7.1 Lineær regresjon

Spredningsplott, minste kvadraters metode, regresjonslinje, residualer og determinasjonskoeffisienten R².

55 min

19 oppgaver

RegresjonslinjenMinste kvadraters metodeResidualerR²

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 19 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

7.2Korrelasjon og kausalitet 7.3Ikke-lineær regresjon 7.4Residualanalyse

Spreiingsplott og samanheng mellom variablar

I statistikk er vi ofte interesserte i å undersøkje om det er ein samanheng mellom to variablar. Til dømes:
- Er det samanheng mellom studietimar og eksamensresultat?
- Heng mengda gjødsel saman med avling?
- Påverkar temperatur salet av is?

Vi startar med å lage eit spreiingsplott (eller punktdiagram), der vi plottar datapunkta $(x_i, y_i)$ i eit koordinatsystem. Variabelen $x$ blir kalla forklaringsvariabelen (uavhengig variabel) og $y$ blir kalla responsvariabelen (avhengig variabel).

Spreiingsplott

(x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)

Minste kvadraters metode

Dersom spreiingsplottet antydar ein lineær samanheng, ønskjer vi å finne den rette linja som best tilpassar dataene. Denne linja blir kalla regresjonslinja.

Idé: Vi vil minimere summen av dei kvadrerte avstandane mellom dei observerte $y$ -verdiane og dei tilsvarande verdiane på linja. Desse avstandane blir kalla residual.

Regresjonslinja

\hat{y} = ax + b

Regresjonslinja går alltid gjennom punktet $(\bar{x}, \bar{y})$ , altså gjennom gjennomsnittet av begge variablane.

I praksis bruker vi kalkulator eller rekneark til å finne $a$ og $b$ , men det er viktig å forstå kva formlane tyder.

✏️Eksempel 1: Finne regresjonslinja

Ein lærar registrerer talet på studietimar ( $x$ ) og poeng på prøve ( $y$ ) for 6 elevar:

Elev	1	2	3	4	5	6
$x$ (timar)	2	3	5	6	8	10
$y$ (poeng)	45	55	60	72	78	90

Finn regresjonslinja

\hat{y} = ax + b

Løysing:

$n = 6$ , $\sum x_i = 34$ , $\sum y_i = 400$

$\displaystyle \bar{x} = \frac{34}{6} \approx 5{,}667$ , $\displaystyle \bar{y} = \frac{400}{6} \approx 66{,}667$

$\sum x_i^2 = 4+9+25+36+64+100 = 238$

$\sum x_i y_i = 90+165+300+432+624+900 = 2511$

$a = \frac{6 \cdot 2511 - 34 \cdot 400}{6 \cdot 238 - 34^2} = \frac{15066 - 13600}{1428 - 1156} = \frac{1466}{272} \approx 5{,}39$

$b = 66{,}667 - 5{,}39 \cdot 5{,}667 = 66{,}667 - 30{,}55 \approx 36{,}12$

Regresjonslinje: $\hat{y} = 5{,}39x + 36{,}12$

Tolking: For kvar ekstra studietime aukar poengsummen i gjennomsnitt med ca. 5,4 poeng. Ein elev som ikkje studerer, blir venta å få ca. 36 poeng.

📊Utforsk: Lineær regresjon med minste kvadraters metode

Fem datapunkt og regresjonslinja funnen med RegLin-kommandoen. Linja er vald slik at summen av dei kvadrerte avstandane (residuala) blir minst mogleg. Dra i punkta og sjå linja tilpasse seg.

📝Oppgave 1

Gitt datapunkta $(1, 3)$ , $(2, 5)$ , $(3, 7)$ , $(4, 9)$ , $(5, 11)$ . Finn regresjonslinja $\hat{y} = ax + b$ .

📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

Kva fortel stigingstalet $a$ i ei regresjonslinje?

Kva fortel konstantleddet $b$ ?

Kvifor er det viktig at regresjonslinja går gjennom $(\bar{x}, \bar{y})$ ?

📝Oppgave 3

Gjødslingsmengd ( $x$ kg/dekar) og avling ( $y$ kg/dekar):

$x$	10	20	30	40	50
$y$	250	300	380	420	470

Finn regresjonslinja og estimer avlinga ved 35 kg gjødsel per dekar.

📝Oppgave 4

Bruk regresjonslinja frå eksempel 1 ( $\hat{y} = 5{,}39x + 36{,}12$ ) til å predikere poengsummen for ein elev som studerer 7 timar. Er det rimeleg å bruke modellen for å predikere resultatet til ein elev som studerer 25 timar?

Residual

Residualet for eit datapunkt er differansen mellom den observerte verdien og den predikerte verdien frå regresjonslinja.

Residual

i

Determinasjonskoeffisienten $R^2$

For å vurdere kor god regresjonsmodellen er, bruker vi determinasjonskoeffisienten $R^2$ .

Determinasjonskoeffisienten

R^2

R^2 = 1 - \frac{\text{SS}_{\text{res}}}{\text{SS}_{\text{tot}}} = 1 - \frac{\sum(y_i - \hat{y}_i)^2}{\sum(y_i - \bar{y})^2}

✏️Eksempel 2: Utrekning av residual og $R^2$

Bruk dataene og regresjonslinja $\hat{y} = 5{,}39x + 36{,}12$ frå eksempel 1. Rekn ut residuala og $R^2$ .

Residual:

$x$	$y$	$\hat{y}$	$e = y - \hat{y}$
2	45	46,90	$-1{,}90$
3	55	52,29	2,71
5	60	63,07	$-3{,}07$
6	72	68,46	3,54
8	78	79,24	$-1{,}24$
10	90	90,02	$-0{,}02$

Kontroll:

\sum e_i \approx 0

✓

\text{SS}_{\text{res}} = 1{,}90^2 + 2{,}71^2 + 3{,}07^2 + 3{,}54^2 + 1{,}24^2 + 0{,}02^2 \approx 32{,}4

\text{SS}_{\text{tot}} = (45-66{,}7)^2 + (55-66{,}7)^2 + \cdots + (90-66{,}7)^2 \approx 1333{,}3

\displaystyle R^2 = 1 - \frac{32{,}4}{1333{,}3} \approx 1 - 0{,}024 = 0{,}976

R^2 \approx 0{,}976

: Studietimar forklarer ca. 97,6 % av variasjonen i poengsum. Svært god tilpassing.

📝Oppgave 5

Gitt regresjonslinja $\hat{y} = 3x + 10$ og datapunkta $(2, 17)$ , $(4, 21)$ , $(6, 29)$ , $(8, 33)$ . Rekn ut residuala og $\text{SS}_{\text{res}}$ .

📝Oppgave 6

Løys oppgåvene:

Kva tyder det at eit residualplott viser eit krumma mønster?

Kva tyder det at residualplottet viser ei vifteform (spreiinga aukar)?

📝Oppgave 7

Temperatur ( $x$ , °C) og issal ( $y$ , tal):

$x$	15	18	20	23	25	28	30
$y$	30	45	50	65	80	90	100

Bruk kalkulator/rekneark til å finne regresjonslinja og

R^2

. Tolk resultata.

📝Oppgave 8

Ei bedrift har følgjande data for annonsering ( $x$ , tusen kr) og sal ( $y$ , tusen kr):

$x$	5	10	15	20	25
$y$	80	120	150	180	220

Finn regresjonslinja og bruk henne til å predikere salet ved eit annonsebudsjett på 18 tusen kr.

📝Oppgave 9

Vis at $\sum_{i=1}^{n} e_i = 0$ for regresjonslinja $\hat{y} = ax + b$ der $b = \bar{y} - a\bar{x}$ .

📝Oppgave 10

Rekn ut $R^2$ for oppgåve 5 ( $\hat{y} = 3x + 10$ , data: $(2,17), (4,21), (6,29), (8,33)$ ).

📝Oppgave 11

Ein forskar samlar data om alder ( $x$ ) og blodtrykk ( $y$ ) for 8 personar:

$x$	25	30	35	40	45	50	55	60
$y$	115	120	118	125	130	128	138	140

Finn regresjonslinja med kalkulator, rekn ut

R^2

og diskuter om alder er ein god prediktor for blodtrykk.

📝Oppgave 12

Løys oppgåvene:

Kva er skilnaden på interpolasjon og ekstrapolasjon?

Gi eit eksempel der ekstrapolasjon gir meiningslause resultat.

📝Oppgave 13

To regresjonsmodellar for samanheng mellom CO $_2$ -utslepp ( $x$ ) og temperaturavvik ( $y$ ):

Modell A: $\hat{y} = 0{,}005x + 0{,}2$ , $R^2 = 0{,}88$
Modell B: $\hat{y} = 0{,}004x + 0{,}5$ , $R^2 = 0{,}72$

Kva for ein modell vil du føretrekkje, og kvifor?

📝Oppgave 14

For datasettet i oppgåve 3 (gjødsel og avling), rekn ut alle residuala og teikn eit residualplott. Vurder om den lineære modellen passar godt.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Spreiingsplott viser samanhengen mellom to variablar; regresjonslinja $\hat{y} = ax + b$ er linja som passar dataene best.
- Minste kvadraters metode: Regresjonslinja minimerer summen av kvadrerte residual, og residuala summerer seg til null.
- Residual: $e_i = y_i - \hat{y}_i$ — avviket mellom observert og predikert verdi.
- Determinasjonskoeffisienten $R^2$ : Delen av variasjonen i $y$ som modellen forklarer ( $0 \leq R^2 \leq 1$ ).

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Regresjonslinje	Beste rette linje gjennom dataene
Residual	Observert minus predikert verdi
$R^2$	Forklart del av variasjonen
Prediksjon	Anslaget til modellen for ein gitt $x$

Viktige formlar

\hat{y} = ax + b

e_i = y_i - \hat{y}_i

R^2 = 1

: perfekt lineær tilpassing

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Spreiingsplott og samanheng mellom variablar

Minste kvadraters metode

Residual

Determinasjonskoeffisienten R2R^2R2

Oppsummering

Nøkkelomgrep

Viktige formlar

Determinasjonskoeffisienten $R^2$