4.1 Kostnad, inntekt og overskot | Matematikk S1

Økonomiske funksjonar — kostnad, inntekt og overskot som grunnlag for økonomisk optimering.

55 min

17 oppgaver

KostnadsfunksjonInntektsfunksjonOverskotsfunksjonEiningskostnad

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

4.2Grensekostnader og grenseinntekter 4.6Indeksregning 4.7Tilbud og etterspørsel

Økonomiske funksjonar

I økonomien bruker vi matematikk til å analysere kostnadene, inntektene og overskota til bedrifter. Ved å uttrykkje desse som funksjonar av produksjonsmengda $x$ , kan vi finne optimal produksjon og gjere økonomiske avgjerder basert på matematisk analyse.

Kostnadsfunksjonen

Ei bedrift har kostnader knytte til produksjonen. Desse kan delast inn i to typar:

- Faste kostnader: Kostnader som ikkje avheng av produksjonsmengda (husleige, forsikring, lønn til fast tilsette)
- Variable kostnader: Kostnader som aukar med produksjonsmengda (råvarer, straum til produksjon)

Kostnadsfunksjon

K(x)

✏️Eksempel 1: Kostnadsfunksjon

Ei bedrift produserer syklar. Kostnadene kan skildrast med funksjonen:

$K(x) = 0{,}1x^2 + 200x + 50000$

der $x$ er talet på syklar som blir produserte, og $K(x)$ er kostnadene i kroner.

a) Kva er dei faste kostnadene?
b) Kva kostar det å produsere 100 syklar?
c) Kva kostar det å auke produksjonen frå 100 til 101 syklar?

Løysing:

a) Dei faste kostnadene er konstantleddet i kostnadsfunksjonen:
$\text{Faste kostnader} = 50000 \text{ kr}$

b) Vi set inn $x = 100$ :
$K(100) = 0{,}1 \cdot 100^2 + 200 \cdot 100 + 50000$
$K(100) = 0{,}1 \cdot 10000 + 20000 + 50000$
$K(100) = 1000 + 20000 + 50000 = 71000 \text{ kr}$

c) Vi finn først $K(101)$ :
$K(101) = 0{,}1 \cdot 101^2 + 200 \cdot 101 + 50000$
$K(101) = 0{,}1 \cdot 10201 + 20200 + 50000$
$K(101) = 1020{,}1 + 20200 + 50000 = 71220{,}1 \text{ kr}$

Kostnaden ved å auke produksjonen frå 100 til 101 syklar:
$K(101) - K(100) = 71220{,}1 - 71000 = 220{,}1 \text{ kr}$

Svar: a) 50 000 kr b) 71 000 kr c) 220,10 kr

📝Oppgave 1

Ei møbelbedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}05x^2 + 150x + 30000$ der $x$ er talet på stolar produserte og $K(x)$ er kostnadene i kroner.

Kva er dei faste kostnadene?

Finn kostnadene ved å produsere 200 stolar.

Finn kostnadene ved å produsere 201 stolar.

Kva kostar det å auke produksjonen frå 200 til 201 stolar?

Løs oppgaven

Inntektsfunksjonen

Når bedrifta sel varene sine, får ho inntekter. Dersom prisen per eining er konstant, blir inntektsfunksjonen lineær.

Inntektsfunksjon

I(x)

✏️Eksempel 2: Inntektsfunksjon

Sykkelbedrifta frå eksempel 1 sel syklane for 3500 kr per stykk.

a) Set opp inntektsfunksjonen $I(x)$ .
b) Kva blir inntektene ved sal av 100 syklar?
c) Kor mange syklar må seljast for å få 700 000 kr i inntekt?

Løysing:

a) Prisen er $p = 3500$ kr per sykkel. Inntektsfunksjonen blir:
$I(x) = 3500x$

b) Vi set inn $x = 100$ :
$I(100) = 3500 \cdot 100 = 350000 \text{ kr}$

c) Vi løyser likninga $I(x) = 700000$ :
$3500x = 700000$
$x = \frac{700000}{3500} = 200$

Svar: a) $I(x) = 3500x$ b) 350 000 kr c) Det må seljast 200 syklar.

📝Oppgave 2

Møbelbedrifta frå oppgåve 1 sel stolane for 800 kr per stykk.

Set opp inntektsfunksjonen $I(x)$ .

Finn inntektene ved sal av 200 stolar.

Kor mange stolar må seljast for å få 240 000 kr i inntekt?

Løs oppgaven

Overskotsfunksjonen

Overskotet er differansen mellom inntektene og kostnadene. Dette er det bedrifta sit att med etter at alle kostnader er betalte.

Overskotsfunksjon

O(x)

✏️Eksempel 3: Overskotsfunksjon

Bruk sykkelbedrifta frå eksempel 1 og 2:
- $K(x) = 0{,}1x^2 + 200x + 50000$
- $I(x) = 3500x$

a) Finn overskotsfunksjonen $O(x)$ .
b) Finn overskotet ved produksjon og sal av 100 syklar.
c) Ved kva produksjonsmengd går bedrifta i null?

Løysing:

a) Overskotsfunksjonen:
$O(x) = I(x) - K(x)$
$O(x) = 3500x - (0{,}1x^2 + 200x + 50000)$
$O(x) = 3500x - 0{,}1x^2 - 200x - 50000$
$O(x) = -0{,}1x^2 + 3300x - 50000$

b) Vi set inn $x = 100$ :
$O(100) = -0{,}1 \cdot 100^2 + 3300 \cdot 100 - 50000$
$O(100) = -1000 + 330000 - 50000 = 279000 \text{ kr}$

c) Nullpunkt: $O(x) = 0$
$-0{,}1x^2 + 3300x - 50000 = 0$

Vi gongar med $-10$ :
$x^2 - 33000x + 500000 = 0$

abc-formelen:
$x = \frac{33000 \pm \sqrt{33000^2 - 4 \cdot 500000}}{2}$
$x = \frac{33000 \pm \sqrt{1089000000 - 2000000}}{2}$
$x = \frac{33000 \pm \sqrt{1087000000}}{2}$
$x \approx \frac{33000 \pm 32\,969{,}7}{2}$

$x_1 \approx 15{,}2 \quad \text{eller} \quad x_2 \approx 32\,984{,}8$

Svar: a) $O(x) = -0{,}1x^2 + 3300x - 50\,000$ b) 279 000 kr c) Bedrifta går i null ved ca. 15 syklar og ca. 32 985 syklar.

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Kostnad, inntekt og nullpunkt for overskot

Inntekt

I(x) = 30x

(grøn) og kostnad

K(x) = 0{,}1x^2 + 5x + 100

(raud). Skjeringspunkta viser kvar bedrifta går i null — mellom dei er overskotet positivt.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

I(x) = 30x
K(x) = 0.1x^2 + 5x + 100
Skjæring(I, K)
SetColor(I, "Green")
SetColor(K, "Red")

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

📝Oppgave 3

Bruk møbelbedrifta frå oppgåve 1 og 2:
- $K(x) = 0{,}05x^2 + 150x + 30000$
- $I(x) = 800x$

Finn overskotsfunksjonen $O(x)$ .

Finn overskotet ved produksjon og sal av 200 stolar.

Finn nullpunkta til overskotsfunksjonen (avrund til nærmaste heile tal).

Løs oppgaven

Einingskostnad

Einingskostnaden fortel oss kor mykje det i gjennomsnitt kostar å produsere éi vare. Denne er viktig for prissetjing og lønsemdsvurderingar.

Einingskostnad

E(x)

✏️Eksempel 4: Einingskostnad

Sykkelbedrifta har $K(x) = 0{,}1x^2 + 200x + 50000$ .

a) Finn einingskostnaden $E(x)$ .
b) Finn einingskostnaden ved produksjon av 100 syklar.
c) Finn einingskostnaden ved produksjon av 500 syklar.
d) Kva skjer med einingskostnaden når produksjonen aukar?

Løysing:

a) Einingskostnaden:
$E(x) = \frac{K(x)}{x} = \frac{0{,}1x^2 + 200x + 50000}{x}$
$E(x) = 0{,}1x + 200 + \frac{50000}{x}$

b) For $x = 100$ :
$E(100) = 0{,}1 \cdot 100 + 200 + \frac{50000}{100}$
$E(100) = 10 + 200 + 500 = 710 \text{ kr per sykkel}$

c) For $x = 500$ :
$E(500) = 0{,}1 \cdot 500 + 200 + \frac{50000}{500}$
$E(500) = 50 + 200 + 100 = 350 \text{ kr per sykkel}$

d) Når produksjonen aukar, søkk leddet $\displaystyle \frac{50000}{x}$ (dei faste kostnadene per eining). Samstundes aukar leddet $0{,}1x$ (som representerer aukande variable kostnader per eining). For denne bedrifta søkk einingskostnaden først, men vil etter kvart auke igjen på grunn av $0{,}1x$ -leddet.

Svar: a) $\displaystyle E(x) = 0{,}1x + 200 + \frac{50\,000}{x}$ b) 710 kr per sykkel c) 350 kr per sykkel d) Einingskostnaden søkk først og aukar igjen ved stor produksjon.

📝Oppgave 4

Ei bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}02x^2 + 80x + 20000$ .

Finn einingskostnaden $E(x)$ .

Finn einingskostnaden ved produksjon av 100 einingar.

Finn einingskostnaden ved produksjon av 1000 einingar.

Løs oppgaven

Samanheng mellom funksjonane:

Funksjon	Skildrar
$K(x)$ (kostnadsfunksjon)	Totale kostnader
$I(x) = p \cdot x$	Totale inntekter
$O(x) = I(x) - K(x)$	Overskot/profitt
$\displaystyle E(x) = \frac{K(x)}{x}$	Gjennomsnittskostnad

📝Oppgave 5

Ei bedrift produserer lamper. Kostnadsfunksjonen er $K(x) = 0{,}005x^2 + 50x + 10000$ kroner, og salsprisen er 150 kr per lampe.

Set opp inntektsfunksjonen.

Set opp overskotsfunksjonen.

Finn overskotet ved produksjon og sal av 2000 lamper.

Finn einingskostnaden ved produksjon av 2000 lamper.

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Ein kafé har faste kostnader på 15 000 kr i månaden og variable kostnader på 25 kr per kopp kaffi. Dei sel kaffi for 55 kr per kopp.

Set opp kostnadsfunksjonen $K(x)$ der $x$ er talet på koppar kaffi.

Set opp inntektsfunksjonen $I(x)$ .

Set opp overskotsfunksjonen $O(x)$ .

Kor mange koppar kaffi må seljast for at kaféen skal gå i null?

Kva blir overskotet viss dei sel 1000 koppar kaffi?

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Ei teknologibedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}001x^3 - 0{,}5x^2 + 100x + 40000$ der $x$ er talet på produkt. Salsprisen er 300 kr per produkt.

Set opp overskotsfunksjonen $O(x)$ .

Finn overskotet ved produksjon og sal av 100 produkt.

Finn overskotet ved produksjon og sal av 200 produkt.

Løs oppgaven

📝Oppgave 8

Ei bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}04x^2 + 60x + 8000$ .

Finn einingskostnaden $E(x)$ .

Rekn ut einingskostnaden for $x = 50, 100, 200, 400$ .

Ved kva produksjonsmengd er einingskostnaden lågast? (Bruk derivasjon)

Løs oppgaven

📝Oppgave 9

Ei bedrift har faste kostnader på 50 000 kr og variable kostnader som kan skildrast med $V(x) = 0{,}02x^2 + 30x$ der $x$ er produksjonsmengda. Salsprisen er 100 kr per eining.

Set opp den totale kostnadsfunksjonen $K(x)$ .

Set opp overskotsfunksjonen $O(x)$ .

Finn dei to produksjonsmengdene der bedrifta går i null.

For kva produksjonsmengder går bedrifta med overskot?

Løs oppgaven

📝Oppgave 10

Eit bakeri har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}01x^2 + 20x + 5000$ og sel brød for 50 kr per stykk.

Finn overskotsfunksjonen.

Bestem ved kva produksjonsmengd overskotet er størst. (Bruk derivasjon)

Finn det maksimale overskotet.

Løs oppgaven

📝Oppgave 11

Ei bedrift produserer T-skjorter. Tabellen viser kostnader og inntekter for ulike produksjonsmengder:

$x$	$K(x)$	$I(x)$
0	10000	0
100	15000	12000
200	22000	24000
300	31000	36000
400	42000	48000

Kva er dei faste kostnadene?

Kva er salsprisen per T-skjorte?

Rekn ut overskotet for kvar produksjonsmengd i tabellen.

Mellom kva produksjonsmengder går bedrifta i null?

Løs oppgaven

📝Oppgave 12

Ei bedrift vurderer to ulike produksjonsmetodar:

Metode A: $K_A(x) = 0{,}1x^2 + 50x + 20000$
Metode B: $K_B(x) = 0{,}05x^2 + 100x + 10000$

Kva for metode har lågast faste kostnader?

Ved kva produksjonsmengd er kostnadene like for begge metodane?

Kva for metode er billigast ved produksjon av 500 einingar?

Løs oppgaven

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Kostnadsfunksjonen $K(x)$ består av faste kostnader (konstantleddet) og variable kostnader som avheng av produksjonsmengda $x$ .
- Inntektsfunksjonen $I(x) = p \cdot x$ ved fast pris $p$ per eining.
- Overskotsfunksjonen: $O(x) = I(x) - K(x)$ . Bedrifta går i null der $O(x) = 0$ .
- Einingskostnaden $E(x) = \dfrac{K(x)}{x}$ er kostnaden per produsert eining.

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Faste kostnader	Kostnader uavhengige av produksjonen
Variable kostnader	Kostnader som aukar med produksjonen
Overskot	Inntekt minus kostnad
Einingskostnad	Totalkostnad delt på tal einingar

Viktige formlar

O(x) = I(x) - K(x)

I(x) = p \cdot x

(fast pris)
-

E(x) = \dfrac{K(x)}{x}

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.