7.4 Residualanalyse

Bruk residualer og residualplott til å vurdere modellkvalitet og avgjøre når en annen modelltype bør prøves.

50 min

17 oppgaver

ResidualResidualplottModellvurderingUteliggere

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

7.1Lineær regresjon

Hvorfor er ikke $R^2$ alene nok?

I 7.1 brukte vi $R^2$ til å si hvor godt regresjonslinjen passer. En høy $R^2$ ser fin ut, men forteller ikke hele historien. To datasett kan ha samme $R^2$ , men det ene kan likevel være håpløst dårlig modellert.

For å være sikker på at modellen er god, må vi se på residualene — avvikene mellom det vi observerte og det modellen sier.

Residual

\hat{y} = ax + b

En god regresjonsmodell har residualer som

- ligger tilfeldig spredt rundt null,
- har omtrent samme spredning for små og store $x$ -verdier,
- ikke viser noe systematisk mønster (ingen kurvatur, ingen trakt, ingen bølge).

Hvis residualene viser et mønster, betyr det at modellen ikke har fanget opp alt som ligger i dataene. Da bør vi prøve en annen modelltype.

Residualplott

e_i

1. Tilfeldig sky rundt null — modellen passer godt. Ingen handling nødvendig.

2. U-form eller bue — den lineære modellen mangler kurvatur. Prøv andregrads-, eksponentiell eller potensmodell.

3. Trakt (vifteform) — spredningen er ujevn. Lavere x-verdier gir små residualer, høyere x-verdier gir store. Vurder om $y$ bør transformeres ( $\ln y$ ) eller om modelltypen er feil.

4. Et fåtall punkter med svært store residualer — uteliggere. Sjekk om det er målefeil i datasettet, eller om punktet er en reell avvikende observasjon.

✏️Eksempel 1: Beregne residualer

For datasettet $(1, 9), (2, 11), (3, 14), (4, 16), (5, 21), (6, 24)$ er regresjonslinjen $\hat{y} = 3{,}06x + 5{,}13$ .

Beregn residualene og vurder om en lineær modell passer.

Tabell over $\hat{y}_i$ og $e_i$ :

$x_i$	$y_i$	$\hat{y}_i$	$e_i$
1	9	8,19	0,81
2	11	11,25	$-0{,}25$
3	14	14,30	$-0{,}30$
4	16	17,36	$-1{,}36$
5	21	20,42	0,58
6	24	23,48	0,52

Residualene er små og bytter fortegn (

+, -, -, -, +, +

). Det er ikke et tydelig systematisk mønster, og

\sum e_i = 0{,}81 - 0{,}25 - 0{,}30 - 1{,}36 + 0{,}58 + 0{,}52 = 0

, slik det skal være for regresjonslinjen.
Svar: Residualene er små og uten tydelig mønster. Den lineære modellen passer godt.

✏️Eksempel 2: Når residualene avslører at modellen er feil

En forsker finner regresjonslinjen $\hat{y} = 6{,}6x - 5{,}27$ for datasettet:

$x$	$y$
1	5
2	7
3	12
4	18
5	27
6	38

Beregn residualene og vurder modellen.

Tabell:

$x$	$y$	$\hat{y}$	$e = y - \hat{y}$
1	5	1,33	3,67
2	7	7,93	$-0{,}93$
3	12	14,53	$-2{,}53$
4	18	21,13	$-3{,}13$
5	27	27,73	$-0{,}73$
6	38	34,33	3,67

Residualene har et systematisk mønster: positive i begge ender og negative i midten. Plottet viser en tydelig U-form.

R^2 \approx 0{,}94

er likevel høy, fordi den lineære trenden fanger mye av variasjonen. Men residualene avslører at en andregrads- eller eksponentiell modell ville passe bedre.
Svar: Residualene viser U-form, så den lineære modellen forkastes til fordel for en ikke-lineær modell.

R^2

gir ett enkelt tall — en oppsummering. Residualplott gir en bilde av hva som faktisk skjer punkt for punkt.

Bruk alltid begge:

- Høy $R^2$ + tilfeldig residualplott $\Rightarrow$ god modell.
- Høy $R^2$ + systematisk mønster $\Rightarrow$ misvisende. Modellen er ikke riktig type.
- Lav $R^2$ + tilfeldig residualplott $\Rightarrow$ riktig modelltype, men dataene har mye støy.
- Lav $R^2$ + systematisk mønster $\Rightarrow$ feil modelltype og mye støy. Start på nytt.

✏️Eksempel 3: Uteligger i et datasett

Et datasett over månedlig strømforbruk og utetemperatur gir én observasjon med residual på $-15{,}0$ kWh, mens alle andre residualer ligger mellom $-2$ og $+2$ kWh.

Hvordan bør dette håndteres?

Residualet er svært stort sammenliknet med de andre — observasjonen er en uteligger.

Praktisk håndtering:

- Sjekk dataene. Er det en målefeil eller skrivefeil? Var det en spesiell måned (ferie, strømstans, ny måler)?
- Hvis målefeil: rett opp eller fjern observasjonen, og kjør regresjonen på nytt.
- Hvis reell, men spesiell hendelse: dokumenter den, men vurder å holde den utenfor modellen — og forklar valget i rapporten.
- Hvis du ikke vet: rapporter resultater både med og uten uteliggeren slik at leseren ser effekten.

Uteliggere må aldri fjernes bare fordi de er ubehagelige. Begrunn alltid valget.

Svar: Undersøk observasjonen før noe fjernes. Ved målefeil: rett eller fjern og kjør regresjonen på nytt. Ellers: behold den eller rapporter med og uten, og begrunn valget.

GeoGebra har innebygd støtte for residualer:

1. Skriv inn punktene som en liste, f.eks. data = {(1,9),(2,11),(3,14),(4,16),(5,21),(6,24)}.
2. Lag regresjonslinjen: f = RegLin(data).
3. Beregn residualene: Residualer = Følge(y(Element(data, k)) - f(x(Element(data, k))), k, 1, Lengde(data)).
4. Lag residualpunkter: Følge((x(Element(data, k)), Element(Residualer, k)), k, 1, Lengde(data)).
5. Tegn $e = 0$ -linjen som referanse.

I Excel: regn ut stigningstallet i en egen celle, =STIGNINGSTALL(B2:B7;A2:A7) i D1, og konstantleddet med =SKJÆRINGSPUNKT(B2:B7;A2:A7) i D2. Legg så til en kolonne =B2-($D$1*A2+$D$2) og lag spredningsplott av residualene mot $x$ .

I Python: residuals = y - (a*x + b) og plt.scatter(x, residuals).

📝Oppgave 1

For datasettet $(1, 4), (2, 6), (3, 9), (4, 11), (5, 14)$ er regresjonslinjen $\hat{y} = 2{,}5x + 1{,}3$ .

Beregn residualene for alle fem punkter.

Verifiser at $\sum e_i \approx 0$ .

Vurder om modellen passer.

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

En lineær modell for skostørrelse $y$ som funksjon av kroppshøyde $x$ (cm) er $\hat{y} = 0{,}25x - 2$ . For en person med $x = 175$ cm er $y = 46$ .

Hva er $\hat{y}$ ?

Hva er residualet?

Residualene for de andre personene i datasettet er mindre enn 1,5. Hva forteller residualet for denne personen?

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

Et residualplott viser at residualene er små for $x$ -verdier mellom 0 og 10, men øker jevnt med $x$ helt opp til $|e| \approx 30$ ved $x = 50$ . Hva forteller dette?

📝Oppgave 4

To modeller for samme datasett gir:

- Modell A: lineær, $R^2 = 0{,}94$ , residualplott viser tydelig U-form.
- Modell B: andregrad, $R^2 = 0{,}91$ , residualplott er tilfeldig spredt.

Hvilken modell bør foretrekkes?

📝Oppgave 5

Tabellen viser en prisindeks for nye eneboliger (2015 = 100, forenklede tall):

År	Indeks
2015	100
2017	110
2019	117
2021	132
2023	138

En lineær regresjonslinje (med

t =

år etter 2015) er

\hat{y} = 4{,}9t + 99{,}8

Beregn residualene.

Er det noe systematisk mønster?

Hva slags reelle hendelser i 2020–2021 kunne forklart avviket?

📝Oppgave 6

En gruppe elever har samlet inn data om antall kunder per dag og inntekter. Regresjonsmodellen $\hat{y} = 250x + 1200$ gir $R^2 = 0{,}88$ . Når de tegner residualplottet ser de et tydelig U-formet mønster.

Hva skal de gjøre, og hvordan kan de begrunne det i prosjektrapporten?

📝Oppgave 7

For en regresjonsmodell på et datasett med

n = 8

punkter er residualene:

$-0{,}3,\ 0{,}1,\ -0{,}2,\ 0{,}4,\ -0{,}1,\ 0{,}3,\ -0{,}5,\ 0{,}3$

Beregn $\sum e_i$ og kontroller at modellen er tilpasset korrekt.

Beregn $\text{SS}_{\text{res}} = \sum e_i^2$ .

Hvis $\text{SS}_{\text{tot}} = 8{,}2$ , finn $R^2$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 8

En elev har tilpasset en eksponentiell modell $\hat{y} = 50 \cdot 1{,}05^x$ til årlig BNP-vekst. Residualplottet viser en lett bølgeform rundt nullinjen.

Kan modellen brukes til prediksjon? Drøft.

📝Oppgave 9

Du har gjennomført regresjon på et reelt datasett om arbeidsledighet i Norge fra SSB. $R^2 = 0{,}97$ for både en lineær og en eksponentiell modell. Hvordan velger du mellom dem?

📝Oppgave 10

En klassekamerat påstår: «Hvis $R^2 > 0{,}9$ , er modellen alltid god nok til å bruke i en samfunnsøkonomisk rapport.» Vurder denne påstanden.

📝Oppgave 11

Tabellen viser en månedlig konsumprisindeks (KPI, 2015 = 100, forenklede tall):

Måned	KPI
Jan	124
Mar	125
Mai	126
Jul	127
Sep	128
Nov	129

En elev tilpasser

\hat{y} = 1{,}0t + 124

med

t

som månedsnummer (Jan = 0, Mar = 2, Mai = 4 osv.).

Beregn residualene.

Hva slags mønster ser du?

Hva tyder dette på?

📝Oppgave 12

Drøftingsoppgave: Hvorfor er det viktig å presentere både $R^2$ og residualplott i en samfunnsøkonomisk prosjektrapport, og ikke bare velge tallet som ser best ut?

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Residualet $e_i = y_i - \hat{y}_i$ måler avviket mellom observasjon og modell for hvert datapunkt.
- Residualplott: Residualene mot $x$ . En god modell gir tilfeldig spredning rundt null — systematiske mønstre (U-form, trakt) avslører feil modellform eller ujevn varians.
- $R^2$ er ikke nok: Høy $R^2$ kan skjule systematiske avvik; residualplottet ser det $R^2$ ikke ser.
- Uteliggere: Punkter med store residualer bør undersøkes — er det målefeil eller reell variasjon?

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Residual	$y_i - \hat{y}_i$
Residualplott	Residualer plottet mot $x$
Uteligger	Punkt med uvanlig stort residual
SSE	Summen av kvadrerte residualer

Viktige formler

e_i = y_i - \hat{y}_i

- God modell: residualer tilfeldig rundt 0

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Hvorfor er ikke R2R^2R2 alene nok?

Oppsummering

Nøkkelbegreper

Viktige formler

Hvorfor er ikke $R^2$ alene nok?