7.3 Ikke-lineær regresjon

Bakteriene som nekter å følge linjen

På laboratoriet teller en bioingeniør bakterier hver tredje time, og tallene vokser: 100, 210, 420, 870, 1750. Hun prøver lineær regresjon, men linjen passer elendig — punktene krummer oppover som en hockeykølle. Problemet er ikke metoden, men modellen: ikke alle sammenhenger er lineære.

Tre familier av ikke-lineære mønstre går igjen i natur og samfunn. Eksponentiell vekst — bakterier, rentes rente, smittespredning — der noe vokser med fast prosent. Potenssammenhenger — bremselengde mot fart, areal mot sidelengde — der dobling av $x$ ganger $y$ med en fast faktor. Og logaritmisk vekst — desibelskalaen, Richterskalaen — der veksten flater ut. Viser spredningsplottet eller residualplottet at linjen ikke strekker til, prøver vi en av disse.

Den eksponentielle modellen skrives $y = a \cdot b^x$ (eller $y = a \cdot e^{kx}$), der $a > 0$ er startverdien og $b$ vekstfaktoren. Kjennetegnet i plottet er en J-formet kurve som stiger stadig raskere (for $b > 1$) eller en fallende kurve som flater ut (for $0 < b < 1$).

Men hvordan tilpasser vi en slik kurve? Trikset er like genialt som det er enkelt: ta logaritmen. Av $y = a \cdot b^x$ følger

$$\ln y = \ln a + x \cdot \ln b$$

Setter vi $Y = \ln y$, er dette en rett linje i $x$ — med stigningstall $\ln b$ og konstantledd $\ln a$. Den krumme kurven blir lineær i forkledning, og hele verktøykassen fra 7.1 kan gjenbrukes. Logaritmen fra kapittel 2.4 viser seg dermed å være regresjonsanalysens hemmelige våpen.

Eksponentiell og potensregresjon i praksis

Tilbake til bakteriene. Målingene ved $x = 0, 3, 6, 9, 12$ timer transformeres: $\ln y$ blir 4,605; 5,347; 6,040; 6,768; 7,467 — og disse ligger pent på linje! Lineær regresjon på $(x, \ln y)$ gir

$$\ln y = 0{,}237x + 4{,}610$$

Tilbaketransformasjonen henter ut modellen: $a = e^{4{,}610} \approx 100$ og $b = e^{0{,}237} \approx 1{,}267$, altså

$$y = 100 \cdot 1{,}267^x$$

Tolkning: startbestanden er cirka 100 bakterier, og antallet vokser cirka 26,7 % per time. Kontroll: $y(3) = 100 \cdot 1{,}267^3 \approx 203$, nær det observerte 210.

Potensmodellen $y = a \cdot x^b$ håndteres med samme triks, men nå logaritmeres begge variablene: $\ln y = \ln a + b \ln x$, en rett linje i $(\ln x, \ln y)$ med eksponenten $b$ som stigningstall. Et trafikkeksempel: bremselengder ved ulike farter gir regresjonen $\ln y = 1{,}97 \ln x - 4{,}92$, altså $b \approx 2$ og $a = e^{-4{,}92} \approx 0{,}0073$:

$$y \approx 0{,}0073 \cdot x^2$$

Bremselengden er tilnærmet proporsjonal med kvadratet av farten — dobler du farten, firedobles bremselengden. Det er fysikkpensum gjenoppdaget i et datasett.

Når flere modeller konkurrerer, brukes fire kriterier: $R^2$ (høyere er bedre, men pass på overtilpasning), residualplottet (den beste modellen har mønsterfrie residualer), faglig rimelighet (gir modellformen mening i konteksten?) og prediksjonskontroll (gir modellen fornuftige verdier, også litt utenfor dataområdet?). I GeoGebra gjør kommandoene RegLin, RegExp, RegPot, RegLog og RegPoly jobben, og i Excel/Google Sheets velger du trendlinje med «Vis likning» og «Vis $R^2$» — men modellvalget er og blir ditt ansvar.

Oppsummering: logaritmen som retter ut kurvene

Bakteriene som nektet å følge linjen, føyde seg så snart aksene ble transformert. Kapittelets store idé er linearisering: den eksponentielle modellen $y = a \cdot b^x$ blir en rett linje når $\ln y$ plottes mot $x$ (stigningstall $\ln b$, konstantledd $\ln a$), og potensmodellen $y = a \cdot x^b$ blir lineær når både $\ln y$ og $\ln x$ brukes (stigningstallet er selve eksponenten $b$). Dermed gjenbrukes hele verktøykassen fra lineær regresjon på krumme sammenhenger.

Tolkningene er konkrete: bakteriemodellen $y = 100 \cdot 1{,}267^x$ leste vi som startverdi 100 og 26,7 % vekst per time; bremselengdemodellen $y \approx 0{,}0073x^2$ avslørte at bremselengde vokser med kvadratet av farten. Eksponentiell modell passer ved fast prosentvis endring, potensmodell ved skalaforhold, logaritmisk modell ved vekst som flater ut.

Modellvalget hviler på fire bein: $R^2$, residualplott uten mønster, faglig rimelighet og fornuftige prediksjoner. Digitale verktøy — GeoGebras RegExp og RegPot, regnearkets trendlinjer — gjør regnearbeidet, men valget og tolkningen er ditt. Og nettopp residualene, som her kun var ett av kriteriene, får hele rampelyset i neste kapittel: de ser det $R^2$ ikke ser.