6.1 Diskrete sannsynlighetsfordelinger | Matematikk S1

Forventningsverdi og standardavvik for diskrete fordelinger.

55 min

21 oppgaver

SannsynlighetsfordelingForventningsverdiVariansStandardavvik

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 21 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

6.2Binomisk fordeling 6.5Hypergeometrisk fordeling

Stokastiske variablar

Når vi kastar ein terning, trekkjer eit kort eller måler noko tilfeldig, kan vi skildre utfallet med ein stokastisk variabel. Ein stokastisk variabel er ein variabel som kan ta ulike verdiar, der kvar verdi har eit bestemt sannsyn.

Vi bruker store bokstavar (som $X$ , $Y$ , $Z$ ) for stokastiske variablar og små bokstavar ( $x$ , $y$ , $z$ ) for dei konkrete verdiane dei kan ta.

Eksempel:
- $X$ = tal auge ved kast av éin terning. Moglege verdiar: $1, 2, 3, 4, 5, 6$
- $Y$ = tal kron ved tre myntkast. Moglege verdiar: $0, 1, 2, 3$
- $Z$ = tal rette svar på ei prøve med 10 spørsmål

Stokastisk variabel

X

Sannsynsfordeling

Ei sannsynsfordeling viser alle verdiane ein stokastisk variabel kan ta, saman med sannsynet for kvar verdi.

For ein diskret stokastisk variabel $X$ som kan ta verdiane $x_1, x_2, \ldots, x_n$ , set vi opp ein tabell:

$x$	$x_1$	$x_2$	$\cdots$	$x_n$
$P(X = x)$	$p_1$	$p_2$	$\cdots$	$p_n$

Krav til sannsynsfordeling:
1.

0 \leq P(X = x_i) \leq 1

for alle

i

2. $\sum_{i=1}^{n} P(X = x_i) = 1$ (summen av alle sannsyna er 1)

✏️Eksempel 1: Sannsynsfordeling for to terningar

La $X$ vere summen av auga ved kast av to terningar. Sett opp sannsynsfordelinga til $X$ .

Løysing:

$X$ kan ta verdiane $2, 3, 4, \ldots, 12$ .

Vi tel talet på gunstige utfall for kvar sum (totalt $6 \times 6 = 36$ utfall):

$x$	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Tal	1	2	3	4	5	6	5	4	3	2	1
$P(X=x)$	$\displaystyle \frac{1}{36}$	$\displaystyle \frac{2}{36}$	$\displaystyle \frac{3}{36}$	$\displaystyle \frac{4}{36}$	$\displaystyle \frac{5}{36}$	$\displaystyle \frac{6}{36}$	$\displaystyle \frac{5}{36}$	$\displaystyle \frac{4}{36}$	$\displaystyle \frac{3}{36}$	$\displaystyle \frac{2}{36}$	$\displaystyle \frac{1}{36}$

Kontroll:

\displaystyle \frac{1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1}{36} = \frac{36}{36} = 1

✓

Forventningsverdi

Forventningsverdien (eller forventa verdi) til ein stokastisk variabel $X$ er det vekta gjennomsnittet av verdiane, der kvar verdi blir vekta med sannsynet sitt. Forventningsverdien angir kva vi «forventar» å få i gjennomsnitt over mange forsøk.

Forventningsverdi

X

✏️Eksempel 2: Forventningsverdi

Ein stokastisk variabel $X$ har følgjande sannsynsfordeling:

$x$	1	2	3	4
$P(X=x)$	0,1	0,3	0,4	0,2

Finn forventningsverdien

E(X)

Løysing:

$E(X) = 1 \cdot 0{,}1 + 2 \cdot 0{,}3 + 3 \cdot 0{,}4 + 4 \cdot 0{,}2$
$= 0{,}1 + 0{,}6 + 1{,}2 + 0{,}8 = 2{,}7$

Forventningsverdien er $E(X) = 2{,}7$ .

Tolking: Over mange forsøk vil gjennomsnittsverdien nærme seg $2{,}7$ .

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

Ein stokastisk variabel $X$ har verdiane $0, 1, 2$ med $P(X=0) = 0{,}2$ , $P(X=1) = 0{,}5$ og $P(X=2) = 0{,}3$ . Finn $E(X)$ .

Kontroller at summen av sannsyna er 1.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Ved kast av ein rettferdig terning, la $X$ vere talet på auge. Finn $E(X)$ .

📝Oppgave 3

Eit lotteri har 100 lodd. Hovudgevinsten er 500 kr (1 lodd), det er 4 gevinstar på 100 kr og 10 gevinstar på 50 kr. Resten er nitelodd. Kvart lodd kostar 20 kr. La $X$ vere gevinsten. Finn forventningsverdien $E(X)$ og avgjer om lotteriet er «lønnsamt» for spelaren.

📝Oppgave 4

La $X$ vere talet på kron ved tre myntkast med ein rettferdig mynt. Sett opp sannsynsfordelinga til $X$ og finn $E(X)$ .

Varians og standardavvik

Forventningsverdien fortel oss kvar «senteret» av fordelinga ligg. Men vi treng òg eit mål på kor mykje verdiane spreier seg rundt forventningsverdien.

Variansen måler gjennomsnittleg kvadratisk avstand frå forventningsverdien. Standardavviket er kvadratrota av variansen og har same eining som $X$ .

Varians og standardavvik

X

✏️Eksempel 3: Utrekning av varians og standardavvik

Bruk sannsynsfordelinga frå eksempel 2:

$x$	1	2	3	4
$P(X=x)$	0,1	0,3	0,4	0,2

Vi fann

E(X) = 2{,}7

. Finn

\text{Var}(X)

\sigma

Løysing med alternativ formel:

Steg 1: Finn $E(X^2)$ :
$E(X^2) = 1^2 \cdot 0{,}1 + 2^2 \cdot 0{,}3 + 3^2 \cdot 0{,}4 + 4^2 \cdot 0{,}2$
$= 0{,}1 + 1{,}2 + 3{,}6 + 3{,}2 = 8{,}1$

Steg 2: Rekn ut variansen:
$\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 8{,}1 - 2{,}7^2 = 8{,}1 - 7{,}29 = 0{,}81$

Steg 3: Rekn ut standardavviket:
$\sigma = \sqrt{0{,}81} = 0{,}9$

Standardavviket er $\sigma = 0{,}9$ .

Standardavviket fortel oss kor mykje verdiane til

X

typisk avvik frå forventningsverdien.

- Lite standardavvik → verdiane ligg tett rundt $\mu$
- Stort standardavvik → verdiane er spreidde langt frå $\mu$

Standardavviket har same eining som den stokastiske variabelen, noko som gjer det lettare å tolke enn variansen.

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

Finn $\text{Var}(X)$ og $\sigma$ for ein rettferdig terning ( $X$ = tal auge).

Kva tyder dette standardavviket i praksis?

📝Oppgave 6

Ein stokastisk variabel $X$ har fordelinga:

$x$	0	1	2	3
$P(X=x)$	0,1	0,2	$k$	0,3

Finn verdien av

k

, og rekn ut

E(X)

\text{Var}(X)

\sigma

📝Oppgave 7

Ei bedrift har følgjande fordeling av talet på feil ( $X$ ) per produksjonsserie:

$x$	0	1	2	3	4
$P(X=x)$	0,40	0,30	0,15	0,10	0,05

Finn forventa tal feil og standardavviket.

Uniform fordeling

Ei særleg enkel sannsynsfordeling er den uniforme fordelinga, der alle verdiar har likt sannsyn.

Diskret uniform fordeling

X

📝Oppgave 8

X

er uniformt fordelt over

\{1, 2, 3, 4, 5\}

. Finn

E(X)

\text{Var}(X)

📝Oppgave 9

Løys oppgåvene:

La $X$ ha fordelinga $P(X = -1) = 0{,}25$ , $P(X = 0) = 0{,}50$ , $P(X = 1) = 0{,}25$ . Finn $E(X)$ .

Finn $\text{Var}(X)$ og $\sigma$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

I eit spel kostar det 10 kr å delta. Du kastar to myntar. Får du to kron, vinn du 30 kr. Får du éin kron, vinn du 10 kr. Får du null kron, vinn du ingenting. La $X$ vere nettogevinsten. Finn $E(X)$ og avgjer om spelet er rettferdig.

📝Oppgave 11

Vis at $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ ved å starte med definisjonen $\text{Var}(X) = E[(X - \mu)^2]$ .

📝Oppgave 12

Løys oppgåvene:

Ei forsikring kostar 2000 kr per år. Sannsynet for skade er 5 %, og forsikringa dekkjer 50 000 kr ved skade. La $X$ vere fortenesta til forsikringsselskapet per kunde. Finn $E(X)$ .

Kva bør premien minst vere for at selskapet ikkje skal tape pengar i gjennomsnitt?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 13

Samanlikn to investeringar:

Investering A: $P(X_A = 100) = 0{,}5$ , $P(X_A = 200) = 0{,}5$

Investering B: $P(X_B = 0) = 0{,}5$ , $P(X_B = 300) = 0{,}5$

Finn $E(X)$ , $\text{Var}(X)$ og $\sigma$ for begge og diskuter kva for ei som er best.

📝Oppgave 14

Løys oppgåvene:

Vis at dersom $Y = aX + b$ , så er $E(Y) = aE(X) + b$ .

Vis at $\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$ .

📝Oppgave 15

Ein skule har ein test med 5 flervalsspørsmål, kvart med 4 alternativ (eitt rett). Ein elev gjettar tilfeldig på alle. La $X$ = tal rette. Sett opp sannsynsfordelinga (bruk binomisk modell), og finn $E(X)$ og $\sigma$ .

📝Oppgave 16

Ein butikk registrerer talet på kundar per time ( $X$ ):

$x$	0	1	2	3	4	5
$P(X=x)$	0,05	0,10	0,25	0,30	0,20	0,10

Butikken treng minst 3 kundar per time for å dekkje driftskostnadene. Finn sannsynet for at dette blir oppfylt, og finn

E(X)

\sigma

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Stokastisk variabel: Ein talverdi bestemt av tilfeldigheit, med sannsynsfordeling der $\sum p_i = 1$ .
- Forventningsverdi: $E(X) = \sum x_i p_i$ — tyngdepunktet i fordelinga.
- Varians og standardavvik: $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ , $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$ — måler spreiinga.
- Uniform fordeling: Alle utfall like sannsynlege, som ved terningkast.

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Sannsynsfordeling	Oversikt over verdiar og sannsyn
Forventningsverdi	Langsiktig gjennomsnitt
Standardavvik	Typisk avstand frå forventningsverdien
Uniform fordeling	Alle utfall like sannsynlege

Viktige formlar

\sum p_i = 1

E(X) = \sum x_i p_i

\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.