3.5 Anvendelser av derivasjon | Matematikk S1

Ekstremalpunkter, monotoniegenskaper og optimering.

60 min

17 oppgaver

EkstremalpunktMonotoniOptimeringVendepunkt

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.3Derivasjonsregler

Brukes videre i

4.2Grensekostnader og grenseinntekter

Optimaliseringsproblemer

Mange praktiske problemer handler om å finne den beste løsningen:
- Maksimere fortjeneste eller areal
- Minimere kostnader eller materialbruk
- Finne den mest effektive løsningen

Derivasjon gir oss et kraftig verktøy for å løse slike problemer.

Fremgangsmåte

1. Les problemet og identifiser hva som skal optimaliseres (mål-funksjonen)
2. Definer variabler og sett opp en funksjon for målet
3. Finn eventuelle betingelser som begrenser variablene
4. Uttrykk målfunksjonen med én variabel ved å bruke betingelsene
5. Derivér og finn stasjonære punkter
6. Avgjør om det er maksimum eller minimum (bruk fortegnslinje, den dobbeltderiverte eller endepunktene)
7. Svar på spørsmålet i oppgaven

✏️Maksimalt areal

Du har 40 meter gjerde og skal lage en rektangulær innhegning mot en vegg (veggen er den ene siden). Hvilke dimensjoner gir størst areal?

Variabler: La

x

være lengden av hver av de to sidene ut fra veggen og

y

siden parallell med veggen.

Betingelse: Gjerdelengden er $2x + y = 40$ (tre sider)
Dermed: $y = 40 - 2x$

Målfunksjon: Arealet $A(x) = x \cdot y = x(40 - 2x) = 40x - 2x^2$ , der $0 < x < 20$

Derivasjon: $A'(x) = 40 - 4x = 0$ gir $x = 10$

Sjekk: $A''(x) = -4 < 0$ , så dette er et maksimum.

$y = 40 - 2 \cdot 10 = 20$ og $A(10) = 10 \cdot 20 = 200$

Svar: Sidene ut fra veggen skal være 10 m og siden langs veggen 20 m. Største areal er 200 m².

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Maksimering av areal

Arealfunksjonen

A(x) = x(12 - 2x)

for en innhegning med 12 meter gjerde. Toppunktet viser hvilken verdi av

x

som gir størst areal. Endre gjerdelengden og se hvordan løsningen endrer seg.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = x (12 - 2x)
E = Ekstremalpunkt(f, 0, 6)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

✏️Minst materialbruk

En boks uten lokk skal ha volum 32 dm³. Bunnen er kvadratisk. Hvilke dimensjoner gir minst materialbruk?

Variabler: La

x

være sidelengden i bunnen og

h

være høyden.

Betingelse: Volum $V = x^2 \cdot h = 32$ , så $\displaystyle h = \frac{32}{x^2}$

Målfunksjon: Overflate $\displaystyle S = x^2 + 4xh = x^2 + 4x \cdot \frac{32}{x^2} = x^2 + \frac{128}{x}$

Derivasjon: $\displaystyle S'(x) = 2x - \frac{128}{x^2} = 0$
$2x^3 = 128$
$x^3 = 64$
$x = 4$

Høyde: $\displaystyle h = \frac{32}{16} = 2$

Sjekk: $\displaystyle S''(x) = 2 + \frac{256}{x^3} > 0$ for alle $x > 0$ , så minimum.

Svar: Dimensjonene er 4 dm × 4 dm × 2 dm.

- Tegn en skisse av situasjonen
- Velg variabler fornuftig og definer dem tydelig
- Sjekk at svaret gir mening i konteksten
- Husk å sjekke endepunktene hvis funksjonen er definert på et lukket intervall

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Summen av to positive tall er 20. Finn tallene som gir maksimalt produkt.

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Finn det tallet som er mest mulig større enn kvadratet sitt. (Finn maksimum for $f(x) = x - x^2$ )

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Et rektangel har omkrets 24 cm. Finn dimensjonene som gir størst areal.

Løs oppgaven

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

En ball kastes rett opp med høyde $h(t) = 20t - 5t^2$ meter. Finn maksimal høyde.

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

En bonde skal gjerde inn et rektangulært område på 600 m². Hva er minste gjerdelengde?

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

En sylinder skal ha volum 1 liter = 1000 cm³. Finn radius og høyde som gir minst overflate.

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

Fortjeneste ved salg av $x$ enheter er $F(x) = -0{,}1x^2 + 50x - 2000$ kr. Finn antall enheter som gir maksimal fortjeneste.

Løs oppgaven

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Et vindu har form som et rektangel med en halvsirkel på toppen. Omkretsen er 6 m. Finn dimensjonene som gir maksimalt lysareal.

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

Et A4-ark (21 × 29,7 cm) skal brettes til en eske uten lokk ved å kutte like store kvadrater fra hjørnene. Finn størrelsen på kvadratene for maksimalt volum.

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Finn punktet på parabelen $y = x^2$ som ligger nærmest punktet $(0, 1)$ .

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

En kjegle skal omslutte en kule med radius $R$ . Finn forholdet mellom høyde og grunnflateradius som gir minst volum på kjeglen.

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

Et firma selger $x$ enheter til pris $p = 200 - 2x$ kr per enhet. Kostnadene er $K(x) = 20x + 500$ . Finn antall enheter som gir maksimal fortjeneste.

Løs oppgaven

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Optimaliseringsproblemer: Praktiske problemer der vi skal finne størst eller minst mulig verdi.
- Fremgangsmåte: 1) Innfør variabler og still opp funksjonen som skal optimeres. 2) Bruk bibetingelsen til å få én variabel. 3) Deriver og sett $f'(x) = 0$ . 4) Kontroller at det er maks/min, og svar på spørsmålet.
- Husk: Sjekk at svaret ligger i det praktiske definisjonsområdet, og ta med endepunktene når det er aktuelt.

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Målfunksjon	Funksjonen som skal maksimeres/minimeres
Bibetingelse	Ekstra krav som binder variablene sammen
Kritisk punkt	Der $f'(x) = 0$

Viktige formler

- Maksimum/minimum: løs

f'(x) = 0

og sjekk fortegnsskifte
- Rektangel: areal

= l \cdot b

, omkrets

= 2l + 2b

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.