1.4 Integrasjonsmetoder | Matematikk S2

Delvis integrasjon og substitusjon.

65 min

17 oppgaver

Delvis integrasjonSubstitusjonVariabelskifte

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.2Bestemte integraler

Brukes videre i

1.5Integrasjon ved substitusjon 1.6Delvis integrasjon

Praktiske bruksområde

Integrasjon blir brukt til å løyse mange praktiske problem:
- Finne total mengd frå ein rate
- Rekne ut arbeid frå kraft over avstand
- Finne gjennomsnittsverdien av ein funksjon
- Rekne ut forbrukarane og produsentane sitt overskot i økonomi

Gjennomsnittsverdi

f

✏️Gjennomsnittstemperatur

Temperaturen ein dag er gitt ved $\displaystyle T(t) = 20 + 8\sin(\frac{\pi t}{12})$ grader der $t$ er timar etter midnatt. Finn gjennomsnittstemperaturen frå kl. 6 til kl. 18.

\bar{T} = \frac{1}{18-6} \int_6^{18} \left(20 + 8\sin\left(\frac{\pi t}{12}\right)\right) dt

$= \frac{1}{12} \left[20t - \frac{96}{\pi}\cos\left(\frac{\pi t}{12}\right)\right]_6^{18}$

Ved $t = 18$ : $\displaystyle \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$ , og ved $t = 6$ : $\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ . Begge cosinusledda fell dermed bort:

$= \frac{1}{12} \left[(360 - 0) - (120 - 0)\right] = \frac{240}{12} = 20\,°\text{C}$

Gjennomsnittstemperaturen er nøyaktig $20\,°$ C. Det gir meining: $\sin$ -leddet er antisymmetrisk om $t = 12$ på intervallet $[6, 18]$ , så variasjonen rundt grunnivået $20$ jamnar seg ut.

Konsument- og produsentoverskot

I økonomi kan integrasjon brukast til å rekne ut:

Konsumentoverskot: Differansen mellom kva forbrukarane er villige til å betale og kva dei faktisk betaler.

Produsentoverskot: Differansen mellom kva produsentane mottek og kva dei er villige til å produsere for.

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

Finn gjennomsnittsverdien av $f(x) = x^2$ på $[0, 3]$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

Finn gjennomsnittsverdien av $f(x) = 2x + 1$ på $[0, 4]$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

Vasstilførsla til eit basseng er $r(t) = 100 + 20t$ liter/time. Kor mykje vatn blir tilført dei første 3 timane?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Løys oppgåvene:

Folketalsveksten er $P'(t) = 1000e^{0{,}02t}$ per år. Finn auken dei første 10 åra.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

Farten er $v(t) = 3t^2$ m/s. Finn total tilbakelagd avstand frå $t = 0$ til $t = 4$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Løys oppgåvene:

Finn gjennomsnittsverdien av $f(x) = e^x$ på $[0, 2]$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Løys oppgåvene:

Marginalkostnaden er $K'(x) = 20 + 0{,}1x$ kr. Finn kostnadsauken når produksjonen aukar frå 100 til 200 einingar.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Løys oppgåvene:

Temperatur varierer som $\displaystyle T(t) = 15 + 10\cos(\frac{\pi t}{12})$ over eit døgn ( $t$ i timar). Finn gjennomsnittstemperaturen.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Løys oppgåvene:

Ein bakteriekoloni veks med rate $r(t) = 100 \cdot 2^{t/3}$ per time. Kor mange bakteriar blir tilført frå time 0 til time 6?

📝Oppgave 10

Løys oppgåvene:

Straumforbruk varierer som $\displaystyle P(t) = 2000 + 500\sin(\frac{\pi t}{12})$ W. Finn energiforbruket (i kWh) over 24 timar.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

Løys oppgåvene:

Akselerasjon $a(t) = 6t$ m/s². Finn fart og posisjon som funksjonar av $t$ viss $v(0) = 5$ m/s og $s(0) = 0$ m.

📝Oppgave 12

Løys oppgåvene:

Vis at gjennomsnittsverdien av ein lineær funksjon $f(x) = ax + b$ på $[c, d]$ er lik funksjonsverdien i midtpunktet.

Oppsummering

Læringspunkt:
- Gjennomsnittsverdien av ein funksjon på $[a, b]$ er $\displaystyle \bar{f} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$ .
- Integralet av ein endringsrate gir total endring: $\int_a^b f'(t)\,dt = f(b) - f(a)$ .
- Typiske bruksområde: fart $\to$ strekning, vekstrate $\to$ total vekst, marginalkostnad $\to$ kostnadsendring, effekt $\to$ energi.
- Initialvilkår (startverdiar) trengst for å finne sjølve funksjonen, ikkje berre endringa.

Nøkkelomgrep	Forklaring
Gjennomsnittsverdi	$\displaystyle \bar{f} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$
Endringsrate	Derivert av ei mengd, t.d. $v(t) = s'(t)$
Total endring	Integralet av raten over tidsintervallet
Marginalkostnad	$K'(x)$ — kostnadsauke per ekstra eining

Viktige formlar:

\bar{f} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx, \qquad \text{Total endring} = \int_a^b (\text{rate})\,dt

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.