4.2 Derivasjon i økonomiske modeller

Spørsmålet om den neste enheten

Produksjonssjefen står i døren med ett spørsmål: «Lønner det seg å produsere én enhet til?» Det er kanskje det viktigste spørsmålet i hele bedriftsøkonomien -- og legg merke til at det ikke handler om totalen, men om den neste enheten. Hva koster den? Hva bringer den inn?

I forrige kapittel fant vi kostnaden ved én ekstra enhet ved å regne $K(x+1) - K(x)$ -- to innsettinger i et polynom og en subtraksjon, hver gang. Det fungerer, men er tungvint. Derivasjon gir oss en snarvei som er både raskere og mer kraftfull: grensekostnaden.

Husk fra kapittel 3 at den deriverte er den momentane vekstfarten. For en kostnadsfunksjon betyr det: hvor raskt vokser kostnadene per enhet, akkurat ved dagens produksjonsnivå? Det er i praksis nettopp kostnaden for neste enhet. I dette kapittelet bygger vi begrepsparet grensekostnad og grenseinntekt -- og bruker det til å finne produksjonsmengden som gjør overskuddet størst.

Grensekostnaden -- den deriverte i arbeidsklær

Grensekostnaden er den deriverte av kostnadsfunksjonen:

$$K'(x) = \frac{dK}{dx}$$

Den angir tilnærmet hvor mye kostnadene øker når produksjonen øker med én enhet:

$$K'(x) \approx K(x+1) - K(x)$$

Hvor god er tilnærmingen? La oss teste. En bedrift har $K(x) = 0{,}05x^2 + 100x + 20000$. Grensekostnaden er

$$K'(x) = 0{,}1x + 100$$

Ved produksjonsnivået 200 enheter: $K'(200) = 0{,}1 \cdot 200 + 100 = 120$ kr.

Nå den eksakte merkostnaden, den tungvinte veien: $K(201) = 0{,}05 \cdot 201^2 + 100 \cdot 201 + 20000 = 2020{,}05 + 20100 + 20000 = 42120{,}05$ kr, og $K(200) = 2000 + 20000 + 20000 = 42000$ kr. Differansen:

$$K(201) - K(200) = 120{,}05 \text{ kr}$$

Grensekostnaden traff på fem øre nær! Og merk forskjellen i arbeidsmengde: derivasjonen ga oss en formel som svarer for alle produksjonsnivåer på én gang, mens differansemetoden krever nye beregninger for hvert nivå. Det er derfor økonomer snakker om marginalkostnad i alle sammenhenger -- den deriverte er rett og slett bedriftens mest brukte matematiske verktøy.

Grenseinntekt og grenseoverskudd

Samme idé på inntektssiden: grenseinntekten er den deriverte av inntektsfunksjonen,

$$I'(x) = \frac{dI}{dx}$$

og forteller hvor mye inntektene øker ved salg av én enhet til. Når prisen $p$ er konstant og $I(x) = p \cdot x$, blir grenseinntekten spesielt enkel:

$$I'(x) = p$$

Selger bedriften produkter for 150 kr stykket, er $I(x) = 150x$ og $I'(x) = 150$ -- hver ekstra enhet gir nøyaktig 150 kr i ekstra inntekt, uansett hvor mange som allerede er solgt. Det gir god mening: med fast pris er neste salg alltid verdt like mye. (I kapittel 4.3 skal vi se at dette endrer seg når prisen påvirker etterspørselen -- da blir grenseinntekten mer interessant.)

Nå kan vi svare produksjonssjefen. Endringen i overskudd ved én enhet ekstra er grenseoverskuddet:

$$O'(x) = I'(x) - K'(x)$$

Fortegnet er hele beslutningsregelen. Hvis $O'(x) > 0$, øker overskuddet ved økt produksjon -- den neste enheten bringer inn mer enn den koster, så sett i gang! Hvis $O'(x) < 0$, synker overskuddet -- den neste enheten koster mer enn den smaker. Og hvis $O'(x) = 0$, står vi ved et mulig maksimum (eller minimum) for overskuddet.

Med andre ord: så lenge $I'(x) > K'(x)$ lønner det seg å øke produksjonen. Bedriften bør fortsette å vokse helt til grenseinntekten og grensekostnaden møtes -- og akkurat det møtepunktet er neste seksjon.

Møtepunktet -- optimal produksjon

Her er kapittelets hovedresultat: Overskuddet er maksimalt når grenseinntekten er lik grensekostnaden:

$$I'(x) = K'(x)$$

Intuisjonen er grei å fortelle: den siste enheten som produseres, gir like mye i ekstra inntekt som den koster å produsere. Før det punktet tjener bedriften på hver ny enhet; etter det punktet taper den.

La oss bruke regelen. En bedrift har kostnadsfunksjonen $K(x) = 0{,}01x^2 + 40x + 10000$ og selger til fast pris 120 kr per enhet. Hvilken produksjonsmengde gir størst overskudd?

Metode 1 -- via overskuddsfunksjonen: Med $I(x) = 120x$ blir

$$O(x) = 120x - (0{,}01x^2 + 40x + 10000) = -0{,}01x^2 + 80x - 10000$$

Vi setter $O'(x) = -0{,}02x + 80 = 0$ og får $x = 4000$.

Metode 2 -- grenseinntekt lik grensekostnad: $I'(x) = 120$ og $K'(x) = 0{,}02x + 40$. Vi setter dem like:

$$120 = 0{,}02x + 40 \quad \Rightarrow \quad 80 = 0{,}02x \quad \Rightarrow \quad x = 4000$$

Samme svar, som seg hør og bør -- de to metodene er matematisk identiske. Optimal produksjon er 4000 enheter, og det maksimale overskuddet blir

$$O(4000) = -0{,}01 \cdot 4000^2 + 80 \cdot 4000 - 10000 = -160000 + 320000 - 10000 = 150\,000 \text{ kr}$$

Verdt å merke seg: ved $x = 4000$ er grensekostnaden $K'(4000) = 120$ kr -- nøyaktig lik prisen. Bedriften produserer altså helt til neste enhet koster like mye som den selges for. Mer enn det, og den taper på hver ekstra enhet; mindre, og den lar fortjeneste ligge igjen på bordet.

Oppsummering

Produksjonssjefens spørsmål -- «lønner det seg med én enhet til?» -- besvares av tre deriverte.

Grensekostnaden $K'(x)$ er den tilnærmede kostnaden ved å produsere én enhet til, med $K'(x) \approx K(x+1) - K(x)$ -- i eksemplet vårt traff den på fem øre nær. Grenseinntekten $I'(x)$ er den tilnærmede inntektsøkningen ved å selge én enhet til; med fast pris er den ganske enkelt lik prisen. Grenseoverskuddet $O'(x) = I'(x) - K'(x)$ er beslutningsregelen: positivt betyr «produser mer», negativt betyr «produser mindre».

Hovedresultatet er møtepunktet: overskuddet er størst der grenseinntekten er lik grensekostnaden, $I'(x) = K'(x)$, med $O''(x) < 0$ som bekreftelse på at det er et maksimum. Den siste enheten gir da like mye i inntekt som den koster -- bedriften har presset sitronen akkurat passe. For eksempelbedriften lå punktet ved 4000 enheter og ga 150 000 kr i overskudd.

Så langt har prisen vært fast. Men hva når prisen selv påvirker hvor mye kundene kjøper? Det er neste kapittel: etterspørsel og elastisitet.