handler om en gass som går fra én tilstand til en annen. Da er antall molekyler det samme før og etter, og $Nk$ kan strykes:

$\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2}$

Dette er hovedverktøyet. De tre navngitte spesialtilfellene får du gratis ved å stryke det som ikke endrer seg.

Den kombinerte gassloven

\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2}

Isoterm prosess

T

Isobar prosess

p

Isokor prosess

V

✏️Eksempel 3: Gassflasken i sola (sjanger H — isokor)

Gassflasken fra eksempel 2 (8,0 L, 150 bar, 15 $^\circ$ C) blir stående i sola og varmes til 45 $^\circ$ C. Flasken er stiv.

a) Finn det nye trykket.
b) Hva ville du fått hvis du hadde satt inn celsiusgrader, og hvorfor er svaret ubrukelig?

a) Volumet er konstant (stiv flaske), så prosessen er isokor:

$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2} \quad\Rightarrow\quad p_2 = p_1\frac{T_2}{T_1}$

Kelvin: $T_1 = 15 + 273 = 288$ K, $T_2 = 45 + 273 = 318$ K.

$p_2 = 150\ \text{bar} \cdot \frac{318}{288} = 166\ \text{bar}$

Svar: Trykket stiger til 166 bar, altså $1{,}7\cdot10^{7}$ Pa.

b) Med celsius: $p_2 = 150 \cdot 45/15 = 450$ bar — en tredobling. Det er åpenbart tull: en oppvarming på 30 grader kan ikke tredoble trykket i en flaske. Feilen skyldes at forholdet $45/15$ måles fra et vilkårlig nullpunkt. Regner du med kelvin, ser du at temperaturen bare øker 10 %, og trykket følgelig også.

Rimelighetsvurdering: 166 bar mot 150 bar er en økning på snaut 11 % — samme prosent som temperaturøkningen i kelvin, akkurat som proporsjonaliteten krever.

📝Oppgave 3

Sjanger H

Du komprimerer luft i en sykkelpumpe fra $350\ \text{cm}^3$ til $90\ \text{cm}^3$ . Trykket var $1{,}0\cdot10^{5}$ Pa før du begynte, og du pumper langsomt nok til at temperaturen holder seg konstant.

Finn trykket i den sammenpressede lufta.

📝Oppgave 4

Sjanger H

En ballong har volumet 2,5 L inne i et rom på 22 $^\circ$ C. Du tar den med ut, der det er $-8{,}0\ ^\circ$ C. Ballongskinnet er slapt, så trykket inne i ballongen er hele tiden det samme som lufttrykket ute.

a) Finn det nye volumet.
b) Hvor mange prosent krympet ballongen?

📝Oppgave 5

Sjanger H

Et bildekk har det absolutte trykket $3{,}4\cdot10^{5}$ Pa ved 5,0 $^\circ$ C. Etter en lang kjøretur er lufta i dekket 38 $^\circ$ C, og dekket har utvidet seg slik at volumet er 3,0 % større enn før.

a) Finn det nye trykket.
b) Hvilken av de to endringene — temperaturen eller volumet — betyr mest for svaret? Begrunn.

— naturlig pausepunkt —

Løkke 4 — Konsentrasjon: hvor tett ligger molekylene? (~9 min)

Molekylkonsentrasjon

N/V

✏️Eksempel 4: Tynn luft (sjanger H + Q)

Ved havnivå er lufttrykket $1{,}0\cdot10^{5}$ Pa og temperaturen 20 $^\circ$ C. På 3 000 meters høyde er trykket $7{,}0\cdot10^{4}$ Pa og temperaturen 3 $^\circ$ C.

a) Finn molekylkonsentrasjonen begge steder.
b) Hvor mange prosent færre luftmolekyler puster du inn per åndedrag på toppen?

a) Utledningen fra

pV = NkT

gir

N/V = p/(kT)

. Kelvin: 293 K og 276 K.

Ved havnivå:
$\frac{N}{V} = \frac{1{,}0\cdot10^{5}}{1{,}381\cdot10^{-23}\cdot293} = \frac{1{,}0\cdot10^{5}}{4{,}046\cdot10^{-21}} = 2{,}47\cdot10^{25}\ \text{m}^{-3}$

På 3 000 m:
$\frac{N}{V} = \frac{7{,}0\cdot10^{4}}{1{,}381\cdot10^{-23}\cdot276} = \frac{7{,}0\cdot10^{4}}{3{,}812\cdot10^{-21}} = 1{,}84\cdot10^{25}\ \text{m}^{-3}$

b) Forholdet er $1{,}84/2{,}47 = 0{,}743$ . Du får altså 74 % så mange molekyler per åndedrag — en nedgang på 26 %.

Svar: $2{,}5\cdot10^{25}\ \text{m}^{-3}$ ved havnivå og $1{,}8\cdot10^{25}\ \text{m}^{-3}$ på 3 000 m; 26 % færre molekyler per åndedrag.

Merk fortegnene i resonnementet: det lavere trykket trekker konsentrasjonen ned, mens den lavere temperaturen trekker den opp. Trykkfallet vinner klart — det er 30 %, mens temperaturfallet bare er 6 % i kelvin. Uten kelvin-regningen ville du fått temperaturfallet til å se ut som 85 % (fra 20 til 3, altså ned til $3/20 = 15$ % av utgangspunktet), og hele resonnementet ville kollapset.

📝Oppgave 6

Sjanger H + Q

En bakerovn varmes fra 20 $^\circ$ C til 220 $^\circ$ C. Ovnsdøra er ikke lufttett, så trykket inne i ovnen er hele tiden det samme som i rommet, $1{,}0\cdot10^{5}$ Pa.

a) Finn molekylkonsentrasjonen i ovnsrommet før og etter oppvarmingen.
b) Forklar i 2–3 setninger hva som har skjedd med lufta i ovnen.

Løkke 5 — Når svikter modellen? (~6 min)

Avvik fra ideell gass

Modellen om ideell gass svikter når molekylenes eget volum eller tiltrekningen mellom dem blir merkbar. I praksis skjer det ved - høyt trykk, der molekylene presses så tett at deres eget volum utgjør en betydelig del av beholderen, og - temperatur nær kondensasjonspunktet, der tiltrekningskreftene mellom molekylene får tak. Ved vanlige trykk og temperaturer er avviket for luft under én prosent, og modellen er utmerket. Det er nettopp derfor eksamen tør bruke den på alt fra dykkerflasker til bakerovner.

📝Oppgave 7

Sjanger Q

En gassflaske som holder 300 bar, gir målinger som avviker merkbart fra $pV = NkT$ , mens den samme gassen ved 1 bar følger loven nesten perfekt.

Forklar hvorfor, i 2–4 setninger.

Typiske feil

- Celsius i gassloven. Den dyreste enkeltfeilen i termofysikken. I $pV = NkT$ , i $p_1/T_1 = p_2/T_2$ og i $\Delta V/V = \Delta T/T$ skal temperaturen alltid være i kelvin. Skriv om til kelvin først, før du gjør noe annet — da kan feilen ikke oppstå.
- Blande $k$ og $R$ . Boltzmanns konstant hører til antall molekyler ( $pV = NkT$ ), gasskonstanten til mol ( $pV = nRT$ ). Bruker du $R$ sammen med et molekylantall, bommer du med en faktor $6\cdot10^{23}$ .
- Bruke $\Delta V/V = \Delta T/T$ når trykket ikke er konstant. Denne formen er isobar — den gjelder kun når trykket er det samme før og etter. Endres begge, må du bruke $p_1V_1/T_1 = p_2V_2/T_2$ .
- Glemme å gjøre om enheter. Volum i liter må bli $\text{m}^3$ (del på 1 000) når trykket er i pascal, og bar må bli pascal (gang med $10^5$ ). Regner du bare forholdstall — som i $p_1V_1 = p_2V_2$ — går liter fint, så lenge begge sider har samme enhet.
- Overtrykk forvekslet med absolutt trykk. En dekkmåler viser trykket over atmosfæretrykket. Gassloven bruker det absolutte trykket, altså måleravlesningen pluss om lag $1{,}0\cdot10^{5}$ Pa. Oppgaveteksten sier alltid hvilket som er oppgitt — les nøye.
- Svar uten enhet. Pascal, bar, mol, $\text{m}^{-3}$ — hvert tallsvar skal ha enheten sin, ellers ryker poeng.

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Absolutt nullpunkt

-273{,}15\ ^\circ

Absolutt trykk og overtrykk

p_{\text{abs}} = p_{\text{over}} + p_0, \qquad p_0 \approx 1{,}0\cdot10^{5}\ \text{Pa}

Stoffmengde og molar masse

n

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0 / 4 oppgaver

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.