1.7 Integrasjon av rasjonale funksjoner | Matematikk S2

Delbrøkoppspalting og integrasjon av rasjonale uttrykk.

65 min

19 oppgaver

DelbrøkoppspaltingRasjonale funksjonerPartielle brøkerLogaritmiske integraler

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 19 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.5Integrasjon ved substitusjon 1.6Delvis integrasjon

Omdreiingslekamar

Når vi roterer eit område i planet rundt ein akse, får vi eit tredimensjonalt objekt kalla ein omdreiingslekam (rotasjonslekam). Volumet av slike lekamar kan reknast ut med integrasjon.

Tenk deg at du roterer området mellom grafen til $f(x)$ og $x$ -aksen rundt $x$ -aksen. Du får då ei «vase»-liknande form der tverrsnittet i kvart punkt er ein sirkel.

📜Skivemetoden (rotasjon om x-aksen)

Når området mellom

y = f(x)

x

-aksen for

a \leq x \leq b

blir rotert om $x$ -aksen, er volumet:

$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx$

Forklaring: I kvart punkt $x$ er tverrsnittet ei sirkelskive med radius $|f(x)|$ og areal $\pi [f(x)]^2$ . Vi «summerer opp» alle slike skiver langs $x$ -aksen.

✏️Volum av kjegle

Finn volumet av kjegla som kjem fram ved å rotere linja $\displaystyle y = \frac{r}{h}x$ for $0 \leq x \leq h$ om $x$ -aksen. ( $r$ er radius og $h$ er høgda.)

Vi bruker skivemetoden:

$V = \pi \int_0^h \left(\frac{r}{h}x\right)^2 dx = \pi \cdot \frac{r^2}{h^2} \int_0^h x^2 \, dx$

$= \frac{\pi r^2}{h^2} \cdot \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^h = \frac{\pi r^2}{h^2} \cdot \frac{h^3}{3} = \frac{\pi r^2 h}{3}$

Vi har utleidd den kjende formelen for volumet av ei kjegle: $\displaystyle V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ .

📊Utforsk: Området som blir rotert

Området under $f(x) = \sqrt{x}$ frå 0 til 4 (skravert) blir rotert om $x$ -aksen og dannar ein omdreiingslekam med volum $V = \pi \int_0^4 x \, dx = 8\pi$ . Den stipla grafen antydar rotasjonen.

✏️Volum av kule

Vis at volumet av ei kule med radius $R$ er $\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi R^3$ .

Ei kule med radius

R

kan sjåast som omdreiingslekamen til halvsirkelen

y = \sqrt{R^2 - x^2}

for

-R \leq x \leq R

rotert om

x

-aksen.

$V = \pi \int_{-R}^{R} (\sqrt{R^2 - x^2})^2 \, dx = \pi \int_{-R}^{R} (R^2 - x^2) \, dx$

$= \pi \left[R^2 x - \frac{x^3}{3}\right]_{-R}^{R} = \pi \left[\left(R^3 - \frac{R^3}{3}\right) - \left(-R^3 + \frac{R^3}{3}\right)\right]$

$= \pi \left[\frac{2R^3}{3} + \frac{2R^3}{3}\right] = \frac{4\pi R^3}{3}$

📜Rotasjon om y-aksen (skivemetoden)

Når området mellom

x = g(y)

y

-aksen for

c \leq y \leq d

blir rotert om $y$ -aksen, er volumet:

$V = \pi \int_c^d [g(y)]^2 \, dy$

Alternativt, dersom funksjonen er gjeven som $y = f(x)$ , løyser vi for $x = f^{-1}(y)$ og bruker dette uttrykket.

✏️Rotasjon om y-aksen

Finn volumet av omdreiingslekamen som blir danna når området mellom $y = x^2$ og $y$ -aksen for $0 \leq y \leq 4$ blir rotert om $y$ -aksen.

Vi løyser for

x

x = \sqrt{y}

(for

x \geq 0

$V = \pi \int_0^4 (\sqrt{y})^2 \, dy = \pi \int_0^4 y \, dy = \pi \left[\frac{y^2}{2}\right]_0^4 = \pi \cdot \frac{16}{2} = 8\pi$

📜Skalmetoden (rotasjon om y-aksen)

Når området mellom

y = f(x)

x

-aksen for

a \leq x \leq b

(med

a \geq 0

) blir rotert om $y$ -aksen, kan vi bruke skalmetoden:

$V = 2\pi \int_a^b x \cdot f(x) \, dx$

Forklaring: Vi deler området i tynne vertikale strimlar. Når ein strimmel ved $x$ med høgd $f(x)$ og breidd $dx$ blir rotert om $y$ -aksen, blir det danna eit tynt sylindrisk skal med radius $x$ , høgd $f(x)$ og tjukkleik $dx$ . Volumet av dette skalet er $\approx 2\pi x \cdot f(x) \cdot dx$ .

✏️Skalmetoden

Rekn ut volumet når området mellom $y = x^2$ og $x$ -aksen for $0 \leq x \leq 2$ blir rotert om $y$ -aksen. Bruk skalmetoden.

V = 2\pi \int_0^2 x \cdot x^2 \, dx = 2\pi \int_0^2 x^3 \, dx = 2\pi \left[\frac{x^4}{4}\right]_0^2 = 2\pi \cdot \frac{16}{4} = 8\pi

Kontroll med skivemetoden: $x = \sqrt{y}$ , $y$ går frå $0$ til $4$ .
$V = \pi \int_0^4 y \, dy = 8\pi$ ✓

Begge metodane gjev same svar, som venta.

Val av metode

Skivemetoden er best når:
- Tverrsnittet (vinkelrett på rotasjonsaksen) er lett å uttrykkje
- Funksjonen er lett å invertere (for rotasjon om $y$ -aksen)

Skalmetoden er best når:
- Rotasjonen er om $y$ -aksen og funksjonen er gjeven som $y = f(x)$
- Det er vanskeleg å løyse for $x$ som funksjon av $y$

Hugseregel: Skivemetoden integrerer vinkelrett på rotasjonsaksen, skalmetoden integrerer parallelt med rotasjonsaksen.

Hugs pi-faktoren!

Ein svært vanleg feil er å gløyme $\pi$ framfor integralet i skivemetoden, eller å gløyme $2\pi$ i skalmetoden. Skriv opp formelen tydeleg før du byrjar å integrere.

✏️Volum mellom to kurver

Finn volumet av omdreiingslekamen som blir danna når området mellom $y = x$ og $y = x^2$ for $0 \leq x \leq 1$ blir rotert om $x$ -aksen.

Sidan

x \geq x^2

for

0 \leq x \leq 1

, er den ytre kurva

y = x

og den indre

y = x^2

Volumet blir skilnaden mellom dei to omdreiingslekamane (skiver med hol = «ringar»):

$V = \pi \int_0^1 \left[(x)^2 - (x^2)^2\right] dx = \pi \int_0^1 (x^2 - x^4) \, dx$

$= \pi \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \pi \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) = \pi \cdot \frac{2}{15} = \frac{2\pi}{15}$

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

Finn volumet av omdreiingslekamen som blir danna når $y = 2x$ for $0 \leq x \leq 3$ blir rotert om $x$ -aksen.

Kva geometrisk lekam er dette? Kontroller med den kjende volumformelen.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

Finn volumet når $y = \sqrt{x}$ for $0 \leq x \leq 4$ blir rotert om $x$ -aksen.

Finn volumet når $y = x^3$ for $0 \leq x \leq 1$ blir rotert om $x$ -aksen.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

Finn volumet av omdreiingslekamen som blir danna når $y = e^x$ for $0 \leq x \leq 1$ blir rotert om $x$ -aksen.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Løys oppgåvene:

Finn volumet av omdreiingslekamen når $y = \sin x$ for $0 \leq x \leq \pi$ blir rotert om $x$ -aksen.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

Finn volumet av omdreiingslekamen som blir danna når området mellom $y = x^2$ og $y = x$ blir rotert om $x$ -aksen.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Løys oppgåvene:

Rekn ut volumet når $y = x^2$ for $0 \leq x \leq 2$ blir rotert om $y$ -aksen ved bruk av skalmetoden.

Kontroller svaret med skivemetoden (rotasjon om $y$ -aksen).

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Løys oppgåvene:

Finn volumet når $\displaystyle y = \frac{1}{x}$ for $1 \leq x \leq 3$ blir rotert om $x$ -aksen.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Løys oppgåvene:

Rekn ut volumet av omdreiingslekamen som blir danna når $y = xe^{-x}$ for $0 \leq x \leq 2$ blir rotert om $x$ -aksen.

📝Oppgave 9

Løys oppgåvene:

Bruk skalmetoden til å finne volumet når $y = e^{-x^2}$ for $0 \leq x \leq 1$ blir rotert om $y$ -aksen.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

Løys oppgåvene:

Ei vase har forma av omdreiingslekamen til $y = 1 + \sin x$ for $0 \leq x \leq 2\pi$ rundt $x$ -aksen. Finn volumet av vasa.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

Løys oppgåvene:

Finn volumet av omdreiingslekamen som blir danna når området mellom $y = e^x$ , $x$ -aksen, $x = 0$ og $x = 1$ blir rotert om $y$ -aksen. Bruk skalmetoden.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

Løys oppgåvene:

Finn volumet av ein torus (smultring) med ytre radius $R$ og rørradius $r$ ( $R > r$ ). (Hint: roter sirkelen $(x - R)^2 + y^2 = r^2$ om $y$ -aksen med skalmetoden.)

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 13

Løys oppgåvene:

Rekn ut volumet av ei halvkule med radius $R = 5$ ved å rotere $y = \sqrt{25 - x^2}$ for $0 \leq x \leq 5$ om $x$ -aksen.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 14

Løys oppgåvene:

Området mellom $y = \ln x$ og $x$ -aksen for $1 \leq x \leq e$ blir rotert om $x$ -aksen. Finn volumet.

Oppsummering

Skivemetoden (rotasjon om $x$ -aksen):
$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx$

Skivemetoden (rotasjon om $y$ -aksen):
$V = \pi \int_c^d [g(y)]^2 \, dy$

Skalmetoden (rotasjon om $y$ -aksen):
$V = 2\pi \int_a^b x \cdot f(x) \, dx$

Volum mellom to kurver (rotasjon om $x$ -aksen):
$V = \pi \int_a^b \left([f(x)]^2 - [g(x)]^2\right) dx$

der $f(x) \geq g(x) \geq 0$ på $[a, b]$ .

Hugs: Vel metode ut frå kva som er enklast å setje opp!

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.