1.4 Bruksområde for integrasjon | Matematikk S2

Lær om praktiske bruksområde for integrasjon.

65 min

19 oppgaver

GjennomsnittsverdiKonsument- og produsentoverskotAnalyse av modellar

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 19 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.2Bestemte integraler

Brukes videre i

1.5Numerisk integrasjon 1.6Delvis integrasjon

Praktiske bruksområde

Integrasjon blir brukt til å løyse mange praktiske problem:
- Finne total mengd frå ein rate
- Rekne ut arbeid frå kraft over avstand
- Finne gjennomsnittsverdien av ein funksjon
- Rekne ut forbrukarane og produsentane sitt overskot i økonomi

Gjennomsnittsverdi

f

✏️Gjennomsnittstemperatur

Temperaturen ein dag er modellert ved $T(t) = -0{,}125t^2 + 3t + 2$ grader celsius, der $t$ er talet på timar etter midnatt og $6 \leq t \leq 18$ . Finn gjennomsnittstemperaturen frå kl. 6 til kl. 18.

\bar{T} = \frac{1}{18 - 6} \int_6^{18} \left(-0{,}125t^2 + 3t + 2\right) dt

$= \frac{1}{12} \left[-\frac{t^3}{24} + 1{,}5t^2 + 2t\right]_6^{18}$

$= \frac{1}{12} \left[(-243 + 486 + 36) - (-9 + 54 + 12)\right]$

$= \frac{1}{12} (279 - 57) = \frac{222}{12} = 18{,}5$

Svar: Gjennomsnittstemperaturen frå kl. 6 til kl. 18 er $18{,}5\,°\text{C}$ .

Konsument- og produsentoverskot

La $p = D(x)$ vere etterspurnadsfunksjonen (prisen kundane er viljuge til å betale når $x$ einingar blir omsette) og $p = S(x)$ tilbodsfunksjonen (prisen produsentane krev for å levere $x$ einingar). I likevekt er $D(x_0) = S(x_0) = p_0$ .

Konsumentoverskot: Differansen mellom kva forbrukarane er viljuge til å betale og kva dei faktisk betaler:
$KO = \int_0^{x_0} \big(D(x) - p_0\big)\,dx$

Produsentoverskot: Differansen mellom kva produsentane mottek og kva dei er viljuge til å produsere for:
$PO = \int_0^{x_0} \big(p_0 - S(x)\big)\,dx$

✏️Konsument- og produsentoverskot

Etterspurnaden etter ei vare er gitt ved $D(x) = 100 - 2x$ og tilbodet ved $S(x) = 10 + x$ , der $x$ er talet på tusen einingar og prisen er i kroner.

Finn likevektsprisen, konsumentoverskotet og produsentoverskotet.

Likevekt:

$100 - 2x = 10 + x$

$3x = 90 \Rightarrow x_0 = 30$

$p_0 = 100 - 2 \cdot 30 = 40$

$KO = \int_0^{30} \big((100 - 2x) - 40\big)\,dx = \int_0^{30} (60 - 2x)\,dx = \left[60x - x^2\right]_0^{30} = 1800 - 900 = 900$

$\displaystyle PO = \int_0^{30} \big(40 - (10 + x)\big)\,dx = \int_0^{30} (30 - x)\,dx = \left[30x - \frac{x^2}{2}\right]_0^{30} = 900 - 450 = 450$

Svar: Likevekt ved $x_0 = 30$ tusen einingar og $p_0 = 40$ kr. Konsumentoverskotet er $900$ tusen kroner og produsentoverskotet $450$ tusen kroner.

Analyse av ein modell

Ei typisk eksamensoppgåve tek éin modell gjennom fleire spørsmål. Kvart spørsmål svarer til eit verktøy:

Spørsmål	Verktøy	Eining
Kor stor er storleiken?	$f(t)$	eininga til $f$
Kor fort endrar han seg?	$f'(t)$	eininga til $f$ per tidseining
Når er han størst eller minst?	$f'(t) = 0$ og forteiknslinje
Når endrar han seg raskast?	$f''(t) = 0$ (vendepunkt)
Kor mykje til saman?	$\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt$ når $f$ er ein rate	eininga til $f$ gonger tidseining
Kor mykje i gjennomsnitt?	$\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt$	eininga til $f$

Til slutt vurderer vi kor lenge modellen kan gjelde.

✏️Analyse av ein modell

Ein fornøyelsespark opnar klokka 09.00 og stengjer klokka 21.00. Talet på besøkjande som kjem inn per time, er modellert ved

$B(t) = -2t^3 + 24t^2 + 30, \qquad 0 \leq t \leq 12$

der $t$ er talet på timar etter opning.

a) Rekn ut $B(2)$ og $B'(2)$ . Forklar kva svara tyder.

b) Når kjem det flest besøkjande per time, og kor mange er det då?

c) Når aukar talet på besøkjande per time raskast?

d) Rekn ut $\displaystyle\int_0^{12} B(t)\,dt$ og $\dfrac{1}{12}\displaystyle\int_0^{12} B(t)\,dt$ . Forklar kva svara tyder.

e) Når har 2000 besøkjande kome inn i parken?

f) Vurder kor lenge modellen kan gjelde.

a)
$B(2) = -16 + 96 + 30 = 110$
$B'(t) = -6t^2 + 48t$
$B'(2) = -24 + 96 = 72$

Svar: Klokka 11.00 kjem det 110 besøkjande per time, og talet per time aukar med 72 per time.

b)
$B'(t) = 0$
$-6t(t - 8) = 0$
$t = 0 \quad \vee \quad t = 8$
$B'(t) > 0$ for $0 < t < 8$ og $B'(t) < 0$ for $8 < t \leq 12$ , så $t = 8$ gir toppunkt.
$B(8) = -1024 + 1536 + 30 = 542$

Svar: Klokka 17.00 kjem det flest, 542 besøkjande per time.

c)
$B''(t) = -12t + 48$
$B''(t) = 0$ gir $t = 4$
$B''(t) > 0$ for $t < 4$ og $B''(t) < 0$ for $t > 4$ , så $B'$ har toppunkt i $t = 4$ .
$B'(4) = -96 + 192 = 96$

Svar: Klokka 13.00 aukar talet på besøkjande per time raskast, med 96 per time.

d)
$\displaystyle\int_0^{12} B(t)\,dt = \left[-\dfrac{t^4}{2} + 8t^3 + 30t\right]_0^{12}$
$= -10\,368 + 13\,824 + 360$
$= 3816$
$\dfrac{3816}{12} = 318$

Svar: I løpet av dagen kjem det 3816 besøkjande. I gjennomsnitt kjem det 318 besøkjande per time.

e)
CAS i GeoGebra:
B(t) := -2t^3 + 24t^2 + 30
NLøs(Integral(B(t), t, 0, x) = 2000, x = 7)
gir $x \approx 7{,}47$
$0{,}47 \cdot 60 \approx 28$

Svar: Om lag klokka 16.28 har 2000 besøkjande kome inn.

f)
NLøs(B(t) = 0, t = 12) gir $t \approx 12{,}1$
For $t > 12{,}1$ er $B(t) < 0$ .

Svar: Like etter stengjetid gir modellen eit negativt tal på besøkjande per time. Modellen kan berre brukast medan parken er open, $0 \leq t \leq 12$ .

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

Finn gjennomsnittsverdien av $f(x) = x^2$ på $[0, 3]$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

Finn gjennomsnittsverdien av $f(x) = 2x + 1$ på $[0, 4]$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

Vasstilførsla til eit basseng er $r(t) = 100 + 20t$ liter/time. Kor mykje vatn blir tilført dei første 3 timane?

Løs oppgaven

📝Oppgave 4

Løys oppgåvene:

Folketalsveksten er $P'(t) = 1000e^{0{,}02t}$ per år. Finn auken dei første 10 åra.

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

Farten er $v(t) = 3t^2$ m/s. Finn total tilbakelagd avstand frå $t = 0$ til $t = 4$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Løys oppgåvene:

Finn gjennomsnittsverdien av $f(x) = e^x$ på $[0, 2]$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Løys oppgåvene:

Grensekostnaden er $K'(x) = 20 + 0{,}1x$ kr. Finn kostnadsauken når produksjonen aukar frå 100 til 200 einingar.

Løs oppgaven

📝Oppgave 8

Løys oppgåvene:

Temperaturen i eit drivhus er modellert ved $T(t) = 12 + 1{,}5t - 0{,}0625t^2$ grader celsius, der $t$ er talet på timar etter midnatt og $0 \leq t \leq 24$ . Finn gjennomsnittstemperaturen over døgnet.

Løs oppgaven

📝Oppgave 9

Løys oppgåvene:

Ein bakteriekoloni veks med rate $r(t) = 100 \cdot 2^{t/3}$ per time. Kor mange bakteriar blir tilført frå time 0 til time 6?

Løs oppgaven

📝Oppgave 10

Løys oppgåvene:

Straumforbruket i ein bustad er modellert ved $P(t) = 2000 + 250t - 10t^2$ watt, der $t$ er talet på timar etter midnatt og $0 \leq t \leq 24$ . Finn energiforbruket i kWh over døgnet.

Løs oppgaven

📝Oppgave 11

Løys oppgåvene:

Akselerasjon $a(t) = 6t$ m/s². Finn fart og posisjon som funksjonar av $t$ viss $v(0) = 5$ m/s og $s(0) = 0$ m.

📝Oppgave 12

Løys oppgåvene:

Vis at gjennomsnittsverdien av ein lineær funksjon $f(x) = ax + b$ på $[c, d]$ er lik funksjonsverdien i midtpunktet.

📝Oppgave 13

Etterspurnaden etter ei vare er $D(x) = 100 - x^2$ og tilbodet er $S(x) = 4 + 0{,}5x^2$ , der $x$ er talet på tusen einingar og prisen er i kroner.

Finn likevektskvantumet $x_0$ og likevektsprisen $p_0$ .

Finn konsumentoverskotet.

Finn produsentoverskotet.

Løs oppgaven

📝Oppgave 14

Vatn renn inn i eit basseng. Etter

t

minutt renn det inn

$r(t) = 40t\,e^{-0{,}1t}, \qquad 0 \leq t \leq 60$

liter per minutt.

Finn $r'(5)$ . Kva tyder svaret?

Når renn det inn mest vatn per minutt, og kor mykje er det då?

Rekn ut $\displaystyle\int_0^{60} r(t)\,dt$ og gjennomsnittleg tilførsel per minutt. Forklar kva svara tyder.

Når har det runne inn 3000 liter?

Løs oppgaven

Oppsummering

Læringspunkt:
- Gjennomsnittsverdien av ein funksjon på $[a, b]$ er $\displaystyle \bar{f} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$ .
- Integralet av ein endringsrate gir total endring: $\int_a^b f'(t)\,dt = f(b) - f(a)$ .
- Typiske bruksområde: fart $\to$ strekning, vekstrate $\to$ total vekst, grensekostnad $\to$ kostnadsendring, effekt $\to$ energi.
- Konsumentoverskot og produsentoverskot er integral av differansen mellom etterspurnads- eller tilbodsfunksjonen og likevektsprisen.
- Initialvilkår (startverdiar) trengst for å finne sjølve funksjonen, ikkje berre endringa.

Nøkkelomgrep	Forklaring
Gjennomsnittsverdi	$\displaystyle \bar{f} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$
Endringsrate	Derivert av ei mengd, t.d. $v(t) = s'(t)$
Total endring	Integralet av raten over tidsintervallet
Grensekostnad	$K'(x)$ — kostnadsauke per ekstra eining

Viktige formlar:

\bar{f} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx, \qquad \text{Total endring} = \int_a^b (\text{rate})\,dt

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.