1.5 Numerisk integrasjon | Matematikk S2

Lær trapesformelen, Simpsons regel, feilestimering og praktisk bruk av numerisk integrasjon når analytisk integrasjon er vanskeleg eller umogleg.

55 min

22 oppgaver

Numerisk integrasjonTrapesformelenSimpsons regelFeilestimering

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 22 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.4Anvendelser av integrasjon

Kvifor numerisk integrasjon?

Mange funksjonar lèt seg ikkje integrere analytisk. Til dømes har $\int e^{-x^2} \, dx$ inga elementær antiderivert. I slike tilfelle bruker vi numeriske metodar for å rekne ut tilnærma verdiar av bestemte integral.

Numerisk integrasjon er òg svært nyttig når vi berre har datapunkt (målingar) og ikkje kjenner funksjonsuttrykket.

Numerisk integrasjon

\int_a^b f(x) \, dx

Venstresum og høgresum

Den enklaste numeriske metoden bruker rektangel. Intervallet $[a, b]$ blir delt i $n$ delintervall med breidd $\Delta x = \dfrac{b - a}{n}$ og endepunkt $x_0 = a$ , $x_1$ , …, $x_n = b$ :

$V_n = \Delta x \cdot \big(f(x_0) + f(x_1) + \cdots + f(x_{n-1})\big)$

$H_n = \Delta x \cdot \big(f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n)\big)$

Venstresummen $V_n$ bruker venstre endepunkt i kvart delintervall, høgresummen $H_n$ høgre. For ein veksande funksjon er $V_n$ for låg og $H_n$ for høg; for ein minkande funksjon er det omvendt. Gjennomsnittet $\dfrac{V_n + H_n}{2}$ er trapesformelen.

✏️Venstresum og høgresum for hand

Finn venstresummen og høgresummen for $f(x) = 4 - x^2$ på $[0, 2]$ med $n = 4$ , og samanlikn med integralet.

\Delta x = \dfrac{2 - 0}{4} = 0{,}5

$x$	$f(x)$
$0$	$4$
$0{,}5$	$3{,}75$
$1$	$3$
$1{,}5$	$1{,}75$
$2$	$0$

V_4 = 0{,}5 \cdot (4 + 3{,}75 + 3 + 1{,}75) = 0{,}5 \cdot 12{,}5 = 6{,}25

H_4 = 0{,}5 \cdot (3{,}75 + 3 + 1{,}75 + 0) = 0{,}5 \cdot 8{,}5 = 4{,}25

\displaystyle\int_0^2 (4 - x^2)\,dx = \left[4x - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^2 = 8 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{16}{3} \approx 5{,}33

Svar:

V_4 = 6{,}25

H_4 = 4{,}25

. Funksjonen er minkande, så venstresummen er for høg og høgresummen for låg i forhold til integralet

5{,}33

📜Trapesformelen

Med

n

delintervall og

\displaystyle h = \frac{b-a}{n}

er trapesformelen:

$\begin{aligned} &T_n \\ = {}&\frac{h}{2}\Big[f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + \cdots + 2f(x_{n-1}) + f(x_n)\Big] \end{aligned}$

$= \frac{h}{2}\left[f(x_0) + f(x_n) + 2\sum_{k=1}^{n-1} f(x_k)\right]$

Trapesformelen tilnærmar arealet ved å erstatte kurvebogen mellom to nabopunkt med ei rett linje, slik at kvart delområde blir eit trapes. Trapeset over $[x_{k-1}, x_k]$ har areal $\displaystyle \frac{h}{2}\big[f(x_{k-1}) + f(x_k)\big]$ . Når vi summerer alle trapesa, blir kvart indre punkt $x_1, \ldots, x_{n-1}$ talt med to gonger, medan endepunkta $x_0$ og $x_n$ berre blir talde éin gong.

✏️Trapesformelen med 4 delintervall

Bruk trapesformelen med $n = 4$ til å tilnærme $\int_0^2 e^{-x^2} \, dx$ .

Vi har

a = 0

b = 2

n = 4

\displaystyle h = \frac{2-0}{4} = 0{,}5

Delingspunkta og funksjonsverdiane:

$k$	$x_k$	$f(x_k) = e^{-x_k^2}$
0	0	$e^0 = 1$
1	0,5	$e^{-0{,}25} \approx 0{,}7788$
2	1,0	$e^{-1} \approx 0{,}3679$
3	1,5	$e^{-2{,}25} \approx 0{,}1054$
4	2,0	$e^{-4} \approx 0{,}0183$

\begin{aligned} &T_4 \\ = {}&\frac{0{,}5}{2}\Big[1 + 2(0{,}7788) + 2(0{,}3679) + 2(0{,}1054) + 0{,}0183\Big] \end{aligned}

= 0{,}25 \cdot [1 + 1{,}5576 + 0{,}7358 + 0{,}2108 + 0{,}0183]

= 0{,}25 \cdot 3{,}5225 \approx 0{,}8806

Svar:

T_4 \approx 0{,}8806

. Den eksakte verdien er

\approx 0{,}8821

✏️Trapesformelen med Python

Skriv eit program som reknar ut trapessummen $T_n$ for $\int_0^2 e^{-x^2}\,dx$ med $n = 4$ , $8$ , $16$ og $32$ .

import math

def f(x):
    return math.exp(-x**2)

a, b = 0, 2
for n in [4, 8, 16, 32]:
    h = (b - a) / n
    s = (f(a) + f(b)) / 2
    for k in range(1, n):
        s = s + f(a + k*h)
    print(n, round(h * s, 6))

Variabelen s startar med $\displaystyle \frac{f(a) + f(b)}{2}$ og får lagt til kvart indre punkt éin gong. Til slutt blir summen gonga med $h$ , slik at programmet reknar ut $\displaystyle T_n = \frac{h}{2}\big[f(x_0) + 2f(x_1) + \dots + 2f(x_{n-1}) + f(x_n)\big]$ .

Køyring gir:

$n$	$T_n$
$4$	$0{,}880619$
$8$	$0{,}881704$
$16$	$0{,}881986$
$32$	$0{,}882058$

Svar:

T_{32} \approx 0{,}882058

. Verdiane nærmar seg

0{,}8821

når

n

blir dobla.

Fordjuping (utanfor læreplanen)

Dette stoffet høyrer ikkje til læreplanen i matematikk S2 (MAT04-02). Simpsons regel og feilformlane (feilestimering) i resten av dette delkapitlet høyrer ikkje til S2. Trapesformelen og programmet som reknar han ut, høyrer til S2. Oppgåver med Simpsons regel eller feilformlar er merkte (Fordjuping). Du treng det ikkje til S2-eksamen.

📜Simpsons regel

Med eit partal

n

delintervall og

\displaystyle h = \frac{b-a}{n}

er Simpsons regel:

$\begin{aligned} &S_n \\ = {}&\frac{h}{3}\Big[f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) \\ &\quad {} + 2f(x_4) + \cdots + 4f(x_{n-1}) + f(x_n)\Big] \end{aligned}$

Koeffisientane følgjer mønsteret $1, 4, 2, 4, 2, \ldots, 4, 2, 4, 1$ .

Simpsons regel tilnærmar kurvebogen mellom tre nabopunkt med ein parabel (andregradsfunksjon), noko som gir langt betre nøyaktigheit enn trapesformelen.

✏️Simpsons regel med 4 delintervall

Bruk Simpsons regel med $n = 4$ til å tilnærme $\int_0^2 e^{-x^2} \, dx$ .

Vi bruker dei same verdiane som i førre døme:

h = 0{,}5

$S_4 = \frac{0{,}5}{3}\Big[f(0) + 4f(0{,}5) + 2f(1) + 4f(1{,}5) + f(2)\Big]$

$= \frac{0{,}5}{3}\Big[1 + 4(0{,}7788) + 2(0{,}3679) + 4(0{,}1054) + 0{,}0183\Big]$

$= \frac{0{,}5}{3}\Big[1 + 3{,}1152 + 0{,}7358 + 0{,}4216 + 0{,}0183\Big]$

$= \frac{0{,}5}{3} \cdot 5{,}2909 \approx 0{,}8818$

Den eksakte verdien er $\approx 0{,}8821$ . Simpsons regel gir her ein feil på berre $\approx 0{,}0003$ , mykje betre enn trapesformelen ( $\approx 0{,}0015$ ).

Svar: $S_4 \approx 0{,}8818$

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Trapesmetoden

Trapesmetoden med 4 trapes tilnærmar

\int_0^2 (x^2 + 1)\, dx

. Auk talet på trapes (siste tal i kommandoen) og sjå korleis tilnærminga nærmar seg den eksakte verdien

\displaystyle \frac{14}{3}

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = x^2 + 1
t = TrapezoidalSum(f, 0, 2, 4)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

📜Feilestimering

Feil for trapesformelen:

|E_T| \leq \frac{(b-a)^3}{12n^2} \cdot M_2

der

M_2 = \max_{a \leq x \leq b} |f''(x)|

Feil for Simpsons regel:
$|E_S| \leq \frac{(b-a)^5}{180n^4} \cdot M_4$
der $M_4 = \max_{a \leq x \leq b} |f^{(4)}(x)|$ .

Simpsons regel konvergerer altså som $\displaystyle \frac{1}{n^4}$ , medan trapesformelen konvergerer som $\displaystyle \frac{1}{n^2}$ . Dobling av $n$ gir ca. 4 gonger betre nøyaktigheit for trapes, men 16 gonger betre for Simpson.

✏️Feilestimering og val av n

Kor mange delintervall $n$ treng vi i trapesformelen for å rekne ut $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \, dx$ med feil mindre enn $0{,}001$ ?

Vi har $\displaystyle f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ .

$\displaystyle f'(x) = \frac{-2x}{(1+x^2)^2}$

$\displaystyle f''(x) = \frac{-2(1+x^2)^2 + 2x \cdot 2(1+x^2) \cdot 2x}{(1+x^2)^4} = \frac{6x^2 - 2}{(1+x^2)^3}$

For $x \in [0, 1]$ : $|f''(x)|$ har maksimum i $x = 0$ der $|f''(0)| = 2$ . Altså $M_2 = 2$ .

Feilgrensa: $\displaystyle |E_T| \leq \frac{(1-0)^3}{12n^2} \cdot 2 = \frac{1}{6n^2}$

Vi krev $\displaystyle \frac{1}{6n^2} < 0{,}001$ , altså $\displaystyle n^2 > \frac{1}{0{,}006} \approx 166{,}7$ , som gir $n > 12{,}9$ .

Svar: Vi treng minst $n = 13$ delintervall.

Praktisk bruk

Når bruker vi numerisk integrasjon?

- Funksjonen har inga elementær antiderivert: $\int e^{-x^2}\,dx$ , $\int \sqrt{1 + x^3}\,dx$
- Funksjonen er gitt som datapunkt: Målingar frå eksperiment, fartsmålingar, temperaturdataloggar
- Kontrollrekning: Sjekke analytiske svar med numerisk tilnærming

Tommelregel for val av metode:
- Trapesformelen er enklast å hugse og bruke
- Simpsons regel gir betre nøyaktigheit med same talet på utrekningar
- Dobling av $n$ og samanlikning gir praktisk feilkontroll

Viktig å hugse

- Simpsons regel krev at talet på delintervall $n$ er eit partal. Då er talet på datapunkt $n + 1$ eit oddetal.
- Feilen er avhengig av kor sterkt grafen krummar – jo meir «krokete» grafen er, dess fleire delintervall trengst.
- For data gitt som tabell: Med eit oddetal datapunkt kan du bruke både trapesformelen og Simpsons regel. Med eit partal datapunkt (oddetal delintervall) bruker du trapesformelen, eller Simpsons regel på alle delintervalla unntatt eitt og trapesformelen på det siste.

✏️Numerisk integrasjon frå tabell

Farten til ein bil (i m/s) er målt kvart 2. sekund:

$t$ (s)	$v(t)$ (m/s)
0	0
2	5
4	12
6	18
8	22
10	25

Rekn ut tilnærma tilbakelagd strekning

s = \int_0^{10} v(t)\,dt

med trapesformelen.

Her er

n = 5

h = 2

a = 0

b = 10

$\begin{aligned} &T_5 \\ = {}&\frac{2}{2}\Big[v(0) + 2v(2) + 2v(4) + 2v(6) + 2v(8) + v(10)\Big] \end{aligned}$

$= 1 \cdot \Big[0 + 2(5) + 2(12) + 2(18) + 2(22) + 25\Big]$

$= 0 + 10 + 24 + 36 + 44 + 25 = 139 \text{ m}$

Svar: Bilen har køyrt om lag $139$ m.

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

Rekn ut $\int_0^1 x^2\,dx$ med trapesformelen og $n = 4$ . Samanlikn med eksakt verdi.

(Fordjuping) Rekn ut same integral med Simpsons regel og $n = 4$ . Samanlikn feilen.

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

Rekn ut $\displaystyle \int_1^3 \frac{1}{x}\,dx$ med trapesformelen og $n = 4$ .

Finn eksakt verdi av integralet og rekn ut feilen.

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

(Fordjuping) Løys oppgåvene:

Skriv opp formelen for $S_6$ (Simpsons regel med 6 delintervall) for $\int_0^3 f(x)\,dx$ .

Kva er spesielt med Simpsons regel når funksjonen er eit polynom av grad $\leq 3$ ?

📝Oppgave 4

Løys oppgåvene:

Vassføringa i ei elv (i $\text{m}^3/\text{s}$ ) er målt kvar time:

$t$ (timar)	$Q(t)$
0	10
1	14
2	20
3	18
4	12

Rekn ut total vassmengd (i

\text{m}^3

) som har passert i løpet av 4 timar, med trapesformelen.

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

Rekn ut $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$ med trapesformelen for $n = 2$ og $n = 4$ . Kommenter konvergensen.

(Fordjuping) Rekn ut same integral med Simpsons regel for $n = 4$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

(Fordjuping) Løys oppgåvene:

Bruk feilformelen for trapesmetoden til å finne det minste talet på delintervall $n$ som gir $\int_0^1 e^x\,dx$ med feil $< 0{,}001$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

(Fordjuping) Løys oppgåvene:

Rekn ut $\int_0^3 e^{0{,}5x} \, dx$ med Simpsons regel og $n = 6$ . Samanlikn med eksakt verdi.

Løs oppgaven

📝Oppgave 8

(Fordjuping) Løys oppgåvene:

Ein funksjon $f$ er kjend i følgjande punkt:

$x$	$f(x)$
0	1,00
0,5	1,22
1	1,65
1,5	2,32
2	3,50

Rekn ut

\int_0^2 f(x)\,dx

med både trapesformelen og Simpsons regel.

📝Oppgave 9

Løys oppgåvene:

Vis at trapesformelen med $n = 1$ gir $\displaystyle T_1 = \frac{b-a}{2}[f(a) + f(b)]$ , og forklar kvifor dette er arealet av trapeset med hjørne i $(a, 0)$ , $(a, f(a))$ , $(b, f(b))$ og $(b, 0)$ .

📝Oppgave 10

(Fordjuping) Løys oppgåvene:

Finn det minste $n$ slik at Simpsons regel gir $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\,dx$ med feil $< 10^{-6}$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 11

(Fordjuping) Løys oppgåvene:

Rekn ut $\int_0^1 \sqrt{1 + x^3}\,dx$ med Simpsons regel og $n = 4$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 12

Løys oppgåvene:

Forklar kvifor trapesformelen gir for stor verdi dersom grafen til $f$ vender den hole sida opp ( $f''(x) > 0$ ) på heile $[a, b]$ .

(Fordjuping) Gjeld tilsvarande for Simpsons regel? Grunngi svaret.

📝Oppgave 13

(Fordjuping) Løys oppgåvene:

Akselerasjonen $a(t)$ til ein rakett dei første 10 sekunda er målt:

$t$ (s)	$a(t)$ (m/s $^2$ )
0	0
2	8
4	15
6	20
8	23
10	25

Raketten startar frå ro. Rekn ut farten

v(10) = \int_0^{10} a(t)\,dt

med Simpsons regel.

Løs oppgaven

📝Oppgave 14

(Fordjuping) Løys oppgåvene:

Funksjonen $e^{x^2}$ har inga elementær antiderivert. Bruk Simpsons regel med $n = 6$ til å finne ein tilnærma verdi for $\int_0^1 e^{x^2}\,dx$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 15

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = x^3$ på $[0, 2]$ .

Finn venstresummen og høgresummen med $n = 4$ .

Rekn ut $\displaystyle\int_0^2 x^3\,dx$ og samanlikn.

Løs oppgaven

📝Oppgave 16

Programmet nedanfor er skrive i Python.

def f(x):
    return 1 / x

n = 1000
dx = (2 - 1) / n
S = 0
for i in range(1, n + 1):
    S = S + f(1 + i*dx) * dx
print(round(S, 4))

Forklar kva programmet reknar ut.

Programmet skriv ut 0.6929. Kva eksakt tal nærmar resultatet seg når $n$ aukar? Forklar kvifor utskrifta er litt for låg.

Løs oppgaven

📝Oppgave 17

Bruk tala frå dømet med $f(x) = 4 - x^2$ på $[0, 2]$ og $n = 4$ .

Rekn ut $\dfrac{V_4 + H_4}{2}$ og samanlikn med integralet $\dfrac{16}{3}$ .

Vis at $\dfrac{V_n + H_n}{2}$ er det same som trapesformelen $T_n = \Delta x \cdot \left(\dfrac{f(x_0)}{2} + f(x_1) + \cdots + f(x_{n-1}) + \dfrac{f(x_n)}{2}\right)$ .

Løs oppgaven

Oppsummering

Trapesformelen: $\displaystyle T_n = \frac{h}{2}[f(x_0) + 2f(x_1) + \cdots + 2f(x_{n-1}) + f(x_n)]$
- Koeffisientar: $1, 2, 2, \ldots, 2, 1$
- Feilen er om lag proporsjonal med $\displaystyle \frac{1}{n^2}$

Simpsons regel (fordjuping): $\displaystyle S_n = \frac{h}{3}[f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + \cdots + 4f(x_{n-1}) + f(x_n)]$
- Koeffisientar: $1, 4, 2, 4, 2, \ldots, 4, 1$ (krev partal $n$ )
- Feilen er om lag proporsjonal med $\displaystyle \frac{1}{n^4}$
- Eksakt for polynom av grad $\leq 3$

Praktisk: Dobla $n$ og samanlikn - dersom svaret endrar seg lite, har vi god nøyaktigheit.

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.