7.3 Ikke-lineær regresjon | Matematikk S1

Eksponentiell, potens- og logaritmisk regresjon — modellvalg og logaritmisk transformasjon.

55 min

17 oppgaver

Eksponentiell regresjonPotensiell regresjonLogaritmisk transformasjonModellvalg

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

7.1Lineær regresjon

Brukes videre i

8.6Selvstendig samfunnsøkonomisk prosjekt

Når lineær regresjon ikke er nok

Ikke alle sammenhenger er lineære. Mange fenomener i naturen og samfunnet følger andre mønstre:
- Eksponentiell vekst: Bakterievekst, rentes rente, smittespredning
- Potenssammenheng: Bremselengde og fart, areal og sidelengde
- Logaritmisk vekst: Lydstyrke (desibel), jordskjelvstyrke (Richter)

Dersom spredningsplottet eller residualplottet viser at en lineær modell ikke passer, prøver vi ikke-lineære modeller.

Eksponentiell regresjon

En eksponentiell modell har formen:
$y = a \cdot b^x \quad \text{eller} \quad y = a \cdot e^{kx}$

der $a > 0$ er startverdien og $b > 0$ (eller $k$ ) bestemmer vekstraten.

Kjennetegn i spredningsplottet:
- Kurven stiger stadig raskere ( $b > 1$ ) eller avtar stadig saktere ( $0 < b < 1$ )
- Ser ut som en «J-form» (vekst) eller «fallende kurve» (nedgang)

Logaritmisk transformasjon

y = a \cdot b^x

✏️Eksempel 1: Eksponentiell regresjon

En bakteriekultur dobles omtrent hvert 3. time. Antall bakterier ble målt:

Timer ( $x$ )	Antall ( $y$ )
0	100
3	210
6	420
9	870
12	1750

Finn en eksponentiell modell

y = a \cdot b^x

Løsning:

Transformer $y$ til $\ln y$ :

$x$	$\ln y$
0	4,605
3	5,347
6	6,040
9	6,768
12	7,467

Lineær regresjon på

(x, \ln y)

:
GeoGebra (RegLin på punktene

(x, \ln y)

\ln y = 0{,}238x + 4{,}617

Tilbake til eksponentiell form:

a = e^{4{,}617} \approx 101

b = e^{0{,}238} \approx 1{,}269

Modell:

y = 101 \cdot 1{,}269^x

Tolkning: Startantallet er ca. 100 bakterier, og antallet øker med ca. 26,9 % per time.

Kontroll: $y(3) = 101 \cdot 1{,}269^3 \approx 206$ (nær observert 210)

Svar: $y = 101 \cdot 1{,}269^x$

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Eksponentiell regresjon

Datapunkter som vokser med (omtrent) fast prosent per steg, og den eksponentielle regresjonsmodellen funnet med RegEksp. Sammenlign med RegLin på de samme punktene — hvilken modell passer best?

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

l1 = {(0, 2), (1, 3.1), (2, 4.9), (3, 7.8), (4, 12.3)}
f = RegEksp(l1)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Hvilken type sammenheng (lineær, eksponentiell, potens) passer best for befolkningsvekst over tid?

Hvilken passer for sammenhengen mellom radius og areal av en sirkel?

Hvilken passer for lydstyrke (desibel) som funksjon av avstand?

📝Oppgave 2

Verdien av en bil ( $y$ , tusen kr) som funksjon av alder ( $x$ , år):

$x$	$y$
0	350
2	270
4	210
6	160
8	125
10	95

Finn en eksponentiell modell

y = a \cdot b^x

📝Oppgave 3

Antall brukere ( $y$ , millioner) av en app over tid ( $x$ , måneder):

$x$	$y$
1	0,5
3	1,2
6	4,0
9	13
12	42

Vis at en eksponentiell modell passer bedre enn en lineær. Bruk kalkulator.

Potensregresjon

En potensmodell har formen:
$y = a \cdot x^b$

Logaritmisk transformasjon:
$\ln y = \ln a + b \cdot \ln x$

Setter vi $Y = \ln y$ og $X = \ln x$ , får vi lineær sammenheng:
$Y = bX + \ln a$

Framgangsmåte:
1. Transformer begge variablene: $(\ln x, \ln y)$
2. Utfør lineær regresjon
3. Eksponenten $b$ er stigningstallet, og $a = e^{\text{konstantledd}}$

✏️Eksempel 2: Potensregresjon

Bremselengden ( $y$ , meter) som funksjon av fart ( $x$ , km/t):

$x$	$y$
30	6
50	16
70	32
90	53
110	79

Finn en potensmodell

y = a \cdot x^b

Løsning:

Transformer til $\ln$ -verdier:

$\ln x$	$\ln y$
3,401	1,792
3,912	2,773
4,248	3,466
4,500	3,970
4,700	4,369

Lineær regresjon på

(\ln x, \ln y)

\ln y = 1{,}99 \cdot \ln x - 4{,}99

b = 1{,}99 \approx 2

a = e^{-4{,}99} \approx 0{,}0068

Modell:

y \approx 0{,}0068 \cdot x^2

Tolkning: Bremselengden er tilnærmet proporsjonal med kvadratet av farten. Dobles farten, firedobles bremselengden.
Svar:

y \approx 0{,}0068 \cdot x^2

📝Oppgave 4

Perioden ( $y$ , sekunder) til en pendel som funksjon av lengden ( $l$ , meter):

$l$	$y$
0,25	1,00
0,50	1,41
1,00	2,00
1,50	2,45
2,00	2,83

Finn en potensmodell og sammenlign med den teoretiske formelen

\displaystyle T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Hvordan kan du visuelt avgjøre om en eksponentiell eller en potensmodell passer best?

Hva er forskjellen mellom eksponentiell og potensvekst for store $x$ -verdier?

📝Oppgave 6

Kroppsoverflaten ( $y$ , m²) som funksjon av kroppsvekten ( $x$ , kg):

$x$	$y$
40	1,25
50	1,42
60	1,56
70	1,68
80	1,80
90	1,90
100	2,00

Bruk kalkulator til å finne den beste modellen blant lineær, eksponentiell og potens. Sammenlign

R^2

-verdiene.

Velge beste modell

Når du har flere kandidatmodeller, bør du bruke flere kriterier for å velge den beste:

1. $R^2$ -verdien: Høyere er bedre, men vær forsiktig med overtilpasning.

2. Residualplott: Den beste modellen har residualer uten systematisk mønster.

3. Faglig rimelighet: Velg en modell som gir mening i konteksten.

4. Prediksjon: Sjekk at modellen gir rimelige verdier, spesielt utenfor dataområdet.

I GeoGebra kan du bruke følgende kommandoer for regresjonsanalyse:

- RegLin(liste) — Lineær regresjon
- RegEksp(liste) — Eksponentiell regresjon
- RegPot(liste) — Potensregresjon
- RegLog(liste) — Logaritmisk regresjon
- RegPoly(liste, grad) — Polynomregresjon

I regneark (Excel/Google Sheets):
- Legg inn data og lag et spredningsplott
- Høyreklikk på dataserien → Legg til trendlinje
- Velg type (lineær, eksponentiell, polynom, potens)
- Kryss av for «Vis likning» og «Vis $R^2$ -verdi»

📝Oppgave 7

BNP per innbygger ( $x$ , tusen dollar) og forventet levealder ( $y$ , år) for 7 land:

$x$	$y$
2	55
5	63
10	70
20	75
30	78
40	80
60	82

Finn lineær og logaritmisk modell (

y = a + b \cdot \ln x

), og avgjør hvilken som passer best.

📝Oppgave 8

Norges befolkning (i millioner):

År	Innbyggere
1900	2,24
1925	2,81
1950	3,28
1975	4,01
2000	4,49
2024	5,50

x

= år etter 1900. Finn lineær og eksponentiell modell. Hvilken foretrekker du, og hvorfor?

📝Oppgave 9

Følgende data viser mengden av et radioaktivt stoff ( $y$ , mg) etter $x$ timer:

$x$	$y$
0	100
5	71
10	50
15	35
20	25
25	18

Finn en eksponentiell modell og bestem halveringstiden.

📝Oppgave 10

Et datasett gir følgende $R^2$ -verdier for ulike modeller:

- Lineær: $R^2 = 0{,}72$
- Eksponentiell: $R^2 = 0{,}68$
- Potens: $R^2 = 0{,}91$
- Andregradspolynom: $R^2 = 0{,}95$

Hvilken modell velger du? Diskuter fordeler og ulemper med å velge modellen med høyest $R^2$ .

📝Oppgave 11

Energiforbruket ( $y$ , kWh) i en bygning som funksjon av utetemperatur ( $x$ , °C):

$x$	$y$
$-10$	450
$-5$	380
0	300
5	230
10	170
15	120
20	90

Bruk digitale verktøy til å finne den beste modellen blant lineær, eksponentiell og potens. Tolk modellen.

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

Forklar hvorfor logaritmisk transformasjon gjør en eksponentiell kurve til en rett linje.

Forklar tilsvarende for potensmodellen $y = a \cdot x^b$ .

Hva er fordelen med å bruke digitale verktøy fremfor manuell beregning for ikke-lineær regresjon?

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Eksponentiell regresjon: $y = a \cdot b^x$ — passer når dataene endres med fast prosent per enhet. Logaritmisk transformasjon ( $\ln y$ mot $x$ ) gir en rett linje.
- Potensregresjon: $y = a \cdot x^k$ — rett linje når både $\ln y$ og $\ln x$ brukes. Tierlogaritmen $\lg$ kan brukes på samme måte (se R4).
- Modellvalg: Sammenlign $R^2$ , men se også på residualplott og om modellformen gir mening i konteksten.
- Digitale verktøy (GeoGebra, regneark) gjør regresjonen — din jobb er å velge og vurdere modellen.

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Eksponentiell modell	$y = a \cdot b^x$ — fast prosentvis endring
Potensmodell	$y = a \cdot x^k$
Logaritmisk transformasjon	Gjør kurven lineær
Modellvalg	$R^2$ + residualer + kontekst

Viktige formler

y = a \cdot b^x \Rightarrow \ln y = \ln a + x\ln b

y = a \cdot x^k \Rightarrow \ln y = \ln a + k\ln x

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.