3.7 Derivasjon av sammensatte funksjoner | Matematikk S1

Implisitt derivasjon

Noen ganger er sammenhengen mellom $x$ og $y$ gitt ved en likning (f.eks. $x^2 + y^2 = 25$ ) uten at $y$ er løst ut. Vi finner $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ ved å derivere begge sider med hensyn på $x$ og bruke kjerneregelen på $y$ -leddene:

$\frac{d}{dx}[y^n] = n \cdot y^{n-1} \cdot \frac{dy}{dx}$

Fremgangsmåte:
1. Deriver begge sider med hensyn på

x

2. Hvert

y

-ledd gir en faktor

\displaystyle \frac{dy}{dx}

(kjerneregelen)
3. Samle alle

\displaystyle \frac{dy}{dx}

-ledd på en side
4. Faktoriser ut

\displaystyle \frac{dy}{dx}

og del

✏️Eksempel 1: Sirkel

Finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ for $x^2 + y^2 = 25$ .

Deriver: $\displaystyle 2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0$ . Løs: $\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ .

I $(3,4)$ : $\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{3}{4}$ .

✏️Eksempel 2: Produkt av x og y

Finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ for $xy + y^2 = 1$ .

Produktregelen på

xy

\displaystyle y + x\frac{dy}{dx} + 2y\frac{dy}{dx} = 0

$\frac{dy}{dx}(x+2y) = -y \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x+2y}$

📝Oppgave 3.7.1

Finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ ved implisitt derivasjon.

x^2 + y^2 = 16

3x + 4y = 12

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3.7.2

Finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ .

x^2y + xy^2 = 6

\sin(y) = x

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3.7.3

Finn tangentlinjen til $x^2 + xy + y^2 = 7$ i punktet $(1,2)$ .

📝Oppgave 3.7.4

Finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ for $e^{xy} = x + y$ .

📝Oppgave 3.7.5

Vis at tangenten til ellipsen $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ i $(x_0,y_0)$ er $\displaystyle \frac{x_0 x}{a^2}+\frac{y_0 y}{b^2}=1$ .

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Implisitt derivasjon: Når $y$ er gitt implisitt ved en likning, deriverer vi begge sider med hensyn på $x$ og husker at $y$ er en funksjon av $x$ : $(y^2)' = 2y \cdot y'$ .
- Fremgangsmåte: Deriver hvert ledd, samle alle ledd med $y'$ , og løs for $y'$ .
- Bruk: Finne stigningstall til tangenter på kurver som sirkler og hyperbler, der $y$ ikke enkelt kan isoleres.

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Implisitt likning	Likning som binder $x$ og $y$ sammen uten at $y$ er isolert
$y'$	Den deriverte av $y$ med hensyn på $x$
Kjerneregel på $y$	$(y^n)' = ny^{n-1}y'$

Viktige formler

(y^2)' = 2yy'

(xy)' = y + xy'

(produktregel)
- Sirkelen

x^2 + y^2 = r^2

har

y' = -\dfrac{x}{y}

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver