4.2 Derivasjon i økonomiske modeller | Matematikk S1

Anvendelse av derivasjon på kostnads-, inntekts- og overskuddsfunksjoner — finn optimal produksjon.

50 min

17 oppgaver

GrensekostnadGrenseinntektMarginalanalyseOptimalt produksjonsvolum

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.1Kostnad, inntekt og overskudd 3.5Anvendelser av derivasjon

Brukes videre i

4.3Etterspørsel og elastisitet

Grensekostnader og grenseinntekter

I forrige kapittel så vi på kostnadene ved å øke produksjonen med én enhet ved å beregne $K(x+1) - K(x)$ . Denne tilnærmingen gir oss den faktiske merkostnaden, men kan være tungvint å beregne.

Ved hjelp av derivasjon kan vi finne en tilnærming til denne merkostnaden som er mye enklere å arbeide med. Vi kaller dette grensekostnaden.

Grensekostnad

K'(x)

✏️Eksempel 1: Grensekostnad

En bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}05x^2 + 100x + 20000$ .

a) Finn grensekostnaden $K'(x)$ .
b) Finn grensekostnaden ved produksjon av 200 enheter.
c) Sammenlign med den faktiske kostnadsøkningen $K(201) - K(200)$ .

Løsning:

a) Vi deriverer kostnadsfunksjonen:
$K'(x) = 0{,}1x + 100$

b) Grensekostnaden ved $x = 200$ :
$K'(200) = 0{,}1 \cdot 200 + 100 = 20 + 100 = 120 \text{ kr}$

c) Den faktiske kostnadsøkningen:
$K(201) = 0{,}05 \cdot 201^2 + 100 \cdot 201 + 20000 = 2020{,}05 + 20100 + 20000 = 42120{,}05$
$K(200) = 0{,}05 \cdot 200^2 + 100 \cdot 200 + 20000 = 2000 + 20000 + 20000 = 42000$
$K(201) - K(200) = 42120{,}05 - 42000 = 120{,}05 \text{ kr}$

Grensekostnaden $K'(200) = 120$ kr er en god tilnærming til den faktiske kostnadsøkningen på $120{,}05$ kr.

📝Oppgave 1

En bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}02x^2 + 80x + 15000$ .

Finn grensekostnaden $K'(x)$ .

Finn grensekostnaden ved produksjon av 100 enheter.

Finn grensekostnaden ved produksjon av 500 enheter.

Hva skjer med grensekostnaden når produksjonen øker?

Løs oppgaven Tren

Grenseinntekt

På samme måte som grensekostnaden kan vi definere grenseinntekten som den deriverte av inntektsfunksjonen.

Grenseinntekt

I'(x)

✏️Eksempel 2: Grenseinntekt

En bedrift selger produkter for 150 kr per stykk.

a) Sett opp inntektsfunksjonen.
b) Finn grenseinntekten.
c) Tolk resultatet.

Løsning:

a) Inntektsfunksjonen:
$I(x) = 150x$

b) Grenseinntekten:
$I'(x) = 150$

c) Tolkning: Grenseinntekten er konstant og lik prisen. For hver ekstra enhet som selges, øker inntektene med 150 kr.

Dette gir mening: Når prisen er fast, får bedriften alltid like mye ekstra inntekt for hver ny enhet de selger.

📝Oppgave 2

En butikk selger varer for 250 kr per stykk.

Sett opp inntektsfunksjonen $I(x)$ .

Finn grenseinntekten $I'(x)$ .

Hva betyr resultatet i praksis?

Løs oppgaven Tren

Grenseoverskudd og optimal produksjon

Grenseoverskuddet forteller oss hvor mye overskuddet endres når produksjonen øker med én enhet.

Grenseoverskudd

O'(x)

📜Optimal produksjon

Overskuddet er maksimalt når grenseinntekten er lik grensekostnaden:

$I'(x) = K'(x)$

Dette betyr at den siste enheten som produseres, gir like mye i ekstra inntekt som den koster å produsere.

✏️Eksempel 3: Optimal produksjonsmengde

En bedrift har:
- Kostnadsfunksjon: $K(x) = 0{,}01x^2 + 40x + 10000$
- Salgspris: 120 kr per enhet

Finn den produksjonsmengden som gir maksimalt overskudd.

Løsning:

Metode 1: Bruk av overskuddsfunksjonen

Inntektsfunksjon: $I(x) = 120x$

Overskuddsfunksjon:
$O(x) = I(x) - K(x) = 120x - (0{,}01x^2 + 40x + 10000)$
$O(x) = -0{,}01x^2 + 80x - 10000$

For maksimum setter vi $O'(x) = 0$ :
$O'(x) = -0{,}02x + 80 = 0$
$x = \frac{80}{0{,}02} = 4000$

Metode 2: Grenseinntekt = Grensekostnad

Grenseinntekt: $I'(x) = 120$
Grensekostnad: $K'(x) = 0{,}02x + 40$

Setter $I'(x) = K'(x)$ :
$120 = 0{,}02x + 40$
$80 = 0{,}02x$
$x = 4000$

Svar: Optimal produksjonsmengde er 4000 enheter.

Maksimalt overskudd: $O(4000) = -0{,}01 \cdot 4000^2 + 80 \cdot 4000 - 10000 = 150000$ kr

📝Oppgave 3

En bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}005x^2 + 50x + 20000$ og selger produktene for 100 kr per stykk.

Finn grensekostnaden $K'(x)$ .

Finn grenseinntekten $I'(x)$ .

Finn produksjonsmengden som gir maksimalt overskudd.

Beregn det maksimale overskuddet.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

En bedrift produserer mobiltelefondeksler med kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}002x^2 + 15x + 8000$ og salgspris 45 kr per stykk.

Sett opp overskuddsfunksjonen $O(x)$ .

Finn $O'(x)$ .

Finn optimal produksjonsmengde.

Finn maksimalt overskudd.

Løs oppgaven Tren

Økonomisk tolkning:

- Grensekostnad $K'(x)$ : Kostnaden ved å produsere én enhet til
- Grenseinntekt $I'(x)$ : Inntekten ved å selge én enhet til
- Grenseoverskudd $O'(x)$ : Endring i overskudd ved én enhet ekstra

Så lenge $I'(x) > K'(x)$ , lønner det seg å øke produksjonen fordi hver ny enhet gir mer inntekt enn den koster.

📝Oppgave 5

En bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}04x^2 + 60x + 5000$ .

Finn grensekostnaden ved produksjon av 50 enheter.

Beregn den faktiske kostnadsøkningen $K(51) - K(50)$ .

Hvor stor er avviket mellom grensekostnaden og den faktiske kostnadsøkningen?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

En bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}001x^3 - 0{,}15x^2 + 30x + 5000$ og salgspris 60 kr per enhet.

Finn grensekostnaden $K'(x)$ .

Finn optimal produksjonsmengde.

Beregn grensekostnaden ved optimal produksjon.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

En bedrift har grensekostnaden $K'(x) = 0{,}06x + 40$ .

Hvis bedriften øker produksjonen fra 100 til 101 enheter, omtrent hvor mye øker kostnadene?

Ved hvilken produksjonsmengde er grensekostnaden 100 kr?

Hvis salgsprisen er 70 kr, ved hvilken produksjonsmengde er overskuddet maksimalt?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

En bedrift produserer varer med kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}008x^2 + 25x + 12000$ .

Finn enhetskostnaden $E(x)$ .

Finn den deriverte av enhetskostnaden $E'(x)$ .

Ved hvilken produksjonsmengde er enhetskostnaden lavest?

Vis at ved denne produksjonsmengden er enhetskostnaden lik grensekostnaden.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

En bedrift har overskuddsfunksjonen $O(x) = -0{,}02x^2 + 100x - 30000$ .

Finn grenseoverskuddet $O'(x)$ .

Ved hvilken produksjonsmengde er grenseoverskuddet null?

Er dette et maksimumspunkt? Begrunn svaret.

Finn det maksimale overskuddet.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

En bedrift vurderer å produsere en ny vare. Markedsanalysen gir følgende:
- Faste kostnader: 80 000 kr
- Variable kostnader per enhet: $20 + 0{,}01x$ kr (øker med produksjonen)
- Salgspris: 100 kr per enhet

Sett opp kostnadsfunksjonen $K(x)$ .

Finn grensekostnaden.

Finn optimal produksjonsmengde.

Beregn maksimalt overskudd.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

Tabellen viser grensekostnaden for ulike produksjonsmengder:

$x$	0	100	200	300	400	500
$K'(x)$	50	54	58	62	66	70

Vis at grensekostnaden er lineær, og finn uttrykket for $K'(x)$ .

Hvis salgsprisen er 66 kr, ved hvilken produksjonsmengde er overskuddet maksimalt?

Finn kostnadsfunksjonen $K(x)$ hvis de faste kostnadene er 10 000 kr.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

En bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}015x^2 + 30x + 25000$ og selger til prisen $p$ kroner per enhet.

Finn et uttrykk for optimal produksjonsmengde som funksjon av prisen $p$ .

Hva må prisen minst være for at det skal lønne seg å produsere?

Finn optimal produksjonsmengde når prisen er 90 kr.

Hva er grensekostnaden ved optimal produksjon når $p = 90$ kr?

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Grensekostnad $K'(x)$ : den tilnærmede kostnaden ved å produsere én enhet til.
- Grenseinntekt $I'(x)$ : den tilnærmede inntektsøkningen ved å selge én enhet til.
- Grenseoverskudd $O'(x) = I'(x) - K'(x)$ .
- Optimal produksjon: Overskuddet er størst der $I'(x) = K'(x)$ — grenseinntekt lik grensekostnad.

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Grensekostnad	$K'(x)$ — kostnad for neste enhet
Grenseinntekt	$I'(x)$ — inntekt av neste enhet
Optimal produksjon	Der $I'(x) = K'(x)$

Viktige formler

O'(x) = I'(x) - K'(x)

- Maksimalt overskudd:

I'(x) = K'(x)

(og

O''(x) < 0

)
-

K(x+1) - K(x) \approx K'(x)

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.