4.1 Sannsynsfordelingar | Matematikk S2

Stokastiske variablar, forventingsverdi, varians, reknereglar og standardisering.

55 min

25 oppgaver

Stokastisk variabelForventingsverdiVarians og standardavvikReknereglarStandardisering

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 25 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

4.2Hypergeometrisk og binomisk fordeling 4.5Simulering og stokastiske eksperimenter 4.6Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger

Stokastiske variablar

I mange situasjonar er utfallet av eit forsøk eit tal - til dømes talet på rette på ei prøve, talet på kundar i ein butikk, eller gevinsten i eit spel. Slike talverdiar som er bestemte av tilfeldigheiter, blir kalla stokastiske variablar.

Ein stokastisk variabel er ein variabel som kan ta ulike verdiar med ulike sannsyn. Vi bruker vanlegvis store bokstavar ( $X$ , $Y$ , $Z$ ) for stokastiske variablar.

Diskret stokastisk variabel

X

✏️Sannsynsfordeling for terningkast

Ein vanleg terning blir kasta. Lat $X$ vere talet på auge. Set opp sannsynsfordelinga.

X

kan ta verdiane

1, 2, 3, 4, 5, 6

$x$	$P(X = x)$
1	$\displaystyle \frac{1}{6}$
2	$\displaystyle \frac{1}{6}$
3	$\displaystyle \frac{1}{6}$
4	$\displaystyle \frac{1}{6}$
5	$\displaystyle \frac{1}{6}$
6	$\displaystyle \frac{1}{6}$

Sjekk:

\displaystyle 6 \cdot \frac{1}{6} = 1

Dette er ei uniform fordeling - alle utfall er like sannsynlege.
Svar:

\displaystyle P(X = x) = \frac{1}{6}

for

x = 1, 2, \ldots, 6

(uniform fordeling).

Forventingsverdi

X

✏️Forventingsverdi

Eit lotteri har følgjande gevinstar:

Gevinst (kr)	0	50	100	500
Sannsyn	0,60	0,25	0,10	0,05

Eit lodd kostar 40 kr. Kva er forventa gevinst? Er lotteriet «rettferdig»?

Lat

X

= gevinst.

$\begin{aligned} &E(X) \\ = {}&0 \cdot 0{,}60 + 50 \cdot 0{,}25 + 100 \cdot 0{,}10 + 500 \cdot 0{,}05 \end{aligned}$
$= 0 + 12{,}50 + 10 + 25 = 47{,}50 \text{ kr}$

Forventa nettogevinst: $47{,}50 - 40 = 7{,}50$ kr.

Lotteriet er ikkje «rettferdig» (forventa gevinst $\neq$ pris). I gjennomsnitt tener spelaren 7,50 kr per lodd. (I praksis har arrangøren eit underskot og ville sett prisen høgare eller justert sannsyna.)

Svar: Forventa gevinst er $47{,}50$ kr, altså $7{,}50$ kr meir enn prisen. Lotteriet er ikkje rettferdig: i gjennomsnitt tapar arrangøren $7{,}50$ kr per lodd.

📜Reknereglar for forventingsverdi

For stokastiske variablar

X

Y

og konstantar

a

b

$E(aX + b) = aE(X) + b$

$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$

Forventingsverdien er lineær - vi kan flytte konstantar ut og splitte summar.

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

To myntar blir kasta. Lat $X$ vere talet på mynt. Set opp sannsynsfordelinga til $X$ .

Finn $E(X)$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

Finn forventingsverdien til $X$ med fordeling: $P(X=1) = 0{,}3$ , $P(X=2) = 0{,}5$ , $P(X=3) = 0{,}2$ .

Sjekk at sannsyna summerer til 1.

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

Eit spel gir gevinsten $2X + 10$ kroner, der $X$ har forventingsverdi $E(X) = 3$ . Kva er forventa gevinst?

Løs oppgaven

Varians og standardavvik

X

✏️Rekne ut varians og standardavvik

Ein terning blir kasta. Finn variansen og standardavviket til talet på auge $X$ .

Vi har allereie

E(X)

E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + \cdots + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{21}{6} = 3{,}5

Finn $E(X^2)$ :
$\begin{aligned} &E(X^2) \\ = {}&1^2 \cdot \frac{1}{6} + 2^2 \cdot \frac{1}{6} + 3^2 \cdot \frac{1}{6} + 4^2 \cdot \frac{1}{6} + 5^2 \cdot \frac{1}{6} + 6^2 \cdot \frac{1}{6} \end{aligned}$
$= \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6} \approx 15{,}17$

Bruk formelen:
$\begin{aligned} \text{Var}(X) &= E(X^2) - [E(X)]^2 \\ &= \frac{91}{6} - \left(\frac{7}{2}\right)^2 \\ &= \frac{91}{6} - \frac{49}{4} \\ &= \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12} \\ &\approx 2{,}92 \end{aligned}$

Standardavvik:
$\sigma = \sqrt{\frac{35}{12}} \approx 1{,}71$

Svar: $\displaystyle \text{Var}(X) = \frac{35}{12} \approx 2{,}92$ og $\sigma \approx 1{,}71$

📜Reknereglar for varians

For ein stokastisk variabel

X

og konstantar

a

b

$\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$

Merk: Konstanten $b$ påverkar ikkje variansen (han forskyv berre fordelinga, men endrar ikkje spreiinga).

For uavhengige stokastiske variablar $X$ og $Y$ :
$\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$

$\text{Var}(X - Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$

Variansane blir adderte også ved subtraksjon. Generelt gjeld for uavhengige $X$ og $Y$ :

$\text{Var}(aX + bY + c) = a^2\,\text{Var}(X) + b^2\,\text{Var}(Y)$

✏️Reknereglar i praksis

X

har

E(X) = 5

\text{Var}(X) = 4

. Finn

E(Y)

\text{Var}(Y)

der

Y = 3X - 2

Forventingsverdi:

E(Y) = E(3X - 2) = 3E(X) - 2 = 3 \cdot 5 - 2 = 13

Varians:
$\text{Var}(Y) = \text{Var}(3X - 2) = 3^2 \cdot \text{Var}(X) = 9 \cdot 4 = 36$

Standardavvik:
$\text{SD}(Y) = \sqrt{36} = 6$

Svar: $E(Y) = 13$ , $\text{Var}(Y) = 36$ og $\text{SD}(Y) = 6$

Standardisering av ein stokastisk variabel

X

✏️Forventningsverdi og varians for ein lineærkombinasjon

Ei bedrift sel to produkt. Talet på selde einingar per dag er $X$ (produkt A) og $Y$ (produkt B), med $E(X) = 30$ , $E(Y) = 50$ , $\text{Var}(X) = 16$ og $\text{Var}(Y) = 25$ . Talet på selde einingar er uavhengige. Forteneste per eining er 40 kr og 25 kr, og bedrifta har faste kostnader på 500 kr per dag. La $F$ vere total dagleg forteneste. Finn $E(F)$ , $\text{Var}(F)$ og $\text{SD}(F)$ .

Forteneste:

F = 40X + 25Y - 500

Forventningsverdi:
$\begin{aligned} E(F) &= 40E(X) + 25E(Y) - 500 \\ &= 40 \cdot 30 + 25 \cdot 50 - 500 \\ &= 1200 + 1250 - 500 \\ &= 1950 \text{ kr} \end{aligned}$

Varians (bruker $\text{Var}(aX + bY + c) = a^2\text{Var}(X) + b^2\text{Var}(Y)$ for uavhengige):
$\begin{aligned} \text{Var}(F) &= 40^2 \cdot 16 + 25^2 \cdot 25 \\ &= 1600 \cdot 16 + 625 \cdot 25 \\ &= 25\,600 + 15\,625 \\ &= 41\,225 \end{aligned}$

Standardavvik:
$\text{SD}(F) = \sqrt{41\,225} \approx 203{,}0 \text{ kr}$

Konstanten $-500$ påverkar forventninga, men ikkje variansen.
Svar: $E(F) = 1950$ kr, $\text{Var}(F) = 41\,225$ og $\text{SD}(F) \approx 203$ kr.

📝Oppgave 4

Løys oppgåvene:

Finn $\text{Var}(X)$ for fordelinga: $P(X=0) = 0{,}5$ , $P(X=1) = 0{,}3$ , $P(X=2) = 0{,}2$ .

Finn standardavviket $\sigma$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

To uavhengige terningar blir kasta. Lat $S = X_1 + X_2$ (summen). Finn $E(S)$ og $\text{Var}(S)$ .

📝Oppgave 6

Løys oppgåvene:

Ein aksje gir avkastinga $X$ med $E(X) = 8\%$ og $\text{SD}(X) = 12\%$ . Du investerer 100 000 kr. Lat $Y$ = beløpet etter eitt år. Finn $E(Y)$ og $\text{SD}(Y)$ .

📝Oppgave 7

Løys oppgåvene:

Eit forsikringsselskap tilbyr ei forsikring som kostar 1200 kr. Med sannsyn 0,02 blir det utbetalt 50 000 kr, med sannsyn 0,005 blir det utbetalt 100 000 kr, elles blir ingenting utbetalt. Kva er forventa forteneste for selskapet per forsikring?

Løs oppgaven

📝Oppgave 8

Løys oppgåvene:

Tabellen viser $X$ = talet på kundar i ein butikk per time: $P(X=0)=0{,}1$ , $P(X=1)=0{,}3$ , $P(X=2)=0{,}3$ , $P(X=3)=0{,}2$ , $P(X=4)=0{,}1$ . Finn $E(X)$ , $\text{Var}(X)$ og $\text{SD}(X)$ .

📝Oppgave 9

Løys oppgåvene:

Vis at $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ ved å utvide definisjonen $\text{Var}(X) = E[(X-\mu)^2]$ .

📝Oppgave 10

Løys oppgåvene:

Du har to investeringsalternativ. A: $E(X) = 10\%$ , $\sigma = 5\%$ . B: $E(Y) = 15\%$ , $\sigma = 15\%$ . Rekn ut variasjonskoeffisienten $\displaystyle CV = \frac{\sigma}{\mu}$ for begge. Kva for investering har relativt sett minst risiko?

📝Oppgave 11

Løys oppgåvene:

Ein stokastisk variabel $X$ tek verdien $-1$ med sannsyn $p$ og verdien $1$ med sannsyn $1-p$ . Finn $p$ slik at $\text{Var}(X) = 1$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 12

Løys oppgåvene:

X

har

E(X) = 4

\text{Var}(X) = 9

. Finn

E(3X + 5)

\text{Var}(3X + 5)

📝Oppgave 13

Løys oppgåvene:

I eit spel kastar du ein terning. Du vinn $X^2$ kr, der $X$ er talet på auge. Innsatsen er 15 kr. Finn forventa nettogevinst.

Løs oppgaven

📝Oppgave 14

Løys oppgåvene:

Du kastar to terningar og reknar ut differansen $D = |X_1 - X_2|$ . Set opp sannsynsfordelinga til $D$ og finn $E(D)$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 15

Løys oppgåvene:

Ein portefølje er sett saman av to uavhengige aksjar. Aksje 1: $E(R_1) = 8\%$ , $\sigma_1 = 10\%$ . Aksje 2: $E(R_2) = 12\%$ , $\sigma_2 = 20\%$ . Du investerer 60% i aksje 1 og 40% i aksje 2. Finn forventa avkasting og standardavvik for porteføljen $R = 0{,}6R_1 + 0{,}4R_2$ .

📝Oppgave 16

Løys oppgåvene:

Lat $X$ vere talet på defekte produkt i ein pakke med 10. Fordelinga er: $P(X=0)=0{,}50$ , $P(X=1)=0{,}30$ , $P(X=2)=0{,}15$ , $P(X=3)=0{,}05$ . Rekn ut $E(X)$ og $\sigma$ .

📝Oppgave 17

Løys oppgåvene:

To uavhengige stokastiske variablar har $E(X) = 5$ , $\text{Var}(X) = 3$ , $E(Y) = 8$ , $\text{Var}(Y) = 7$ . Finn $E(X + Y)$ , $\text{Var}(X + Y)$ og $\text{SD}(X + Y)$ .

Finn $E(X - Y)$ , $\text{Var}(X - Y)$ og $\text{SD}(X - Y)$ .

Forklar kvifor $\text{Var}(X - Y) = \text{Var}(X + Y)$ når $X$ og $Y$ er uavhengige.

📝Oppgave 18

Løys oppgåvene:

Ei kaffemaskin fyller koppar med ei mengd kaffe $X$ (i ml) der $E(X) = 200$ og $\text{SD}(X) = 5$ . Kaffebønner kostar bedrifta $0{,}10$ kr per ml og ein kopp blir seld for 35 kr. La $F$ = forteneste per kopp. Finn $E(F)$ og $\text{SD}(F)$ .

Bedrifta sel 100 koppar per dag (uavhengige fyllingar). Finn $E(T)$ og $\text{SD}(T)$ for total dagleg forteneste $T$ .

Ein elev fekk 72 poeng på matematikk ( $\mu = 60$ , $\sigma = 8$ ) og 85 poeng på norsk ( $\mu = 75$ , $\sigma = 12$ ). Standardiser begge resultata og avgjer kva prøve eleven greidde relativt best på.

Hugs på eksamen: Bruk alltid den alternative variansformelen

\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

. Han er raskare å rekne ut enn definisjonen

\text{Var}(X) = E[(X-\mu)^2]

fordi du slepp å rekne ut avvik for kvar verdi.

Oppsummering

Sentrale omgrep:
- Stokastisk variabel $X$ : variabel styrt av tilfeldigheiter
- Sannsynsfordeling: oversikt over $P(X = x)$ for alle verdiar
- Forventingsverdi: $E(X) = \sum x_i P(X = x_i)$ - «langtidsgjennomsnittet»
- Varians: $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ - mål på spreiing
- Standardavvik: $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$ - spreiing i same eining som $X$

Reknereglar:
- $E(aX+b) = aE(X) + b$
- $\text{Var}(aX+b) = a^2 \text{Var}(X)$
- For uavhengige $X, Y$ : $\text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$ og $\text{Var}(X-Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$
- Standardisering: $\displaystyle Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ har $E(Z) = 0$ og $\text{Var}(Z) = 1$

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 7 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.