3.8 Implisitt derivasjon | Matematikk S1

Relaterte rater

Når størrelser endrer seg over tid og er relatert gjennom en likning, finner vi sammenhengen mellom endringsratene ved å derivere med hensyn på $t$ .

Fremgangsmåte:
1. Identifiser variable og kjente/ukjente rater
2. Finn en likning som relaterer størrelsene
3. Deriver begge sider med hensyn på $t$
4. Sett inn kjente verdier og løs

✏️Eksempel 1: Ekspanderende sirkel

Radiusen øker med $2$ cm/s. Hvor raskt øker arealet når $r = 5$ cm?

A = \pi r^2

. Deriver:

\displaystyle \frac{dA}{dt} = 2\pi r \cdot \frac{dr}{dt} = 2\pi(5)(2) = 20\pi \approx 62{,}8

^2

/s.

✏️Eksempel 2: Kjegleformet beholder

Vann helles i en kjegle (radius 3 m, høyde 6 m) med 2 m $^3$ /min. Hvor raskt stiger vannet når det er 4 m dypt?

\displaystyle r = \frac{h}{2}

\displaystyle V = \frac{\pi h^3}{12}

\displaystyle \frac{dV}{dt} = \frac{\pi h^2}{4}\frac{dh}{dt}

\displaystyle 2 = \frac{\pi \cdot 16}{4}\frac{dh}{dt} \Rightarrow \frac{dh}{dt} = \frac{1}{2\pi} \approx 0{,}16

m/min.

📝Oppgave 3.8.1

Sidene i et kvadrat øker med 3 cm/s. Hvor raskt øker arealet når siden er 10 cm?

📝Oppgave 3.8.2

En ballong blåses opp slik at volumet øker med 100 cm $^3$ /s.

Hvor raskt øker radiusen når $r = 10$ cm?

Hvor raskt øker overflatearealet da?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3.8.3

En 5 m stige lener mot en vegg. Bunnen glir ut med 0,5 m/s. Hvor raskt synker toppen når bunnen er 3 m fra veggen?

📝Oppgave 3.8.4

Bil A kjører nordover med 60 km/t, bil B østover med 80 km/t fra samme punkt. Hvor raskt øker avstanden etter 2 timer?

📝Oppgave 3.8.5

En lykt står 6 m over bakken. En person (1,8 m) går bort med 1,5 m/s. Hvor raskt vokser skyggen?

📝Oppgave 3.8.6

Et tau festet 4 m over vannet dras inn med 1 m/s. Hvor raskt nærmer båten seg bryggen når det er 10 m tau ute?

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Relaterte rater: Når to størrelser er bundet sammen av en likning, er også endringsfartene deres bundet sammen. Deriver likningen med hensyn på tiden $t$ .
- Fremgangsmåte: 1) Still opp sammenhengen mellom størrelsene. 2) Deriver begge sider med hensyn på $t$ (husk kjerneregelen). 3) Sett inn kjente verdier og løs for den ukjente raten.
- Typiske eksempler: Ekspanderende sirkler og ballonger, stiger som glir, beholdere som fylles.

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Rate	Endringsfart, derivert med hensyn på tid
Relaterte rater	Sammenhengen mellom flere endringsfarter
Kjerneregel i tid	$\displaystyle \frac{d}{dt}f(r) = f'(r)\frac{dr}{dt}$

Viktige formler

- Sirkel:

\displaystyle A = \pi r^2 \Rightarrow \frac{dA}{dt} = 2\pi r\frac{dr}{dt}

- Kule:

\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi r^3 \Rightarrow \frac{dV}{dt} = 4\pi r^2\frac{dr}{dt}

- Pytagoras:

\displaystyle x^2 + y^2 = c^2 \Rightarrow 2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver