8.4 Konsument- og produsentoverskot | Matematikk S2

Lær om konsumentoverskot, produsentoverskot, totaloverskot og utrekning av desse med integrasjon, også ved avgift og prisregulering.

60 min

20 oppgaver

KonsumentoverskotProdusentoverskotTotaloverskotAvgiftPrisregulering og dødvektstap

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 20 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

8.3Tilbud og etterspørsel 2.4Modellering med differensiallikninger

Overskot i ein marknad

I ein marknad med likevektspris $p^*$ og likevektsmengd $x^*$ er det nokre forbrukarar som ville ha vore viljuge til å betale meir enn $p^*$ , og nokre produsentar som kunne ha produsert til lågare kostnad enn $p^*$ .

Denne ekstra nytta for forbrukarar og produsentar vert kalla konsumentoverskot og produsentoverskot. Vi kan rekne ut desse ved hjelp av bestemt integral, noko som er ein sentral bruk av integrasjon i S2.

Konsumentoverskot (KO)

KO = \int_0^{x^*} p_E(x) \, dx - p^* \cdot x^*

Produsentoverskot (PO)

PO = p^* \cdot x^* - \int_0^{x^*} p_T(x) \, dx

📜Utrekning av overskot med integrasjon

For lineære tilbods- og etterspurnadsfunksjonar med likevektsmengd

x^*

og likevektspris

p^*

Konsumentoverskot:
$KO = \int_0^{x^*} p_E(x) \, dx - p^* \cdot x^* = \frac{1}{2} \cdot x^* \cdot \big(p_E(0) - p^*\big)$

Produsentoverskot:
$PO = p^* \cdot x^* - \int_0^{x^*} p_T(x) \, dx = \frac{1}{2} \cdot x^* \cdot \big(p^* - p_T(0)\big)$

For lineære funksjonar er overskota altså trekantareal. For ikkje-lineære funksjonar må vi bruke integrasjon.

✏️KO og PO med lineære funksjonar

I ein marknad er etterspurnaden $p_E(x) = 120 - 3x$ og tilbodet $p_T(x) = 30 + 2x$ .

a) Finn likevektspris og likevektsmengd.
b) Rekn ut konsumentoverskotet og produsentoverskotet.
c) Finn totaloverskotet.

a) Likevekt:

\begin{aligned} &120 - 3x = 30 + 2x \\ \Rightarrow {}&5x = 90 \\ \Rightarrow {}&x^* = 18 \end{aligned}

p^* = 120 - 54 = 66 \text{ kr}

b) Konsumentoverskot:
$KO = \int_0^{18} (120 - 3x) \, dx - 66 \cdot 18$

$\begin{aligned} = {}&\left[120x - \frac{3x^2}{2}\right]_0^{18} - 1188 \\ = {}&(2160 - 486) - 1188 \\ = {}&1674 - 1188 = 486 \end{aligned}$

Alternativt: $\displaystyle KO = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot (120 - 66) = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 54 = 486$ kr.

Produsentoverskot:
$PO = 66 \cdot 18 - \int_0^{18} (30 + 2x) \, dx$

$\begin{aligned} = {}&1188 - \left[30x + x^2\right]_0^{18} \\ = {}&1188 - (540 + 324) \\ = {}&1188 - 864 = 324 \end{aligned}$

Alternativt: $\displaystyle PO = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot (66 - 30) = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 36 = 324$ kr.

c) Totaloverskot:
$TO = KO + PO = 486 + 324 = 810 \text{ kr}$

Svar: a) $x^* = 18$ og $p^* = 66$ kr. b) $KO = 486$ kr og $PO = 324$ kr. c) $TO = 810$ kr.

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Konsument- og produsentoverskot som areal

Likevekta er

x = 20

p = 60

. Konsumentoverskotet er arealet mellom etterspurnadskurva og prislinja (øvst), produsentoverskotet er arealet mellom prislinja og tilbodskurva (nedst).

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

E(x) = 100 - 2x
T(x) = 20 + 2x
p(x) = 60
KO = IntegralBetween(E, p, 0, 20)
PO = IntegralBetween(p, T, 0, 20)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

Ikkje-lineære funksjonar

Når etterspurnads- eller tilbodsfunksjonen ikkje er lineær, kan vi ikkje bruke trekantformelen. Då må vi rekne ut integralet direkte.

Typiske døme:
- Eksponentiell etterspurnad: $p_E(x) = ae^{-bx}$
- Kvadratisk tilbod: $p_T(x) = c + dx^2$
- Rasjonal etterspurnad: $\displaystyle p_E(x) = \frac{a}{x + b}$

I alle tilfelle bruker vi dei same formlane:
$KO = \int_0^{x^*} p_E(x) \, dx - p^* \cdot x^*$
$PO = p^* \cdot x^* - \int_0^{x^*} p_T(x) \, dx$

✏️KO med ikkje-lineær etterspurnad

Etterspurnaden er $\displaystyle p_E(x) = \frac{200}{x+2}$ og tilbodet er $p_T(x) = 4 + 2x$ . Likevektsmengda er $x^* = 8$ og likevektsprisen er $p^* = 20$ kr (verifiser gjerne dette).

Rekn ut konsumentoverskotet.

Kontroll av likevekta:

\displaystyle p_E(8) = \frac{200}{10} = 20

p_T(8) = 4 + 16 = 20

Konsumentoverskot:
$KO = \int_0^{8} \frac{200}{x+2} \, dx - 20 \cdot 8$

$= 200 \Big[\ln(x+2)\Big]_0^{8} - 160$

$= 200\big(\ln 10 - \ln 2\big) - 160$

$= 200 \ln 5 - 160 \approx 161{,}9 \text{ kr}$

Svar: Konsumentoverskotet er $200 \ln 5 - 160 \approx 161{,}9$ kroner.

📜Verknad av avgift på overskota

Når ei avgift

t

vert innført, endrar likevekta seg og overskota vert omfordelte:

1. Konsumentoverskotet søkk (forbrukarane betaler meir)
2. Produsentoverskotet søkk (produsentane mottek mindre)
3. Staten får avgiftsinntekt $T = t \cdot x^{**}$
4. Det oppstår eit dødvektstap (effektivitetstap)

$\text{Dødvektstap} = TO_{\text{utan avgift}} - TO_{\text{med avgift}} - T$

Dødvektstapet representerer verdiskaping som går tapt fordi handelen vert redusert. Det er ein samfunnsøkonomisk kostnad ved avgifta.

✏️Totaloverskot med og utan avgift

Etterspurnaden er $p_E(x) = 100 - 2x$ og tilbodet er $p_T(x) = 20 + x$ . Staten innfører ei avgift $t = 12$ kr.

a) Rekn ut totaloverskotet utan avgift.
b) Rekn ut totaloverskotet med avgift og avgiftsinntekta til staten.
c) Finn dødvektstapet.

a) Utan avgift:

\displaystyle 100 - 2x = 20 + x \Rightarrow x^* = \frac{80}{3} \approx 26{,}67

\displaystyle p^* = \frac{140}{3} \approx 46{,}67

kr.

$\begin{aligned} TO &= \int_0^{80/3} \big((100-2x)-(20+x)\big) \, dx \\ &= \int_0^{80/3} (80-3x) \, dx \end{aligned}$

$\begin{aligned} = {}&\left[80x - \frac{3x^2}{2}\right]_0^{80/3} \\ = {}&80 \cdot \frac{80}{3} - \frac{3}{2} \cdot \frac{6400}{9} \\ = {}&\frac{6400}{3} - \frac{3200}{3} \\ = {}&\frac{3200}{3} \\ \approx {}&1066{,}7 \text{ kr} \end{aligned}$

b) Med avgift:
$\displaystyle 100 - 2x = 32 + x \Rightarrow 3x = 68 \Rightarrow x^{**} = \frac{68}{3} \approx 22{,}67$ .

$\displaystyle p_F = 100 - 2 \cdot \frac{68}{3} = \frac{164}{3} \approx 54{,}67$ kr (forbrukarpris) og $\displaystyle p_P = p_F - 12 = \frac{128}{3} \approx 42{,}67$ kr (produsentpris).

Integralet av $p_E - p_T$ fram til $x^{**}$ gir no konsumentoverskot, produsentoverskot og inntekta til staten til saman:

$\begin{aligned} KO + PO + T &= \int_0^{68/3} (80-3x) \, dx \\ &= \left[80x - \frac{3x^2}{2}\right]_0^{68/3} \\ &= \frac{5440}{3} - \frac{2312}{3} \\ &= \frac{3128}{3} \\ &\approx 1042{,}7 \text{ kr} \end{aligned}$

Avgiftsinntekta til staten: $\displaystyle T = 12 \cdot \frac{68}{3} = 272$ kr.

$\begin{aligned} TO_{\text{ny}} &= KO + PO \\ &= \frac{3128}{3} - 272 \\ &= \frac{2312}{3} \\ &\approx 770{,}7 \text{ kr} \end{aligned}$

c) Dødvektstap:
$\begin{aligned} &\text{Dødvektstap} \\ = {}&TO_{\text{utan avgift}} - TO_{\text{med avgift}} - T \\ = {}&\frac{3200}{3} - \frac{2312}{3} - 272 \\ = {}&296 - 272 \\ = {}&24 \text{ kr} \end{aligned}$

Kontroll: $\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot \left(\frac{80}{3} - \frac{68}{3}\right) = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 4 = 24$ kr.

Svar: a) $TO \approx 1066{,}7$ kr. b) $TO \approx 770{,}7$ kr med avgift, og staten får 272 kr. c) Dødvektstapet er 24 kr.

Prisregulering og dødvektstap

Når styresmaktene regulerer prisen (set ein pris som avvik frå marknadslikevekta), endrar fordelinga av overskot seg, og det oppstår eit dødvektstap.

Pristak (pris sett under likevektsprisen):
- Omsett mengd blir avgjord av tilbodet (som er minst): $x_1$ er løysinga av $p_T(x_1) = p_1$ , og $x_1 < x^*$
- Nokre av konsumentane tener på lågare pris (dei som framleis får kjøpt)
- Produsentane taper
- Dødvektstap = tapt TO = $\int_{x_1}^{x^*} (p_E(x) - p_T(x)) \, dx$

Prisgolv (pris sett over likevektsprisen):
- Omsett mengd blir avgjord av etterspurnaden: $x_1$ er løysinga av $p_E(x_1) = p_1$ , og $x_1 < x^*$
- Produsentane som sel tener meir per eining, men det blir selt færre einingar
- Konsumentane taper
- Igjen oppstår eit dødvektstap

I begge tilfella er det totale samfunnsøkonomiske overskotet mindre enn ved likevekt.

✏️Verknad av prisregulering og dødvektstap

Bruk funksjonane $p_E(x) = 60 - 2x$ og $p_T(x) = x + 15$ . Styresmaktene set eit pristak på $p_1 = 25$ kr.

a) Finn marknadslikevekta.
b) Finn den nye omsette mengda ved pristaket.
c) Rekn ut det nye KO og PO, og finn dødvektstapet.

a) Marknadslikevekt:

$60 - 2x = x + 15 \Rightarrow 45 = 3x \Rightarrow x^* = 15$ , $p^* = 30$ kr.

$\displaystyle TO_{\text{likevekt}} = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot (60 - 15) = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 45 = 337{,}5$ kr.

b) Ny omsett mengd ved $p_1 = 25$ kr:

Tilbodet avgjer mengda (den knappe sida):
$p_T(x_1) = 25$ : $x_1 + 15 = 25 \Rightarrow x_1 = 10$ .

c) Nytt KO, PO og dødvektstap:

$\begin{aligned} \text{KO}_{\text{ny}} &= \int_0^{10} (60 - 2x) \, dx - 25 \cdot 10 \\ &= [60x - x^2]_0^{10} - 250 \\ &= 500 - 250 \\ &= 250 \text{ kr} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \text{PO}_{\text{ny}} &= 25 \cdot 10 - \int_0^{10} (x + 15) \, dx \\ &= 250 - \left[\frac{x^2}{2} + 15x\right]_0^{10} \\ &= 250 - 200 \\ &= 50 \text{ kr} \end{aligned}$

$TO_{\text{ny}} = 250 + 50 = 300$ kr.

$\begin{aligned} &\text{Dødvektstap} = TO_{\text{likevekt}} - TO_{\text{ny}} \\ = {}&337{,}5 - 300 \\ = {}&37{,}5 \text{ kr} \end{aligned}$

Alternativt (trekantareal): $\displaystyle \text{Dødvektstap} = \frac{1}{2} \cdot (x^* - x_1) \cdot (p_E(x_1) - p_T(x_1)) = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (40 - 25) = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 15 = 37{,}5$ kr

Svar: a) $x^* = 15$ og $p^* = 30$ kr. b) 10 einingar. c) $\text{KO}_{\text{ny}} = 250$ kr, $\text{PO}_{\text{ny}} = 50$ kr og dødvektstapet er 37,5 kr.

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

Etterspurnaden er $p_E(x) = 60 - 2x$ og likevektsprisen er $p^* = 20$ . Finn likevektsmengda $x^*$ .

Rekn ut konsumentoverskotet.

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

Tilbodet er $p_T(x) = 10 + 3x$ og likevektspunktet er $(x^*, p^*) = (10, 40)$ . Rekn ut produsentoverskotet.

Verifiser svaret med integrasjon: $PO = p^* \cdot x^* - \int_0^{x^*} p_T(x) \, dx$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

Forklar med eigne ord kva konsumentoverskot representerer.

Kvifor er totaloverskotet størst i den frie marknadslikevekta (utan avgifter)?

📝Oppgave 4

Løys oppgåvene:

Etterspurnaden er $p_E(x) = 80 - x$ og tilbodet er $p_T(x) = 20 + x$ . Finn likevekt og rekn ut KO og PO.

Finn totaloverskotet.

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

Etterspurnaden er $p_E(x) = 100 - x^2$ og tilbodet er $p_T(x) = 10 + 2x$ . Finn likevektsmengda. (Hint: $x^2 + 2x - 90 = 0$ )

Rekn ut konsumentoverskotet med integrasjon.

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Løys oppgåvene:

Etterspurnaden er $p_E(x) = 50e^{-0{,}1x}$ og likevektspunktet er $(10, 50e^{-1})$ . Rekn ut KO med integrasjon.

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Løys oppgåvene:

Etterspurnaden er $p_E(x) = 90 - 3x$ og tilbodet er $p_T(x) = 10 + x$ . Ei avgift $t = 8$ vert innført. Finn gammal og ny likevekt.

Rekn ut dødvektstapet.

Løs oppgaven

📝Oppgave 8

Løys oppgåvene:

Tilbodet er $p_T(x) = x^2 + 5$ og likevektspunktet er $(4, 21)$ . Rekn ut PO med integrasjon.

Samanlikn med trekantformelen. Kvifor gjev trekantformelen feil svar her?

Løs oppgaven

📝Oppgave 9

Løys oppgåvene:

Etterspurnaden er $\displaystyle p_E(x) = \frac{100}{\sqrt{x+1}}$ og tilbodet er $p_T(x) = 5 + x$ . Vis at likevektsmengda oppfyller $(x+5)^2(x+1) = 10\,000$ .

Bruk CAS eller numerisk metode til å finne $x^*$ og rekn ut KO.

📝Oppgave 10

Løys oppgåvene:

Etterspurnaden er $p_E(x) = 80 - 2x$ og tilbodet $p_T(x) = 20 + x$ . Rekn ut KO, PO og TO utan avgift.

Ei avgift $t = 9$ vert innført. Rekn ut nye KO, PO, statens inntekt og dødvektstap.

📝Oppgave 11

Løys oppgåvene:

Ein monopolist har etterspurnad $p(x) = 100 - 2x$ og kostnad $K(x) = x^2 + 20x$ . Finn overskotsmaksimerande mengd og pris.

Rekn ut konsumentoverskotet ved monopolprisen og samanlikn med KO ved fri konkurranse (der $p = K'(x)$ , altså $100-2x = 2x+20$ ).

Løs oppgaven

📝Oppgave 12

Løys oppgåvene:

Vis at for lineære tilbods- og etterspurnadsfunksjonar $p_E(x) = a - bx$ og $p_T(x) = c + dx$ er totaloverskotet $\displaystyle TO = \frac{(a-c)^2}{2(b+d)}$ .

📝Oppgave 13

Løys oppgåvene:

Etterspurnaden er $p_E(x) = 120 - 4x$ og tilbodet er $p_T(x) = 2x$ . Finn likevekt og rekn ut KO, PO og TO.

Staten innfører ei avgift $t = 18$ . Rekn ut dødvektstapet og statens inntekt.

📝Oppgave 14

Løys oppgåvene:

Etterspurnaden er $p_E(x) = 100 - 2x$ og tilbodet er $p_T(x) = 20 + x$ (same som i dømet «Totaloverskot med og utan avgift»). Styresmaktene set eit pristak på $p_1 = 35$ kr. Finn den nye omsette mengda.

Rekn ut det nye KO og PO ved pristaket $p_1 = 35$ kr.

Rekn ut dødvektstapet. Forklar kva det representerer.

Løs oppgaven

Oppsummering

Konsumentoverskot (KO): Arealet mellom etterspurnadskurva og likevektsprisen:
$KO = \int_0^{x^*} p_E(x) \, dx - p^* \cdot x^*$

Produsentoverskot (PO): Arealet mellom likevektsprisen og tilbodskurva:
$PO = p^* \cdot x^* - \int_0^{x^*} p_T(x) \, dx$

Totaloverskot: $TO = KO + PO = \int_0^{x^*} (p_E(x) - p_T(x)) \, dx$

For lineære funksjonar: Overskota er trekantareal: $\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \text{grunnlinje} \cdot \text{høgd}$

Avgift: Reduserer KO og PO, gjev statsinntekt $T = t \cdot x^{**}$ , og skapar dødvektstap $\displaystyle = \frac{1}{2} t (x^* - x^{**})$ .

Prisregulering: Eit pristak eller prisgolv flyttar omsett mengd bort frå likevekta og gjev dødvektstap $= \int_{x_1}^{x^*} \big(p_E(x) - p_T(x)\big) \, dx$ .

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.