1.6 Delvis integrasjon | Matematikk S2

Bruke delvis integrasjon for produkt av funksjonar.

60 min

19 oppgaver

Delvis integrasjonProduktregel baklengsGjentatt delvis integrasjonLIATE-regelen

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 19 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.4Anvendelser av integrasjon

Frå produktregelen til delvis integrasjon

Produktregelen for derivasjon seier at $(uv)' = u'v + uv'$ . Integrerer vi begge sider, får vi formelen for delvis integrasjon . Teknikken blir brukt til å integrere produkt av funksjonar.

📜Delvis integrasjon

Ubestemt integral:

\int u \, dv = uv - \int v \, du

Bestemt integral:
$\int_a^b u \, dv = \Big[uv\Big]_a^b - \int_a^b v \, du$

der $u = u(x)$ og $v = v(x)$ er deriverbare funksjonar.

Alternativ skrivemåte:
$\int u(x) \cdot v'(x) \, dx = u(x) \cdot v(x) - \int u'(x) \cdot v(x) \, dx$

Val av u

u

✏️Grunnleggjande delvis integrasjon

Rekn ut $\int x \cdot e^x \, dx$ .

Polynomet

x

blir enklare ved derivasjon:

$u = x \quad \Rightarrow \quad du = dx$

$dv = e^x \, dx \quad \Rightarrow \quad v = e^x$

Delvis integrasjon:
$\begin{aligned} \int x \cdot e^x \, dx &= x \cdot e^x - \int e^x \, dx \\ &= xe^x - e^x + C \\ &= e^x(x - 1) + C \end{aligned}$

Kontroll: $(e^x(x-1))' = e^x(x-1) + e^x = xe^x$

Svar: $e^x(x - 1) + C$

✏️Delvis integrasjon med logaritme

Rekn ut $\int \ln x \, dx$ .

Her er det berre éin faktor, men vi kan skrive

\ln x = \ln x \cdot 1

$\displaystyle u = \ln x \quad \Rightarrow \quad du = \frac{1}{x} \, dx$

$dv = dx \quad \Rightarrow \quad v = x$

$\begin{aligned} \int \ln x \, dx &= x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx \\ &= x \ln x - \int 1 \, dx \\ &= x \ln x - x + C \end{aligned}$

Kontroll: $\displaystyle (x\ln x - x)' = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} - 1 = \ln x$

Svar: $x\ln x - x + C$

✏️Gjenteken delvis integrasjon

Rekn ut $\int x^2 e^x \, dx$ .

Første runde:

u = x^2

du = 2x\,dx

dv = e^x\,dx

v = e^x

$\int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int 2x e^x \, dx$

Andre runde:
$u = 2x$ , $du = 2\,dx$ , $dv = e^x\,dx$ , $v = e^x$

$\int 2x e^x \, dx = 2xe^x - \int 2e^x \, dx = 2xe^x - 2e^x$

Sett saman:
$\begin{aligned} \int x^2 e^x \, dx &= x^2 e^x - (2xe^x - 2e^x) + C \\ &= e^x(x^2 - 2x + 2) + C \end{aligned}$

Mønster: For $\int x^n e^x \, dx$ må vi utføre delvis integrasjon $n$ gonger.

Svar: $e^x(x^2 - 2x + 2) + C$

Sirkulær delvis integrasjon

Nokre gonger dukkar det opphavlege integralet opp att etter delvis integrasjon. Då løyser vi ei likning med integralet som ukjend. Dette skjer til dømes ved $\displaystyle \int \frac{\ln x}{x}\,dx$ .

✏️Sirkulær delvis integrasjon

Rekn ut $\displaystyle I = \int \frac{\ln x}{x} \, dx$ for $x > 0$ .

\displaystyle u = \ln x \quad \Rightarrow \quad du = \frac{1}{x}\,dx

$\displaystyle dv = \frac{1}{x}\,dx \quad \Rightarrow \quad v = \ln x$

$I = \ln x \cdot \ln x - \int \ln x \cdot \frac{1}{x}\,dx = (\ln x)^2 - I$

$2I = (\ln x)^2$

$I = \frac{(\ln x)^2}{2} + C$

Kontroll: $\displaystyle \left(\frac{(\ln x)^2}{2}\right)' = \frac{2\ln x}{2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{\ln x}{x}$

Svar: $\displaystyle I = \frac{(\ln x)^2}{2} + C$

Etter delvis integrasjon bør du alltid derivere svaret for å kontrollere. Produktregelen gjer at du raskt kan verifisere. Hugs: derivasjon er enklare enn integrasjon!

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

Rekn ut $\int x e^{3x} \, dx$ ved delvis integrasjon.

Rekn ut $\int \sqrt{x} \ln x \, dx$ ved delvis integrasjon.

📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

Rekn ut $\int x e^{2x} \, dx$ .

Rekn ut $\int x e^{-x} \, dx$ .

📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

Rekn ut $\int x \ln x \, dx$ .

Rekn ut $\int_1^e \ln x \, dx$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 4

Løys oppgåvene:

Rekn ut $\int_0^1 xe^x \, dx$ .

Rekn ut $\int_0^2 x e^{-x} \, dx$ . Oppgi eksakt svar.

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

Rekn ut $\int x^2 e^{2x} \, dx$ med gjenteken delvis integrasjon.

📝Oppgave 6

Løys oppgåvene:

Rekn ut $\displaystyle \int \frac{(\ln x)^2}{x} \, dx$ med sirkulær delvis integrasjon.

📝Oppgave 7

Løys oppgåvene:

Rekn ut $\int (\ln x)^2 \, dx$ .

📝Oppgave 8

Løys oppgåvene:

Rekn ut $\int x^2 e^{-x} \, dx$ med gjenteken delvis integrasjon.

📝Oppgave 9

Løys oppgåvene:

Rekn ut $\int_1^e x^2 \ln x \, dx$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 10

Løys oppgåvene:

Rekn ut $\int x^3 e^x \, dx$ med gjenteken delvis integrasjon.

📝Oppgave 11

Løys oppgåvene:

Utled ein generell formel for $\int x^n e^x \, dx$ ved å bruke mønsteret frå gjenteken delvis integrasjon. (Hint: sjå på resultata for $n = 1, 2, 3$ .)

📝Oppgave 12

Løys oppgåvene:

Rekn ut $\displaystyle \int_1^{e^2} \frac{(\ln x)^3}{x} \, dx$ med sirkulær delvis integrasjon.

Løs oppgaven

📝Oppgave 13

Løys oppgåvene:

Rekn ut $\int_1^e x(\ln x)^2 \, dx$ ved delvis integrasjon.

Løs oppgaven

📝Oppgave 14

Løys oppgåvene:

Kva bør du velje som $u$ og $dv$ for å integrere $\int x^3 \ln x \, dx$ ? Grunngi valet, og rekn ut integralet.

Deriver svaret for å kontrollere at det stemmer.

Oppsummering

Delvis integrasjon: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$

Val av $u$ : den faktoren som blir enklare ved derivasjon

Vanlege typar:
- $\int x^n e^{ax}\,dx$ : vel $u = x^n$ (gjenteke $n$ gonger)
- $\int x^n \ln x\,dx$ : vel $u = \ln x$
- $\displaystyle \int \frac{(\ln x)^n}{x}\,dx$ : sirkulær metode, integralet dukkar opp att

Kontroll: Deriver alltid svaret.

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.