5.1 Kombinatorikk | Matematikk S1

Systematisk telling med permutasjoner og kombinasjoner.

55 min

17 oppgaver

MultiplikasjonsprinsippetPermutasjonKombinasjonFakultet

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

5.2Betinget sannsynlighet 6.2Binomisk fordeling 5.5Stokastiske variabler og forventningsverdi

Kva er kombinatorikk?

Kombinatorikk handlar om systematisk teljing. Vi skal lære metodar for å telje talet på moglege utfall utan å liste opp alle saman.

Eksempel: Kor mange forskjellige PIN-kodar med 4 siffer finst det? Å liste opp alle er upraktisk, men med kombinatorikk kan vi rekne ut dette raskt.

I dette kapittelet skal vi sjå på:
- Multiplikasjonsprinsippet
- Permutasjonar (ordna utval)
- Kombinasjonar (uordna utval)

Multiplikasjonsprinsippet

Multiplikasjonsprinsippet er grunnlaget for all kombinatorikk:

> Dersom ein prosess kan gjennomførast i $k$ trinn, der trinn 1 kan gjerast på $n_1$ måtar, trinn 2 kan gjerast på $n_2$ måtar (uavhengig av trinn 1), osv., så er det totale talet på måtar å gjennomføre heile prosessen:
> $n_1 \cdot n_2 \cdot n_3 \cdot \ldots \cdot n_k$

Multiplikasjonsprinsippet

k

✏️Eksempel 1: Antrekk

Ein person har 4 forskjellige skjorter og 3 forskjellige bukser. Kor mange forskjellige antrekk kan personen velje?

Løysing:

Vi bruker multiplikasjonsprinsippet:

- Val av skjorte: 4 moglegheiter
- Val av bukse: 3 moglegheiter

Totalt tal på antrekk = $4 \cdot 3 = 12$

Trediagram:

Skjorte 1 ─┬─ Bukse 1 → Antrekk 1
           ├─ Bukse 2 → Antrekk 2
           └─ Bukse 3 → Antrekk 3

Skjorte 2 ─┬─ Bukse 1 → Antrekk 4
           ├─ Bukse 2 → Antrekk 5
           └─ Bukse 3 → Antrekk 6

Skjorte 3 ─┬─ Bukse 1 → Antrekk 7
           ├─ Bukse 2 → Antrekk 8
           └─ Bukse 3 → Antrekk 9

Skjorte 4 ─┬─ Bukse 1 → Antrekk 10
           ├─ Bukse 2 → Antrekk 11
           └─ Bukse 3 → Antrekk 12

Svaret er 12 antrekk.

✏️Eksempel 2: PIN-kodar

Kor mange forskjellige 4-sifra PIN-kodar finst det?

Løysing:

Ein PIN-kode består av 4 siffer, der kvart siffer kan vere frå 0 til 9.

For kvart siffer har vi 10 moglegheiter (0, 1, 2, ..., 9).

Multiplikasjonsprinsippet gjev:

$10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^4 = 10\,000$

Det finst 10 000 forskjellige PIN-kodar.

📝Oppgave 5.1.1

Ein matstad tilbyr 3 forrettar, 5 hovudrettar og 4 dessertar. Kor mange forskjellige treretters menyar kan ein setje saman?

📝Oppgave 5.1.2

Eit passord skal bestå av 3 bokstavar (frå A til Z) etterfølgt av 2 siffer (frå 0 til 9). Kor mange forskjellige passord kan lagast?

Fakultet

Når vi skal ordne $n$ objekt i rekkjefølgje, bruker vi fakultet.

Fakultet

n

✏️Eksempel 3: Rekkjefølgje av personar

På kor mange måtar kan 5 personar stille seg i kø?

Løysing:

Vi skal ordne 5 personar i rekkjefølgje.

- Første plass: 5 moglegheiter
- Andre plass: 4 moglegheiter (ein person er brukt)
- Tredje plass: 3 moglegheiter
- Fjerde plass: 2 moglegheiter
- Femte plass: 1 moglegheit

Totalt: $5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$

Det er 120 måtar å stille 5 personar i kø.

📝Oppgave 5.1.3

Rekn ut følgjande:

6!

\displaystyle \frac{8!}{6!}

\displaystyle \frac{10!}{8! \cdot 2!}

Løs oppgaven Tren

Permutasjonar

Ein permutasjon er eit ordna utval der rekkjefølgja har noko å seie.

Permutasjonar

r

✏️Eksempel 4: Pallplassar

I eit lokalt løp deltek 8 personar. På kor mange måtar kan gull, sølv og bronse fordelast?

Løysing:

Vi skal velje 3 personar frå 8, der rekkjefølgja har noko å seie (gull ≠ sølv ≠ bronse).

$P(8,3) = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$

Alternativt:
- Gull: 8 moglegheiter
- Sølv: 7 moglegheiter
- Bronse: 6 moglegheiter

Totalt: $8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$

Det er 336 måtar å fordele pallplassane.

📝Oppgave 5.1.4

Ein klubb med 12 medlemmer skal velje president, visepresident og sekretær. På kor mange måtar kan dette gjerast?

📝Oppgave 5.1.5

Eit bibliotek har 7 forskjellige bøker som skal plasserast på ei hylle. På kor mange måtar kan bøkene ordnast?

Kombinasjonar

Ein kombinasjon er eit uordna utval der rekkjefølgja ikkje har noko å seie.

Kombinasjonar

r

✏️Eksempel 5: Lottotrekning

I ei forenkla lottotrekning skal 6 tal trekkjast frå tala 1 til 34. Kor mange forskjellige kombinasjonar finst?

Løysing:

Her er rekkjefølgja uviktig - det spelar inga rolle om 7 blir trekt før eller etter 23.

$C(34,6) = \binom{34}{6} = \frac{34!}{6!(34-6)!} = \frac{34!}{6! \cdot 28!}$

Vi reknar:
$= \frac{34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

$= \frac{34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29}{720}$

$= \frac{968\,330\,880}{720} = 1\,344\,904$

Det finst 1 344 904 forskjellige kombinasjonar.

✏️Eksempel 6: Komiteval

Frå ei gruppe på 10 studentar skal det veljast ein komité på 4 personar. På kor mange måtar kan komiteen veljast?

Løysing:

Her har rekkjefølgja inga betydning - alle komitémedlemmer er likeverdige.

$C(10,4) = \binom{10}{4} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{5040}{24} = 210$

Det er 210 måtar å velje komiteen.

📝Oppgave 5.1.6

Rekn ut følgjande:

\binom{7}{3}

\binom{8}{2}

\binom{6}{6}

\binom{5}{0}

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5.1.7

Ein handballklubb har 15 spelarar. Trenaren skal velje ut 7 spelarar til ein kamp. På kor mange måtar kan laget veljast?

Når bruker vi kva?

Situasjon	Formel	Eksempel
Rekkjefølgja tel	$\displaystyle P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$	Pallplassar, PIN-kodar
Rekkjefølgja tel ikkje	$\displaystyle C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$	Lotteri, velje lag

Hugseregel:
- Permutasjon: "Posisjon matters" (P)
- Kombinasjon: "Collection only" (C)

📝Oppgave 5.1.8

Avgjer om det er permutasjon eller kombinasjon, og rekn ut talet:

Velje 3 representantar frå ei gruppe på 10 personar

Dele ut første-, andre- og tredjepremie til 3 av 10 deltakarar

Velje 2 kort frå ein kortstokk med 52 kort

Løs oppgaven Tren

Kombinatorikk og sannsyn

Kombinatorikk er grunnlaget for å rekne ut sannsyn i situasjonar med like sannsynlege utfall:

$P(A) = \frac{\text{Tal på gunstige utfall}}{\text{Tal på moglege utfall}}$

Ved å bruke kombinatorikk kan vi telje både teljar og nemnar systematisk.

Ein standard kortstokk har 52 kort fordelte på 4 fargar:

Farge	Symbol	Farge på kortet
Hjarter	♥	Raud
Ruter	♦	Raud
Spar	♠	Svart
Kløver	♣	Svart

Kvar farge har 13 kort: Ess (1), 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Knekt, Dame, Konge.
Nyttige tal:
- Totalt: 52 kort
- Kvar farge: 13 kort
- Raude kort: 26 (hjarter + ruter)

- Svarte kort: 26 (spar + kløver)

- Ess: 4 (eitt i kvar farge)
- Biletkort (knekt, dame, konge): 12 (3 per farge)

✏️Eksempel 7: Pokerhender

Frå ein kortstokk med 52 kort blir det trekt 5 kort tilfeldig. Kva er sannsynet for å få nøyaktig 3 ess?

Løysing:

Tal på moglege utfall:
Vi vel 5 kort frå 52:
$\binom{52}{5} = \frac{52!}{5! \cdot 47!} = 2\,598\,960$

Tal på gunstige utfall:
- Velje 3 ess frå 4: $\binom{4}{3} = 4$
- Velje 2 andre kort frå dei 48 gjenverande: $\displaystyle \binom{48}{2} = \frac{48 \cdot 47}{2} = 1\,128$

Tal på gunstige = $4 \cdot 1\,128 = 4\,512$

Sannsyn:
$P(3 \text{ ess}) = \frac{4\,512}{2\,598\,960} \approx 0{,}00174 \approx 0{,}17\%$

Sannsynet for nøyaktig 3 ess er ca. 0,17%.

📝Oppgave 5.1.9

Ein klasse har 12 jenter og 8 gutar. Det skal trekkjast ei gruppe på 5 elevar tilfeldig. Kva er sannsynet for at gruppa består av nøyaktig 3 jenter og 2 gutar?

📝Oppgave 5.1.10

Ei veske inneheld 6 raude og 4 blå kuler. Det blir trekt 3 kuler tilfeldig utan tilbakelegging. Finn sannsynet for at:

Alle tre kulene er raude

Nøyaktig 2 kuler er raude

Minst 1 kule er blå

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5.1.11

Eit sjukehus har 5 legar og 8 sjukepleiarar. Det skal dannast eit team på 4 personar som må innehalde minst 1 lege. På kor mange måtar kan teamet setjast saman?

📝Oppgave 5.1.12

I Lotto blir 7 tal valde frå tala 1-34. Det blir òg trekt 3 tilleggstal. Kva er sannsynet for å få 4 rette pluss 1 tilleggstal?

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Multiplikasjonsprinsippet: Talet på kombinasjonar av uavhengige val er $n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k$ .
- Fakultet: $n! = n(n-1)\cdots 2 \cdot 1$ — talet på måtar å ordne $n$ objekt i rekkjefølgje.
- Permutasjonar (ordna utval): $nPr = \dfrac{n!}{(n-r)!}$ .
- Kombinasjonar (uordna utval): $\binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}$ .
- Kombinatorikk i sannsyn: $P = \dfrac{\text{tal på gunstige}}{\text{tal på moglege}}$ når utfalla er like sannsynlege.

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Multiplikasjonsprinsippet	Gang talet på moglegheiter i kvart val
Fakultet	$n!$ — talet på ordningar av $n$ objekt
Permutasjon	Ordna utval utan tilbakelegging
Kombinasjon	Uordna utval utan tilbakelegging

Viktige formlar

nPr = \dfrac{n!}{(n-r)!}

\binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.