4.4 Forventningsverdi og varians

Regneregler for E(X) og Var(X), lineærtransformasjoner og standardisering.

55 min

8 oppgaver

ForventningsverdiVariansStandardiseringLineærtransformasjon

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.1Sannsynlighetsfordelinger

Brukes videre i

4.5Simulering og stokastiske eksperimenter 4.6Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger

Reknereglar for forventningsverdi og varians

I kapittel 4.1 blei forventningsverdi og varians introduserte. I dette kapittelet går vi djupare inn i reknereglane og ser korleis dei blir brukte til å analysere samansette situasjonar - til dømes summar av stokastiske variablar, lineærtransformasjonar og standardisering.

Forventningsverdi og varians er dei to viktigaste skildrande storleikane for ei sannsynsfordeling:
- Forventningsverdien $E(X) = \mu$ fortel oss senteret i fordelinga - det langsiktige gjennomsnittet.
- Variansen $\text{Var}(X) = \sigma^2$ fortel oss om spreiinga rundt senteret.
- Standardavviket $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$ gir spreiinga i same eining som $X$ .

Vi hugsar grunnformlane:
$E(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(X = x_i)$
$\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$

📜Reknereglar for forventningsverdi

For stokastiske variablar $X$ og $Y$ , og konstantar $a$ , $b$ og $c$ :

Regel 1: $E(c) = c$ (forventningsverdien til ein konstant er konstanten sjølv)

Regel 2: $E(aX + b) = aE(X) + b$ (linearitet)

Regel 3: $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ (additivitet - gjeld alltid, òg for avhengige variablar)

Regel 4: $E(aX + bY + c) = aE(X) + bE(Y) + c$

Desse reglane seier at forventningsverdien er ein lineær operator: vi kan flytte konstantar ut og splitte summar.

Merknad: $E(X \cdot Y) = E(X) \cdot E(Y)$ gjeld berre dersom $X$ og $Y$ er uavhengige.

📜Reknereglar for varians

For ein stokastisk variabel

X

og konstantar

a

b

Regel 1: $\text{Var}(c) = 0$ (ein konstant har inga spreiing)

Regel 2: $\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$

Merk at konstanten $b$ ikkje påverkar variansen. Å leggje til ein konstant forskyv heile fordelinga, men endrar ikkje spreiinga.

For uavhengige stokastiske variablar $X$ og $Y$ :

Regel 3: $\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$

Regel 4: $\text{Var}(X - Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$

Merk at variansen blir addert òg ved subtraksjon! Usikkerheita aukar uansett om vi adderer eller subtraherer to uavhengige variablar.

Generelt for uavhengige $X$ og $Y$ :
$\text{Var}(aX + bY + c) = a^2\text{Var}(X) + b^2\text{Var}(Y)$

Standardisering av ein stokastisk variabel

X

✏️Forventningsverdi og varians for ein lineærkombinasjon

Ei bedrift sel to produkt. Talet på selde einingar per dag er $X$ (produkt A) og $Y$ (produkt B), med $E(X) = 30$ , $E(Y) = 50$ , $\text{Var}(X) = 16$ og $\text{Var}(Y) = 25$ . Talet på selde einingar er uavhengige. Forteneste per eining er 40 kr og 25 kr, og bedrifta har faste kostnader på 500 kr per dag. La $F$ vere total dagleg forteneste. Finn $E(F)$ , $\text{Var}(F)$ og $\text{SD}(F)$ .

Forteneste:

F = 40X + 25Y - 500

Forventningsverdi:
$E(F) = 40E(X) + 25E(Y) - 500 = 40 \cdot 30 + 25 \cdot 50 - 500 = 1200 + 1250 - 500 = 1950 \text{ kr}$

Varians (bruker $\text{Var}(aX + bY + c) = a^2\text{Var}(X) + b^2\text{Var}(Y)$ for uavhengige):
$\text{Var}(F) = 40^2 \cdot 16 + 25^2 \cdot 25 = 1600 \cdot 16 + 625 \cdot 25 = 25\,600 + 15\,625 = 41\,225$

Standardavvik:
$\text{SD}(F) = \sqrt{41\,225} \approx 203{,}0 \text{ kr}$

Konstanten $-500$ påverkar forventninga, men ikkje variansen. Bedrifta kan vente 1950 kr i dagleg forteneste med eit standardavvik på ca. 203 kr.

Tolking av standardavvik og Tsjebysjevs ulikskap

Standardavviket gir oss ein praktisk tommelfingerregel for spreiing. For mange vanlege fordelingar gjeld:
- Ca. 68 % av verdiane ligg innanfor $\mu \pm \sigma$
- Ca. 95 % av verdiane ligg innanfor $\mu \pm 2\sigma$
- Ca. 99{,}7 % av verdiane ligg innanfor $\mu \pm 3\sigma$

Denne 68-95-99,7-regelen gjeld eksakt for normalfordelinga, men er ei god tilnærming for mange andre «klokkeforma» fordelingar.

For alle fordelingar (uansett form) har vi Tsjebysjevs ulikskap:

$P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}$

Det tyder at minst $\displaystyle 1 - \frac{1}{k^2}$ av sannsynet ligg innanfor $k$ standardavvik frå gjennomsnittet. For $k = 2$ gir dette minst 75 %, og for $k = 3$ minst 88,9 %.

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

La $X$ vere ein stokastisk variabel med $E(X) = 10$ og $\text{Var}(X) = 4$ . Finn $E(3X + 7)$ og $\text{Var}(3X + 7)$ .

Finn $E(2 - 5X)$ og $\text{Var}(2 - 5X)$ .

Standardiser $X$ . Det vil seie, finn $\displaystyle Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ og stadfest at $E(Z) = 0$ og $\text{Var}(Z) = 1$ .

📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

To uavhengige stokastiske variablar har $E(X) = 5$ , $\text{Var}(X) = 3$ , $E(Y) = 8$ , $\text{Var}(Y) = 7$ . Finn $E(X + Y)$ , $\text{Var}(X + Y)$ og $\text{SD}(X + Y)$ .

Finn $E(X - Y)$ , $\text{Var}(X - Y)$ og $\text{SD}(X - Y)$ .

Forklar kvifor $\text{Var}(X - Y) = \text{Var}(X + Y)$ når $X$ og $Y$ er uavhengige.

📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

Ei kaffemaskin fyller koppar med ei mengd kaffe $X$ (i ml) der $E(X) = 200$ og $\text{SD}(X) = 5$ . Kaffebønner kostar bedrifta $0{,}10$ kr per ml og ein kopp blir seld for 35 kr. La $F$ = forteneste per kopp. Finn $E(F)$ og $\text{SD}(F)$ .

Bedrifta sel 100 koppar per dag (uavhengige fyllingar). Finn $E(T)$ og $\text{SD}(T)$ for total dagleg forteneste $T$ .

Ein elev fekk 72 poeng på matematikk ( $\mu = 60$ , $\sigma = 8$ ) og 85 poeng på norsk ( $\mu = 75$ , $\sigma = 12$ ). Standardiser begge resultata og avgjer kva prøve eleven greidde relativt best på.

Oppsummering

Reknereglar for forventningsverdi:
- $E(aX + b) = aE(X) + b$ (lineær)
- $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ (gjeld alltid)

Reknereglar for varians (uavhengige variablar):
- $\text{Var}(aX + b) = a^2\text{Var}(X)$ (konstant $b$ påverkar ikkje)
- $\text{Var}(X \pm Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$ (blir addert alltid!)
- $\text{Var}(aX + bY) = a^2\text{Var}(X) + b^2\text{Var}(Y)$

Standardisering:
- $\displaystyle Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ gir $E(Z) = 0$ og $\text{Var}(Z) = 1$
- Blir brukt for å samanlikne verdiar frå ulike fordelingar

Tips til eksamen: Ver nøye med å skilje mellom standardavvik og varians i berekningar. Hugs at $\text{SD}(aX) = |a| \cdot \text{SD}(X)$ , medan $\text{Var}(aX) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$ .

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.