4.1 Sannsynlighetsfordelinger | Matematikk S2

Diskrete og kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger.

55 min

21 oppgaver

SannsynlighetsfordelingDiskretKontinuerligTetthetsfunksjon

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 21 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

4.2Hypergeometrisk og binomisk fordeling 4.4Forventningsverdi og varians

Stokastiske variablar

I mange situasjonar er utfallet av eit forsøk eit tal - til dømes talet på rette på ei prøve, talet på kundar i ein butikk, eller gevinsten i eit spel. Slike talverdiar som er bestemte av tilfeldigheiter, blir kalla stokastiske variablar.

Ein stokastisk variabel er ein variabel som kan ta ulike verdiar med ulike sannsyn. Vi bruker vanlegvis store bokstavar ( $X$ , $Y$ , $Z$ ) for stokastiske variablar.

Diskret stokastisk variabel

X

✏️Sannsynsfordeling for terningkast

Ein vanleg terning blir kasta. Lat $X$ vere talet på auge. Set opp sannsynsfordelinga.

X

kan ta verdiane

1, 2, 3, 4, 5, 6

$x$	1	2	3	4	5	6
$P(X = x)$	$\displaystyle \frac{1}{6}$	$\displaystyle \frac{1}{6}$	$\displaystyle \frac{1}{6}$	$\displaystyle \frac{1}{6}$	$\displaystyle \frac{1}{6}$	$\displaystyle \frac{1}{6}$

Sjekk:

\displaystyle 6 \cdot \frac{1}{6} = 1

✓
Dette er ei uniform fordeling - alle utfall er like sannsynlege.

Forventingsverdi

X

✏️Forventingsverdi

Eit lotteri har følgjande gevinstar:

Gevinst (kr)	0	50	100	500
Sannsyn	0,60	0,25	0,10	0,05

Eit lodd kostar 40 kr. Kva er forventa gevinst? Er lotteriet «rettferdig»?

Lat

X

= gevinst.

$E(X) = 0 \cdot 0{,}60 + 50 \cdot 0{,}25 + 100 \cdot 0{,}10 + 500 \cdot 0{,}05$
$= 0 + 12{,}50 + 10 + 25 = 47{,}50 \text{ kr}$

Forventa nettogevinst: $47{,}50 - 40 = 7{,}50$ kr.

Lotteriet er ikkje «rettferdig» (forventa gevinst $\neq$ pris). I gjennomsnitt tener spelaren 7,50 kr per lodd. (I praksis har arrangøren eit underskot og ville sett prisen høgare eller justert sannsyna.)

📜Reknereglar for forventingsverdi

For stokastiske variablar

X

Y

og konstantar

a

b

$E(aX + b) = aE(X) + b$

$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$

Forventingsverdien er lineær - vi kan flytte konstantar ut og splitte summar.

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

To myntar blir kasta. Lat $X$ vere talet på mynt. Set opp sannsynsfordelinga til $X$ .

Finn $E(X)$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

Finn forventingsverdien til $X$ med fordeling: $P(X=1) = 0{,}3$ , $P(X=2) = 0{,}5$ , $P(X=3) = 0{,}2$ .

Sjekk at sannsyna summerer til 1.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

Eit spel gir gevinsten $2X + 10$ kroner, der $X$ har forventingsverdi $E(X) = 3$ . Kva er forventa gevinst?

Løs oppgaven Tren

Varians og standardavvik

X

✏️Rekne ut varians og standardavvik

Ein terning blir kasta. Finn variansen og standardavviket til talet på auge $X$ .

Steg 1: Vi har allereie

E(X)

E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + \cdots + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{21}{6} = 3{,}5

Steg 2: Finn $E(X^2)$ :
$E(X^2) = 1^2 \cdot \frac{1}{6} + 2^2 \cdot \frac{1}{6} + 3^2 \cdot \frac{1}{6} + 4^2 \cdot \frac{1}{6} + 5^2 \cdot \frac{1}{6} + 6^2 \cdot \frac{1}{6}$
$= \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6} \approx 15{,}17$

Steg 3: Bruk formelen:
$\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{91}{6} - \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12} \approx 2{,}92$

Steg 4: Standardavvik:
$\sigma = \sqrt{\frac{35}{12}} \approx 1{,}71$

📜Reknereglar for varians

For ein stokastisk variabel

X

og konstantar

a

b

$\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$

Merk: Konstanten $b$ påverkar ikkje variansen (han forskyv berre fordelinga, men endrar ikkje spreiinga).

For uavhengige stokastiske variablar $X$ og $Y$ :
$\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$

✏️Reknereglar i praksis

X

har

E(X) = 5

\text{Var}(X) = 4

. Finn

E(Y)

\text{Var}(Y)

der

Y = 3X - 2

Forventingsverdi:

E(Y) = E(3X - 2) = 3E(X) - 2 = 3 \cdot 5 - 2 = 13

Varians:
$\text{Var}(Y) = \text{Var}(3X - 2) = 3^2 \cdot \text{Var}(X) = 9 \cdot 4 = 36$

Standardavvik:
$\text{SD}(Y) = \sqrt{36} = 6$

📝Oppgave 4

Løys oppgåvene:

Finn $\text{Var}(X)$ for fordelinga: $P(X=0) = 0{,}5$ , $P(X=1) = 0{,}3$ , $P(X=2) = 0{,}2$ .

Finn standardavviket $\sigma$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

To uavhengige terningar blir kasta. Lat $S = X_1 + X_2$ (summen). Finn $E(S)$ og $\text{Var}(S)$ .

📝Oppgave 6

Løys oppgåvene:

Ein aksje gir avkastinga $X$ med $E(X) = 8\%$ og $\text{SD}(X) = 12\%$ . Du investerer 100 000 kr. Lat $Y$ = beløpet etter eitt år. Finn $E(Y)$ og $\text{SD}(Y)$ .

📝Oppgave 7

Løys oppgåvene:

Eit forsikringsselskap tilbyr ei forsikring som kostar 1200 kr. Med sannsyn 0,02 blir det utbetalt 50 000 kr, med sannsyn 0,005 blir det utbetalt 100 000 kr, elles blir ingenting utbetalt. Kva er forventa forteneste for selskapet per forsikring?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Løys oppgåvene:

Tabellen viser $X$ = talet på kundar i ein butikk per time: $P(X=0)=0{,}1$ , $P(X=1)=0{,}3$ , $P(X=2)=0{,}3$ , $P(X=3)=0{,}2$ , $P(X=4)=0{,}1$ . Finn $E(X)$ , $\text{Var}(X)$ og $\text{SD}(X)$ .

📝Oppgave 9

Løys oppgåvene:

Vis at $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ ved å utvide definisjonen $\text{Var}(X) = E[(X-\mu)^2]$ .

📝Oppgave 10

Løys oppgåvene:

Du har to investeringsalternativ. A: $E(X) = 10\%$ , $\sigma = 5\%$ . B: $E(Y) = 15\%$ , $\sigma = 15\%$ . Rekn ut variasjonskoeffisienten $\displaystyle CV = \frac{\sigma}{\mu}$ for begge. Kva for investering har relativt sett minst risiko?

📝Oppgave 11

Løys oppgåvene:

Ein stokastisk variabel $X$ tek verdien $-1$ med sannsyn $p$ og verdien $1$ med sannsyn $1-p$ . Finn $p$ slik at $\text{Var}(X) = 1$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

Løys oppgåvene:

X

har

E(X) = 4

\text{Var}(X) = 9

. Finn

E(3X + 5)

\text{Var}(3X + 5)

📝Oppgave 13

Løys oppgåvene:

I eit spel kastar du ein terning. Du vinn $X^2$ kr, der $X$ er talet på auge. Innsatsen er 15 kr. Finn forventa nettogevinst.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 14

Løys oppgåvene:

Du kastar to terningar og reknar ut differansen $D = |X_1 - X_2|$ . Set opp sannsynsfordelinga til $D$ og finn $E(D)$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 15

Løys oppgåvene:

Ein portefølje er sett saman av to uavhengige aksjar. Aksje 1: $E(R_1) = 8\%$ , $\sigma_1 = 10\%$ . Aksje 2: $E(R_2) = 12\%$ , $\sigma_2 = 20\%$ . Du investerer 60% i aksje 1 og 40% i aksje 2. Finn forventa avkasting og standardavvik for porteføljen $R = 0{,}6R_1 + 0{,}4R_2$ .

📝Oppgave 16

Løys oppgåvene:

Lat $X$ vere talet på defekte produkt i ein pakke med 10. Fordelinga er: $P(X=0)=0{,}50$ , $P(X=1)=0{,}30$ , $P(X=2)=0{,}15$ , $P(X=3)=0{,}05$ . Rekn ut $E(X)$ og $\sigma$ .

Hugs på eksamen: Bruk alltid den alternative variansformelen

\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

. Han er raskare å rekne ut enn definisjonen

\text{Var}(X) = E[(X-\mu)^2]

fordi du slepp å rekne ut avvik for kvar verdi.

Oppsummering

Sentrale omgrep:
- Stokastisk variabel $X$ : variabel styrt av tilfeldigheiter
- Sannsynsfordeling: oversikt over $P(X = x)$ for alle verdiar
- Forventingsverdi: $E(X) = \sum x_i P(X = x_i)$ - «langtidsgjennomsnittet»
- Varians: $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ - mål på spreiing
- Standardavvik: $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$ - spreiing i same eining som $X$

Reknereglar:
- $E(aX+b) = aE(X) + b$
- $\text{Var}(aX+b) = a^2 \text{Var}(X)$
- For uavhengige $X, Y$ : $\text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.