1.2 Bestemte integraler | Matematikk S2

Bestemte integraler og areal under graf.

60 min

17 oppgaver

Bestemt integralAreal under grafAnalysens fundamentalteorem

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.1Ubestemte integraler

Brukes videre i

1.3Areal mellom kurver 1.4Integrasjonsmetoder

Det bestemte integralet

Eit bestemt integral reknar ut "summen" av funksjonsverdiar over eit intervall:
$\int_a^b f(x) \, dx$

der $a$ er nedre grense og $b$ er øvre grense.

📜Fundamentalteoremet i analysen

Viss

F(x)

er ei antiderivert til

f(x)

, så er:

\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) = [F(x)]_a^b

Dette koplar saman derivasjon og integrasjon!

✏️Rekne ut bestemt integral

Rekn ut $\int_1^3 (2x + 1) \, dx$ .

Finn antiderivert:

F(x) = x^2 + x

Bruk fundamentalteoremet:
$\int_1^3 (2x + 1) \, dx = [x^2 + x]_1^3 = (9 + 3) - (1 + 1) = 12 - 2 = 10$

📊Utforsk: Bestemt integral som areal

Det bestemte integralet $\displaystyle \int_0^2 x^2 \, dx = \frac{8}{3}$ blir vist som det skraverte arealet under grafen. Endre grensene i Integral-kommandoen og sjå korleis arealet endrar seg.

Eigenskapar

$\int_a^a f(x) \, dx = 0$

$\int_a^b f(x) \, dx = -\int_b^a f(x) \, dx$

$\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx$

$\int_a^b kf(x) \, dx = k\int_a^b f(x) \, dx$

✏️Døme med eksponentialfunksjon

Rekn ut $\int_0^2 e^x \, dx$ .

\int_0^2 e^x \, dx = [e^x]_0^2 = e^2 - e^0 = e^2 - 1 \approx 6{,}39

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

Rekn ut $\int_0^2 3x^2 \, dx$ .

Rekn ut $\int_1^4 2x \, dx$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

Rekn ut $\int_{-1}^1 x^2 \, dx$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

Rekn ut $\int_0^1 (x^3 - x) \, dx$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Løys oppgåvene:

Rekn ut $\displaystyle \int_1^e \frac{1}{x} \, dx$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

Rekn ut $\int_0^{\ln 2} e^x \, dx$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Løys oppgåvene:

Rekn ut $\int_1^4 \sqrt{x} \, dx$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Løys oppgåvene:

Rekn ut $\int_0^1 2xe^{x^2} \, dx$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Løys oppgåvene:

Rekn ut $\displaystyle \int_0^2 \frac{x}{x^2+1} \, dx$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Løys oppgåvene:

Vis at $\int_{-a}^a f(x) \, dx = 0$ viss $f$ er ein odde funksjon.

📝Oppgave 10

Løys oppgåvene:

Finn $k$ slik at $\int_0^k 2x \, dx = 8$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

Løys oppgåvene:

Rekn ut $\displaystyle \int_1^2 (x + \frac{1}{x})^2 \, dx$ .

📝Oppgave 12

Løys oppgåvene:

Gjennomsnittsverdien av $f$ på $[a,b]$ er $\displaystyle \bar{f} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$ . Finn gjennomsnittsverdien av $f(x) = x^2$ på $[0, 3]$ .

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

Læringspunkt:
- Fundamentalteoremet i analysen knyter integrasjon og derivasjon saman: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ der $F'(x) = f(x)$ .
- Eit bestemt integral er eit tal (ikkje ein funksjon), og integrasjonskonstanten $C$ fell bort.
- Integralet kan vere negativt viss grafen ligg under $x$ -aksen.
- For ein odde funksjon er $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0$ på grunn av symmetri.
- Substitusjon fungerer òg i bestemte integral — hugs å byte grenser eller gå tilbake til $x$ .

Nøkkelomgrep	Forklaring
Bestemt integral	$\int_a^b f(x)\,dx$ — eit tal som måler forteiknsbestemt areal
Integrasjonsgrenser	$a$ (nedre) og $b$ (øvre)
Fundamentalteoremet	$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$
Innsetjingsnotasjon	$\big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a)$

Viktige formlar:

\int_a^b f(x)\,dx = \big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a)

\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx, \qquad \int_a^c = \int_a^b + \int_b^c

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.