3.6 Kjerneregelen | Matematikk S1

Derivasjon av trigonometriske funksjoner

Vi bruker radianer ved derivasjon av trigonometriske funksjoner.

📜Derivasjonsregler

\frac{d}{dx}[\sin x] = \cos x \qquad \frac{d}{dx}[\cos x] = -\sin x \qquad \frac{d}{dx}[\tan x] = \frac{1}{\cos^2 x}

Med kjerneregelen ( $u = g(x)$ ):
$[\sin(u)]' = \cos(u) \cdot u' \qquad [\cos(u)]' = -\sin(u) \cdot u'$

✏️Eksempel 1: Kjerneregelen

Deriver $f(x) = \sin(3x)$ og $g(x) = \cos(x^2)$ .

f'(x) = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x)

$g'(x) = -\sin(x^2) \cdot 2x = -2x\sin(x^2)$

✏️Eksempel 2: Produktregel

Deriver $h(x) = x^2 \sin x$ .

h'(x) = 2x\sin x + x^2\cos x = x(2\sin x + x\cos x)

📝Oppgave 3.6.1

Deriver funksjonene.

f(x) = \sin(5x)

g(x) = \cos(2x+1)

h(x) = 3\tan(x)

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3.6.2

Deriver funksjonene.

f(x) = x\cos x

g(x) = \sin^2(x)

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3.6.3

Finn tangentlinjen.

Til $f(x) = \sin x$ i $\displaystyle x = \frac{\pi}{3}$ .

Til $g(x) = \cos(2x)$ i $x = 0$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3.6.4

Deriver $f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$ og finn $f'(\pi)$ .

📝Oppgave 3.6.5

Finn stasjonære punkter til $f(x)=2\sin x+\cos(2x)$ for $x \in [0,2\pi]$ .

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Grunnreglene: $(\sin x)' = \cos x$ og $(\cos x)' = -\sin x$ (med $x$ i radianer).
- Kjerneregelen: $(\sin u)' = u' \cos u$ og $(\cos u)' = -u' \sin u$ .
- Produktregelen brukes på uttrykk som $x \sin x$ .
- Tolkning: Den deriverte av en svingning gir endringsfarten — f.eks. hvor raskt temperaturen endrer seg.

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
$(\sin x)'$	$\cos x$
$(\cos x)'$	$-\sin x$
Kjerneregel	Gang med den deriverte av argumentet

Viktige formler

(\sin(kx))' = k\cos(kx)

(\cos(kx))' = -k\sin(kx)

(A\sin(B(x - C)) + D)' = AB\cos(B(x - C))

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver