3.8 Implisitt derivasjon

Når én fart bestemmer en annen

Du blåser opp en ballong i jevnt tempo -- like mye luft per sekund. Men har du lagt merke til at ballongen vokser raskt i starten og stadig saktere etter hvert? Lufttilførselen er konstant, men radiusen øker langsommere og langsommere. To endringsfarter -- volumets og radiusens -- henger sammen, men de er ikke like.

Dette er kjernen i relaterte rater: når to størrelser er bundet sammen av en likning, er også endringsfartene deres bundet sammen. Kjenner vi den ene raten, kan vi regne ut den andre. Oppskriften er å derivere sammenhengen med hensyn på tiden $t$ -- og det er her implisitt derivasjon fra forrige kapittel kommer til nytte, for både radius og volum er funksjoner av tiden.

Fremgangsmåten i fire steg: identifiser variablene og hvilke rater som er kjente og ukjente, finn en likning som relaterer størrelsene, deriver begge sider med hensyn på $t$, og sett inn kjente verdier og løs.

Sirkelen som vokser

La oss starte med et rent og pent eksempel. En sirkel vokser slik at radiusen øker med 2 cm/s. Hvor raskt øker arealet i det øyeblikket radiusen er 5 cm?

Steg 1 -- variabler og rater: Radius $r$ og areal $A$ endrer seg med tiden. Kjent: $\displaystyle \frac{dr}{dt} = 2$ cm/s. Ukjent: $\displaystyle \frac{dA}{dt}$ når $r = 5$.

Steg 2 -- sammenhengen: $A = \pi r^2$.

Steg 3 -- deriver med hensyn på $t$: Husk at $r$ er en funksjon av tiden, så kjerneregelen slår inn:

$$\frac{dA}{dt} = 2\pi r \cdot \frac{dr}{dt}$$

Steg 4 -- sett inn: Med $r = 5$ og $\displaystyle \frac{dr}{dt} = 2$ får vi

$$\frac{dA}{dt} = 2\pi \cdot 5 \cdot 2 = 20\pi \approx 62{,}8 \text{ cm}^2/\text{s}$$

Legg merke til strukturen i formelen $\displaystyle \frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$: arealets vekstfart avhenger av hvor stor sirkelen allerede er. Samme radiusvekst gir større arealvekst for en stor sirkel enn for en liten -- det er ballongeffekten i revers. For en kule gjelder tilsvarende $\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi r^3$, som derivert gir $\displaystyle \frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$. Og for to størrelser bundet av Pytagoras, $x^2 + y^2 = c^2$, gir derivasjonen $\displaystyle 2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0$ -- den klassiske «stigen som glir»-likningen.

Kjeglen som fylles -- når geometri møter rate

Nå et eksempel der vi først må rydde i geometrien. Vann helles i en kjegleformet beholder med radius 3 m øverst og høyde 6 m, med en jevn strøm på 2 m³ per minutt. Hvor raskt stiger vannstanden når vannet er 4 m dypt?

Her er det tre størrelser i sving: vannvolumet $V$, vanndybden $h$ og vannflatens radius $r$. Men $r$ og $h$ er ikke uavhengige! Vannet danner en kjegle som er formlik med beholderen, så forholdet mellom radius og høyde er konstant: $\displaystyle \frac{r}{h} = \frac{3}{6}$, altså $\displaystyle r = \frac{h}{2}$. Dette lar oss kvitte oss med $r$ før vi deriverer:

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{h}{2}\right)^2 h = \frac{\pi h^3}{12}$$

Nå deriverer vi med hensyn på tiden:

$$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi \cdot 3h^2}{12} \cdot \frac{dh}{dt} = \frac{\pi h^2}{4}\frac{dh}{dt}$$

Vi setter inn $\displaystyle \frac{dV}{dt} = 2$ og $h = 4$:

$$2 = \frac{\pi \cdot 16}{4}\frac{dh}{dt} = 4\pi \frac{dh}{dt} \quad \Rightarrow \quad \frac{dh}{dt} = \frac{1}{2\pi} \approx 0{,}16 \text{ m/min}$$

Vannet stiger altså med cirka 16 cm i minuttet i det øyeblikket. Merk at svaret avhenger av $h$: tidlig, når kjeglen er smal, stiger vannet raskt; senere, når flaten er bred, går det langsommere -- selv om tilstrømningen er nøyaktig den samme. Typiske eksempler på relaterte rater er nettopp slike: ballonger som blåses opp, beholdere som fylles, stiger som glir langs en vegg.

Oppsummering

Når to størrelser er bundet sammen av en likning, er også endringsfartene deres bundet sammen -- det er ideen bak relaterte rater. En rate er en endringsfart, altså en derivert med hensyn på tiden, og koblingen mellom ratene får vi ved å derivere sammenhengen med hensyn på $t$, med kjerneregelen i bakhånd: $\displaystyle \frac{d}{dt}f(r) = f'(r)\frac{dr}{dt}$.

Fremgangsmåten er fast: still opp sammenhengen mellom størrelsene (og bruk gjerne geometri, som formlikhet, til å redusere antall variabler først), deriver begge sider med hensyn på $t$, og sett inn kjente verdier for å løse for den ukjente raten.

Klassikerne er verdt å huske: sirkelen $A = \pi r^2$ gir $\displaystyle \frac{dA}{dt} = 2\pi r\frac{dr}{dt}$, kulen $\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi r^3$ gir $\displaystyle \frac{dV}{dt} = 4\pi r^2\frac{dr}{dt}$, og Pytagoras $x^2 + y^2 = c^2$ gir $\displaystyle 2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0$.

Ballongen som vokser saktere og kjeglen der vannet stiger langsommere -- begge forteller samme historie: konstant tilførsel betyr ikke konstant endring i alle størrelser. Det er sammenhengen mellom ratene som avgjør.