8.4 Differensiallikninger i økonomi | Matematikk S2

Bruke differensiallikninger til å modellere økonomiske prosesser.

60 min

18 oppgaver

DifferensiallikningerØkonomisk modelleringLikevektDynamiske modeller

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 18 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

8.3Matematiske vekstmodeller 2.4Modellering med differensiallikninger

Overskot i ein marknad

I ein marknad med likevektspris $p^*$ og likevektsmengd $x^*$ er det nokre forbrukarar som ville ha vore villige til å betale meir enn $p^*$ , og nokre produsentar som kunne ha produsert til lågare kostnad enn $p^*$ .

Denne ekstra nytta for forbrukarar og produsentar vert kalla konsumentoverskot og produsentoverskot. Vi kan rekne ut desse ved hjelp av bestemt integral, noko som er ein sentral bruk av integrasjon i S2.

Konsumentoverskot (KO)

KO = \int_0^{x^*} p_E(x) \, dx - p^* \cdot x^*

Produsentoverskot (PO)

PO = p^* \cdot x^* - \int_0^{x^*} p_T(x) \, dx

📜Utrekning av overskot med integrasjon

For lineære tilbods- og etterspurnadsfunksjonar med likevektsmengd

x^*

og likevektspris

p^*

Konsumentoverskot:
$KO = \int_0^{x^*} p_E(x) \, dx - p^* \cdot x^* = \frac{1}{2} \cdot x^* \cdot \big(p_E(0) - p^*\big)$

Produsentoverskot:
$PO = p^* \cdot x^* - \int_0^{x^*} p_T(x) \, dx = \frac{1}{2} \cdot x^* \cdot \big(p^* - p_T(0)\big)$

For lineære funksjonar er overskota altså trekantareal. For ikkje-lineære funksjonar må vi bruke integrasjon.

✏️KO og PO med lineære funksjonar

I ein marknad er etterspurnaden $p_E(x) = 120 - 3x$ og tilbodet $p_T(x) = 30 + 2x$ .

a) Finn likevektspris og likevektsmengd.
b) Rekn ut konsumentoverskotet og produsentoverskotet.
c) Finn totaloverskotet.

a) Likevekt:

120 - 3x = 30 + 2x \quad \Rightarrow \quad 5x = 90 \quad \Rightarrow \quad x^* = 18

p^* = 120 - 54 = 66 \text{ kr}

b) Konsumentoverskot:
$KO = \int_0^{18} (120 - 3x) \, dx - 66 \cdot 18$

$= \left[120x - \frac{3x^2}{2}\right]_0^{18} - 1188 = (2160 - 486) - 1188 = 1674 - 1188 = 486$

Alternativt: $\displaystyle KO = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot (120 - 66) = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 54 = 486$ kr.

Produsentoverskot:
$PO = 66 \cdot 18 - \int_0^{18} (30 + 2x) \, dx$

$= 1188 - \left[30x + x^2\right]_0^{18} = 1188 - (540 + 324) = 1188 - 864 = 324$

Alternativt: $\displaystyle PO = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot (66 - 30) = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 36 = 324$ kr.

c) Totaloverskot:
$TO = KO + PO = 486 + 324 = 810 \text{ kr}$

📊Utforsk: Konsument- og produsentoverskot som areal

Likevekta er $x = 20$ , $p = 60$ . Konsumentoverskotet er arealet mellom etterspurnadskurva og prislinja (øvst), produsentoverskotet er arealet mellom prislinja og tilbodskurva (nedst).

Ikkje-lineære funksjonar

Når etterspurnads- eller tilbodsfunksjonen ikkje er lineær, kan vi ikkje bruke trekantformelen. Då må vi rekne ut integralet direkte.

Typiske døme:
- Eksponentiell etterspurnad: $p_E(x) = ae^{-bx}$
- Kvadratisk tilbod: $p_T(x) = c + dx^2$
- Rasjonal etterspurnad: $\displaystyle p_E(x) = \frac{a}{x + b}$

I alle tilfelle bruker vi dei same formlane:
$KO = \int_0^{x^*} p_E(x) \, dx - p^* \cdot x^*$
$PO = p^* \cdot x^* - \int_0^{x^*} p_T(x) \, dx$

✏️KO med ikkje-lineær etterspurnad

Etterspurnaden er $\displaystyle p_E(x) = \frac{200}{x+2}$ og tilbodet er $p_T(x) = 10 + 2x$ . Likevektsmengda er $x^* = 8$ og likevektsprisen er $p^* = 20$ kr (verifiser gjerne dette).

Rekn ut konsumentoverskotet.

Vi verifiserer først:

\displaystyle p_E(8) = \frac{200}{10} = 20

p_T(8) = 10 + 16 = 26 \neq 20

Lat oss korrigere: $p_T(x) = 2 + 2x$ . Då er $p_T(8) = 18 \neq 20$ . Vi bruker $p_T(x) = 4 + 2x$ : $p_T(8) = 20$ \checkmark.

Konsumentoverskot:
$KO = \int_0^{8} \frac{200}{x+2} \, dx - 20 \cdot 8$

$= 200 \Big[\ln(x+2)\Big]_0^{8} - 160$

$= 200\big(\ln 10 - \ln 2\big) - 160$

$= 200 \ln 5 - 160$

$\approx 200 \cdot 1{,}609 - 160 = 321{,}9 - 160 = 161{,}9 \text{ kr}$

Konsumentoverskotet er om lag 162 kroner.

📜Verknad av avgift på overskota

Når ei avgift

t

vert innført, endrar likevekta seg og overskota vert omfordelte:

1. Konsumentoverskotet søkk (forbrukarane betaler meir)
2. Produsentoverskotet søkk (produsentane mottek mindre)
3. Staten får avgiftsinntekt $T = t \cdot x^{**}$
4. Det oppstår eit dødvektstap (effektivitetstap)

$\text{Dødvektstap} = TO_{\text{utan avgift}} - TO_{\text{med avgift}} - T$

Dødvektstapet representerer verdiskaping som går tapt fordi handelen vert redusert. Det er ein samfunnsøkonomisk kostnad ved avgifta.

✏️Totaloverskot med og utan avgift

Etterspurnaden er $p_E(x) = 100 - 2x$ og tilbodet er $p_T(x) = 20 + x$ . Staten innfører ei avgift $t = 12$ kr.

a) Rekn ut totaloverskotet utan avgift.
b) Rekn ut totaloverskotet med avgift og avgiftsinntekta til staten.
c) Finn dødvektstapet.

a) Utan avgift:

\displaystyle 100 - 2x = 20 + x \Rightarrow x^* = \frac{80}{3} \approx 26{,}67

\displaystyle p^* = \frac{140}{3} \approx 46{,}67

kr.

$TO = \int_0^{80/3} \big((100-2x)-(20+x)\big) \, dx = \int_0^{80/3} (80-3x) \, dx$

$= \left[80x - \frac{3x^2}{2}\right]_0^{80/3} = 80 \cdot \frac{80}{3} - \frac{3}{2} \cdot \frac{6400}{9} = \frac{6400}{3} - \frac{3200}{3} = \frac{3200}{3} \approx 1066{,}7 \text{ kr}$

b) Med avgift:
$\displaystyle 100 - 2x = 32 + x \Rightarrow 3x = 68 \Rightarrow x^{**} = \frac{68}{3} \approx 22{,}67$ .

$\displaystyle p_F = 100 - 2 \cdot \frac{68}{3} = \frac{164}{3} \approx 54{,}67$ kr (forbrukarpris).

$TO_{\text{ny}} = \int_0^{68/3} (80-3x) \, dx = \left[80x - \frac{3x^2}{2}\right]_0^{68/3} = \frac{5440}{3} - \frac{6936}{9} = \frac{5440}{3} - \frac{2312}{3} = \frac{3128}{3} \approx 1042{,}7 \text{ kr}$

Avgiftsinntekta til staten: $\displaystyle T = 12 \cdot \frac{68}{3} = 272$ kr.

c) Dødvektstap:
$\text{Dødvektstap} = TO_{\text{gammal}} - TO_{\text{ny}} = \frac{3200}{3} - \frac{3128}{3} = \frac{72}{3} = 24 \text{ kr}$

Kontroll: $\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot (\frac{80}{3} - \frac{68}{3}) = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 4 = 24$ kr \checkmark.

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

Etterspurnaden er $p_E(x) = 60 - 2x$ og likevektsprisen er $p^* = 20$ . Finn likevektsmengda $x^*$ .

Rekn ut konsumentoverskotet.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

Tilbodet er $p_T(x) = 10 + 3x$ og likevektspunktet er $(x^*, p^*) = (10, 40)$ . Rekn ut produsentoverskotet.

Verifiser svaret med integrasjon: $PO = p^* \cdot x^* - \int_0^{x^*} p_T(x) \, dx$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

Forklar med eigne ord kva konsumentoverskot representerer.

Kvifor er totaloverskotet størst i den frie marknadslikevekta (utan avgifter)?

📝Oppgave 4

Løys oppgåvene:

Etterspurnaden er $p_E(x) = 80 - x$ og tilbodet er $p_T(x) = 20 + x$ . Finn likevekt og rekn ut KO og PO.

Finn totaloverskotet.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

Etterspurnaden er $p_E(x) = 100 - x^2$ og tilbodet er $p_T(x) = 10 + 2x$ . Finn likevektsmengda. (Hint: $x^2 + 2x - 90 = 0$ )

Rekn ut konsumentoverskotet med integrasjon.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Løys oppgåvene:

Etterspurnaden er $p_E(x) = 50e^{-0{,}1x}$ og likevektspunktet er $(10, 50e^{-1})$ . Rekn ut KO med integrasjon.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Løys oppgåvene:

Etterspurnaden er $p_E(x) = 90 - 3x$ og tilbodet er $p_T(x) = 10 + x$ . Ei avgift $t = 8$ vert innført. Finn gammal og ny likevekt.

Rekn ut dødvektstapet.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Løys oppgåvene:

Tilbodet er $p_T(x) = x^2 + 5$ og likevektspunktet er $(4, 21)$ . Rekn ut PO med integrasjon.

Samanlikn med trekantformelen. Kvifor gjev trekantformelen feil svar her?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Løys oppgåvene:

Etterspurnaden er $\displaystyle p_E(x) = \frac{100}{\sqrt{x+1}}$ og tilbodet er $p_T(x) = 5 + x$ . Vis at likevektsmengda oppfyller $\displaystyle x^2 + 11x + 30 = \frac{10000}{x+1}$ .

Bruk CAS eller numerisk metode til å finne $x^*$ og rekn ut KO.

📝Oppgave 10

Løys oppgåvene:

Etterspurnaden er $p_E(x) = 80 - 2x$ og tilbodet $p_T(x) = 20 + x$ . Rekn ut KO, PO og TO utan avgift.

Ei avgift $t = 9$ vert innført. Rekn ut nye KO, PO, statens inntekt og dødvektstap.

📝Oppgave 11

Løys oppgåvene:

Ein monopolist har etterspurnad $p(x) = 100 - 2x$ og kostnad $K(x) = x^2 + 20x$ . Finn profittmaksimerande mengd og pris.

Rekn ut konsumentoverskotet ved monopolprisen og samanlikn med KO ved fri konkurranse (der $p = K'(x)$ , altså $100-2x = 2x+20$ ).

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

Løys oppgåvene:

Vis at for lineære tilbods- og etterspurnadsfunksjonar $p_E(x) = a - bx$ og $p_T(x) = c + dx$ er totaloverskotet $\displaystyle TO = \frac{(a-c)^2}{2(b+d)}$ .

📝Oppgave 13

Løys oppgåvene:

Etterspurnaden er $p_E(x) = 120 - 4x$ og tilbodet er $p_T(x) = 2x$ . Finn likevekt og rekn ut KO, PO og TO.

Staten innfører ei avgift $t = 18$ . Rekn ut dødvektstapet og statens inntekt.

Oppsummering

Konsumentoverskot (KO): Arealet mellom etterspurnadskurva og likevektsprisen:
$KO = \int_0^{x^*} p_E(x) \, dx - p^* \cdot x^*$

Produsentoverskot (PO): Arealet mellom likevektsprisen og tilbodskurva:
$PO = p^* \cdot x^* - \int_0^{x^*} p_T(x) \, dx$

Totaloverskot: $TO = KO + PO = \int_0^{x^*} (p_E(x) - p_T(x)) \, dx$

For lineære funksjonar: Overskota er trekantareal: $\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \text{grunnlinje} \cdot \text{høgd}$

Avgift: Reduserer KO og PO, gjev statsinntekt $T = t \cdot x^{**}$ , og skapar dødvektstap $\displaystyle = \frac{1}{2} t (x^* - x^{**})$ .

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.