4.2 Grensekostnader og grenseinntekter | Matematikk S1

Derivasjon i økonomiske modeller: grensekostnad, grenseinntekt, maksimalt overskudd og lavest enhetskostnad.

50 min

20 oppgaver

GrensekostnadGrenseinntektProfittmaksimeringEnhetskostnad

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 20 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.1Kostnad, inntekt og overskudd 3.5Anvendelser av derivasjon

Brukes videre i

4.3Etterspørsel og elastisitet

Grensekostnader og grenseinntekter

I forrige kapittel så vi på kostnadene ved å øke produksjonen med én enhet ved å beregne $K(x+1) - K(x)$ . Denne tilnærmingen gir oss den faktiske merkostnaden, men kan være tungvint å beregne.

Ved hjelp av derivasjon kan vi finne en tilnærming til denne merkostnaden som er mye enklere å arbeide med. Vi kaller dette grensekostnaden.

Grensekostnad

K'(x)

✏️Eksempel 1: Grensekostnad

En bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}05x^2 + 100x + 20000$ .

a) Finn grensekostnaden $K'(x)$ .
b) Finn grensekostnaden ved produksjon av 200 enheter.
c) Sammenlign med den faktiske kostnadsøkningen $K(201) - K(200)$ .

Løsning:

a) Vi deriverer kostnadsfunksjonen:
$K'(x) = 0{,}1x + 100$

b) Grensekostnaden ved $x = 200$ :
$K'(200) = 0{,}1 \cdot 200 + 100 = 20 + 100 = 120 \text{ kr}$

c) Den faktiske kostnadsøkningen:
$\begin{aligned} K(201) &= 0{,}05 \cdot 201^2 + 100 \cdot 201 + 20000 \\ &= 2020{,}05 + 20100 + 20000 \\ &= 42120{,}05 \end{aligned}$
$\begin{aligned} K(200) &= 0{,}05 \cdot 200^2 + 100 \cdot 200 + 20000 \\ &= 2000 + 20000 + 20000 \\ &= 42000 \end{aligned}$
$K(201) - K(200) = 42120{,}05 - 42000 = 120{,}05 \text{ kr}$

Grensekostnaden $K'(200) = 120$ kr er en god tilnærming til den faktiske kostnadsøkningen på $120{,}05$ kr.

Svar: a) $K'(x) = 0{,}1x + 100$ b) 120 kr c) 120,05 kr, så $K'(200)$ er en god tilnærming.

📝Oppgave 1

En bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}02x^2 + 80x + 15000$ .

Finn grensekostnaden $K'(x)$ .

Finn grensekostnaden ved produksjon av 100 enheter.

Finn grensekostnaden ved produksjon av 500 enheter.

Hva skjer med grensekostnaden når produksjonen øker?

Løs oppgaven

Grenseinntekt

På samme måte som grensekostnaden kan vi definere grenseinntekten som den deriverte av inntektsfunksjonen.

Grenseinntekt

I'(x)

✏️Eksempel 2: Grenseinntekt

En bedrift selger produkter for 150 kr per stykk.

a) Sett opp inntektsfunksjonen.
b) Finn grenseinntekten.
c) Tolk resultatet.

Løsning:

a) Inntektsfunksjonen:
$I(x) = 150x$

b) Grenseinntekten:
$I'(x) = 150$

c) Tolkning: Grenseinntekten er konstant og lik prisen. For hver ekstra enhet som selges, øker inntektene med 150 kr.

Dette gir mening: Når prisen er fast, får bedriften alltid like mye ekstra inntekt for hver ny enhet de selger.

Svar: a) $I(x) = 150x$ b) $I'(x) = 150$ c) Hver ekstra enhet øker inntektene med 150 kr.

📝Oppgave 2

En butikk selger varer for 250 kr per stykk.

Sett opp inntektsfunksjonen $I(x)$ .

Finn grenseinntekten $I'(x)$ .

Hva betyr resultatet i praksis?

Løs oppgaven

Grenseoverskudd og optimal produksjon

Grenseoverskuddet forteller oss hvor mye overskuddet endres når produksjonen øker med én enhet.

Grenseoverskudd

O'(x)

📜Optimal produksjon

Overskuddet er maksimalt når grenseinntekten er lik grensekostnaden:

$I'(x) = K'(x)$

Dette betyr at den siste enheten som produseres, gir like mye i ekstra inntekt som den koster å produsere.

✏️Eksempel 3: Optimal produksjonsmengde

En bedrift har:
- Kostnadsfunksjon: $K(x) = 0{,}01x^2 + 40x + 10000$
- Salgspris: 120 kr per enhet

Finn den produksjonsmengden som gir maksimalt overskudd.

Løsning:

Metode 1: Bruk av overskuddsfunksjonen

Inntektsfunksjon: $I(x) = 120x$

Overskuddsfunksjon:
$\begin{aligned} O(x) &= I(x) - K(x) \\ &= 120x - (0{,}01x^2 + 40x + 10000) \end{aligned}$
$O(x) = -0{,}01x^2 + 80x - 10000$

For maksimum setter vi $O'(x) = 0$ :
$O'(x) = -0{,}02x + 80 = 0$
$x = \frac{80}{0{,}02} = 4000$

Metode 2: Grenseinntekt = Grensekostnad

Grenseinntekt: $I'(x) = 120$
Grensekostnad: $K'(x) = 0{,}02x + 40$

Setter $I'(x) = K'(x)$ :
$120 = 0{,}02x + 40$
$80 = 0{,}02x$
$x = 4000$

$O(4000) = -0{,}01 \cdot 4000^2 + 80 \cdot 4000 - 10000 = 150000$

Svar: Optimal produksjonsmengde er 4000 enheter. Da er overskuddet 150 000 kr.

Praktisk fremgangsmåte for profittmaksimering

Sett opp $I(x)$ og $K(x)$ fra oppgaven.
- Hvis prisen er konstant: $I(x) = p \cdot x$
- Hvis prisen avhenger av mengden (monopol): $I(x) = p(x) \cdot x$

Finn overskuddsfunksjonen $O(x) = I(x) - K(x)$ .

Deriver og sett $O'(x) = 0$ .

Sjekk at $O''(x) < 0$ for å bekrefte maksimum.

Regn ut det største overskuddet $O(x_0)$ og tolk svaret.

Husk at $x$ må være innenfor en fornuftig definisjonsmengde (produksjonen kan ikke være negativ, og det kan finnes kapasitetsbegrensninger).

✏️Eksempel 4: Profittmaksimering med fast pris

En bedrift produserer en vare som selges til en fast pris på 80 kr per enhet. Kostnadsfunksjonen er:

$K(x) = 0{,}002x^3 - 0{,}6x^2 + 70x + 500$

der $x$ er antall enheter.

a) Sett opp overskuddsfunksjonen.
b) Finn det produksjonsnivået som gir maksimal profitt.
c) Beregn den maksimale profitten.

a) Inntekten er

I(x) = 80x

(fast pris).

$\begin{aligned} O(x) &= I(x) - K(x) \\ &= 80x - (0{,}002x^3 - 0{,}6x^2 + 70x + 500) \end{aligned}$
$O(x) = -0{,}002x^3 + 0{,}6x^2 + 10x - 500$

b) Vi deriverer:

$O'(x) = -0{,}006x^2 + 1{,}2x + 10$

Setter $O'(x) = 0$ :

$-0{,}006x^2 + 1{,}2x + 10 = 0$

Ganger med $\displaystyle -\frac{1}{0{,}006}$ :

$x^2 - 200x - 1666{,}7 = 0$

$\begin{aligned} x &= \frac{200 \pm \sqrt{40000 + 6666{,}7}}{2} \\ &= \frac{200 \pm \sqrt{46666{,}7}}{2} \\ &= \frac{200 \pm 216{,}0}{2} \end{aligned}$

$x \approx 208$ (vi forkaster den negative løsningen $x \approx -8$ ).

Sjekk: $O''(x) = -0{,}012x + 1{,}2$ , $O''(208) = -0{,}012 \cdot 208 + 1{,}2 \approx -1{,}3 < 0$ (maksimum).

c) $O(208) = -0{,}002 \cdot 208^3 + 0{,}6 \cdot 208^2 + 10 \cdot 208 - 500$
$= -17\,997{,}8 + 25\,958{,}4 + 2\,080 - 500 \approx 9\,541$ kr.

Svar: Maksimalt overskudd er ca. 9 541 kr ved produksjon av 208 enheter.

✏️Eksempel 5: Profittmaksimering med prisfunksjon (monopol)

En bedrift er alene i markedet (monopol) og kan selv sette prisen. Etterspørselsfunksjonen er $p(x) = 200 - 0{,}5x$ og kostnadsfunksjonen er $K(x) = 20x + 1000$ .

a) Sett opp inntekts- og overskuddsfunksjonen.
b) Finn det produksjonsnivået som maksimerer profitten.
c) Finn prisen som bedriften bør sette.

a) Inntekten:

I(x) = p(x) \cdot x = (200 - 0{,}5x) \cdot x = 200x - 0{,}5x^2

Profitten:
$\begin{aligned} O(x) &= I(x) - K(x) \\ &= 200x - 0{,}5x^2 - 20x - 1000 \\ &= -0{,}5x^2 + 180x - 1000 \end{aligned}$

b) $O'(x) = -x + 180 = 0 \Rightarrow x = 180$

$O''(x) = -1 < 0$ (maksimum).

Alternativ med grenseinntekt = grensekostnad:
$I'(x) = 200 - x$ og $K'(x) = 20$

$200 - x = 20 \Rightarrow x = 180$ (samme svar).

c) Prisen: $p(180) = 200 - 0{,}5 \cdot 180 = 200 - 90 = 110$ kr.

Overskuddet: $O(180) = -0{,}5 \cdot 32400 + 180 \cdot 180 - 1000 = -16200 + 32400 - 1000 = 15\,200$ kr.

Svar: a) $I(x) = 200x - 0{,}5x^2$ og $O(x) = -0{,}5x^2 + 180x - 1000$ b) $x = 180$ c) Prisen bør være 110 kr. Da er overskuddet 15 200 kr.

📝Oppgave 3

En bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}005x^2 + 50x + 20000$ og selger produktene for 100 kr per stykk.

Finn grensekostnaden $K'(x)$ .

Finn grenseinntekten $I'(x)$ .

Finn produksjonsmengden som gir maksimalt overskudd.

Beregn det maksimale overskuddet.

Løs oppgaven

📝Oppgave 4

En bedrift produserer mobiltelefondeksler med kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}002x^2 + 15x + 8000$ og salgspris 45 kr per stykk.

Sett opp overskuddsfunksjonen $O(x)$ .

Finn $O'(x)$ .

Finn optimal produksjonsmengde.

Finn maksimalt overskudd.

Løs oppgaven

Økonomisk tolkning:

- Grensekostnad $K'(x)$ : Kostnaden ved å produsere én enhet til
- Grenseinntekt $I'(x)$ : Inntekten ved å selge én enhet til
- Grenseoverskudd $O'(x)$ : Endring i overskudd ved én enhet ekstra

Så lenge $I'(x) > K'(x)$ , lønner det seg å øke produksjonen fordi hver ny enhet gir mer inntekt enn den koster.

Enhetskostnad og optimal produksjon

Enhetskostnaden (gjennomsnittskostnaden) er kostnaden per produsert enhet:

$E(x) = \frac{K(x)}{x}$

Enhetskostnaden er minimert når:

$\begin{aligned} &E'(x) = 0 \\ \Leftrightarrow {}&\frac{K'(x) \cdot x - K(x)}{x^2} = 0 \\ \Leftrightarrow {}&K'(x) = \frac{K(x)}{x} = E(x) \end{aligned}$

Altså: enhetskostnaden er minst der grensekostnaden er lik enhetskostnaden. Grafisk betyr dette at $K'(x)$ -kurven krysser $E(x)$ -kurven i minimumspunktet.

✏️Eksempel 6: Minimering av enhetskostnad

En fabrikk har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}01x^3 - 1{,}2x^2 + 60x + 800$ der $x$ er antall enheter.

a) Sett opp enhetskostnaden $E(x)$ .
b) Finn produksjonsnivået som minimerer enhetskostnaden.
c) Vis at $K'(x_0) = E(x_0)$ i minimumspunktet.

E(x) = \frac{K(x)}{x} = 0{,}01x^2 - 1{,}2x + 60 + \frac{800}{x}

b) Vi deriverer:

$E'(x) = 0{,}02x - 1{,}2 - \frac{800}{x^2}$

Vi setter $E'(x) = 0$ og ganger med $x^2$ :

$0{,}02x^3 - 1{,}2x^2 - 800 = 0$

$x = 60$ : $0{,}02 \cdot 216\,000 - 1{,}2 \cdot 3600 - 800 = 4320 - 4320 - 800 = -800$

$x = 70$ : $0{,}02 \cdot 343\,000 - 1{,}2 \cdot 4900 - 800 = 6860 - 5880 - 800 = 180$

Fortegnet skifter mellom 60 og 70, så nullpunktet ligger der. Med CAS:

NLøs(0.02x^3 - 1.2x^2 - 800 = 0, x = 65) gir $x_0 \approx 68{,}5$

c) $K'(x) = 0{,}03x^2 - 2{,}4x + 60$

$K'(68{,}52) = 0{,}03 \cdot 4695{,}0 - 2{,}4 \cdot 68{,}52 + 60 \approx 140{,}85 - 164{,}45 + 60 \approx 36{,}4$

$\displaystyle E(68{,}52) = 0{,}01 \cdot 4695{,}0 - 1{,}2 \cdot 68{,}52 + 60 + \frac{800}{68{,}52} \approx 46{,}95 - 82{,}22 + 60 + 11{,}68 \approx 36{,}4$

Svar: a) $\displaystyle E(x) = 0{,}01x^2 - 1{,}2x + 60 + \frac{800}{x}$ b) $x_0 \approx 68{,}5$ enheter c) $K'(x_0) \approx 36{,}4 \approx E(x_0)$ , slik teorien sier.

📝Oppgave 5

En bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}04x^2 + 60x + 5000$ .

Finn grensekostnaden ved produksjon av 50 enheter.

Beregn den faktiske kostnadsøkningen $K(51) - K(50)$ .

Hvor stor er avviket mellom grensekostnaden og den faktiske kostnadsøkningen?

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

En bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}001x^3 - 0{,}15x^2 + 30x + 5000$ og salgspris 60 kr per enhet.

Finn grensekostnaden $K'(x)$ .

Finn optimal produksjonsmengde.

Beregn grensekostnaden ved optimal produksjon.

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

En bedrift har grensekostnaden $K'(x) = 0{,}06x + 40$ .

Hvis bedriften øker produksjonen fra 100 til 101 enheter, omtrent hvor mye øker kostnadene?

Ved hvilken produksjonsmengde er grensekostnaden 100 kr?

Hvis salgsprisen er 70 kr, ved hvilken produksjonsmengde er overskuddet maksimalt?

Løs oppgaven

📝Oppgave 8

En bedrift produserer varer med kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}008x^2 + 25x + 12000$ .

Finn enhetskostnaden $E(x)$ .

Finn den deriverte av enhetskostnaden $E'(x)$ .

Ved hvilken produksjonsmengde er enhetskostnaden lavest?

Vis at ved denne produksjonsmengden er enhetskostnaden lik grensekostnaden.

Løs oppgaven

📝Oppgave 9

En bedrift har overskuddsfunksjonen $O(x) = -0{,}02x^2 + 100x - 30000$ .

Finn grenseoverskuddet $O'(x)$ .

Ved hvilken produksjonsmengde er grenseoverskuddet null?

Er dette et maksimumspunkt? Begrunn svaret.

Finn det maksimale overskuddet.

Løs oppgaven

📝Oppgave 10

En bedrift vurderer å produsere en ny vare. Markedsanalysen gir følgende:
- Faste kostnader: 80 000 kr
- Variable kostnader per enhet: $20 + 0{,}01x$ kr (øker med produksjonen)
- Salgspris: 100 kr per enhet

Sett opp kostnadsfunksjonen $K(x)$ .

Finn grensekostnaden.

Finn optimal produksjonsmengde.

Beregn maksimalt overskudd.

Løs oppgaven

📝Oppgave 11

Tabellen viser grensekostnaden for ulike produksjonsmengder:

$x$	$K'(x)$
0	50
100	54
200	58
300	62
400	66
500	70

Vis at grensekostnaden er lineær, og finn uttrykket for $K'(x)$ .

Hvis salgsprisen er 66 kr, ved hvilken produksjonsmengde er overskuddet maksimalt?

Vis at kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}02x^2 + 50x + 10\,000$ har denne grensekostnaden og faste kostnader på 10 000 kr.

Løs oppgaven

📝Oppgave 12

En bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}015x^2 + 30x + 25000$ og selger til prisen $p$ kroner per enhet.

Finn et uttrykk for optimal produksjonsmengde som funksjon av prisen $p$ .

Hva må prisen minst være for at den optimale produksjonsmengden skal være positiv?

Finn optimal produksjonsmengde når prisen er 90 kr.

Hva er grensekostnaden ved optimal produksjon når $p = 90$ kr?

Løs oppgaven

📝Oppgave 13

En monopolbedrift har etterspørselsfunksjonen $p(x) = 300 - 2x$ og kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}5x^2 + 40x + 500$ .

Finn grenseinntekten $I'(x)$ og grensekostnaden $K'(x)$ .

Bruk betingelsen $I'(x) = K'(x)$ til å finne optimalt produksjonsnivå.

Finn optimal pris og maksimal profitt.

Løs oppgaven

📝Oppgave 14

En bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}005x^3 - 0{,}6x^2 + 30x + 400$ .

Sett opp enhetskostnaden $\displaystyle E(x) = \frac{K(x)}{x}$ .

Finn grensekostnaden $K'(x)$ .

Finn vendepunktet til $K(x)$ og tolk det økonomisk.

Løs oppgaven

📝Oppgave 15

Et bryggeri selger øl i et marked der etterspørselsfunksjonen er $p(x) = 150 - 0{,}25x$ (pris i kr per kasse, $x$ er antall kasser). Kostnadsfunksjonen er $K(x) = 0{,}001x^3 - 0{,}15x^2 + 20x + 3000$ .

Sett opp overskuddsfunksjonen $O(x)$ .

Finn det produksjonsnivået som gir maksimal profitt.

Finn den optimale prisen og den maksimale profitten.

For hvilke produksjonsintervaller er profitten positiv?

Løs oppgaven

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Grensekostnad $K'(x)$ : den tilnærmede kostnaden ved å produsere én enhet til.
- Grenseinntekt $I'(x)$ : den tilnærmede inntektsøkningen ved å selge én enhet til.
- Grenseoverskudd $O'(x) = I'(x) - K'(x)$ .
- Optimal produksjon: Overskuddet er størst der $I'(x) = K'(x)$ — grenseinntekt lik grensekostnad (og $O''(x) < 0$ ). Med fast pris blir betingelsen $K'(x) = p$ .
- Prisfunksjon (monopol): $I(x) = p(x) \cdot x$ — deriver hele inntektsfunksjonen.
- Lavest enhetskostnad: $\displaystyle E(x) = \frac{K(x)}{x}$ er minst der $E(x) = K'(x)$ .

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Grensekostnad	$K'(x)$ — kostnad for neste enhet
Grenseinntekt	$I'(x)$ — inntekt av neste enhet
Optimal produksjon	Der $I'(x) = K'(x)$
Enhetskostnad	$E(x) = K(x)/x$

Viktige formler

O'(x) = I'(x) - K'(x)

- Maksimalt overskudd:

I'(x) = K'(x)

(og

O''(x) < 0

)
-

K(x+1) - K(x) \approx K'(x)

- Lavest enhetskostnad:

E(x) = K'(x)

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.