3.6 Kjerneregelen

Når verden svinger

Mange størrelser i verden går ikke bare opp eller ned -- de svinger. Temperaturen gjennom et døgn, strømprisen gjennom året, etterspørselen etter is mellom sommer og vinter. Slike svingninger modellerer vi med sinus og cosinus, og da melder spørsmålet seg: hvor raskt endrer en svingning seg?

En isbutikk kan modellere salget gjennom året med en sinusfunksjon. Salget er størst midt på sommeren -- men når vokser salget raskest? Ikke på toppen, der står det stille, men i den bratte oppturen om våren. For å sette tall på dette må vi kunne derivere trigonometriske funksjoner.

Én ting først: ved derivasjon av trigonometriske funksjoner bruker vi alltid radianer. De pene derivasjonsreglene du nå skal lære, gjelder bare da -- med grader ville det dukket opp stygge omregningsfaktorer i alle formlene.

Reglene -- en evig runddans

Derivasjonsreglene for de trigonometriske funksjonene er korte og elegante:

$$\frac{d}{dx}[\sin x] = \cos x \qquad \frac{d}{dx}[\cos x] = -\sin x \qquad \frac{d}{dx}[\tan x] = \frac{1}{\cos^2 x}$$

Legg merke til runddansen mellom sinus og cosinus: deriverer du sinus, får du cosinus; deriverer du cosinus, får du minus sinus. Minustegnet er lett å glemme, men det gir god mening om du ser på grafene. Der $\sin x$ har sin topp (ved $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$), flater den ut -- og riktignok er $\displaystyle \cos\frac{\pi}{2} = 0$. Og der $\cos x$ synker brattest, er $-\sin x$ på sitt mest negative.

Dansen fortsetter om du deriverer videre: $\sin x \to \cos x \to -\sin x \to -\cos x \to \sin x$ -- etter fire derivasjoner er du tilbake der du startet. Få funksjoner har en så vakker rytme.

For isbutikken betyr dette noe konkret: hvis salget følger en sinuskurve, følger endringsfarten en cosinuskurve. Vekstfarten er størst der sinusen krysser likevektslinjen på vei opp -- om våren, akkurat som vi gjettet -- og null på topp og bunn av sesongen.

Kjerneregel og produktregel i svingende selskap

Praktiske svingninger har sjelden formen $\sin x$ rent og pent -- de har gjerne en faktor inni, som styrer hvor raskt de svinger. Da trår kjerneregelen til. Med kjerne $u = g(x)$ gjelder

$$[\sin(u)]' = \cos(u) \cdot u' \qquad [\cos(u)]' = -\sin(u) \cdot u'$$

La oss derivere $f(x) = \sin(3x)$. Kjernen er $u = 3x$ med $u' = 3$, så

$$f'(x) = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x)$$

En svingning som går tre ganger så fort, endrer seg tre ganger så raskt -- faktoren 3 kommer ut som forsterker. Tilsvarende for $g(x) = \cos(x^2)$, der kjernen $u = x^2$ har $u' = 2x$:

$$g'(x) = -\sin(x^2) \cdot 2x = -2x\sin(x^2)$$

Generelt gir dette de nyttige formlene $(\sin(kx))' = k\cos(kx)$ og $(\cos(kx))' = -k\sin(kx)$, og for en full svingemodell $(A\sin(B(x - C)) + D)' = AB\cos(B(x - C))$.

Også produktregelen møter vi i trigonometrisk selskap. For $h(x) = x^2 \sin x$ setter vi $u = x^2$ og $v = \sin x$:

$$h'(x) = 2x\sin x + x^2\cos x = x(2\sin x + x\cos x)$$

Verktøyene fra de forrige kapitlene fungerer altså helt uendret -- det eneste nye er de to grunnreglene for $\sin$ og $\cos$, og minnet om minustegnet.

Oppsummering

Svingende fenomener -- temperatur, sesongsalg, bølger -- modelleres med sinus og cosinus, og deres deriverte følger en elegant runddans: $(\sin x)' = \cos x$ og $(\cos x)' = -\sin x$, mens $\displaystyle (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$. Reglene gjelder med $x$ i radianer.

Kjerneregelen fungerer som før: $(\sin u)' = u' \cos u$ og $(\cos u)' = -u' \sin u$, som gir de praktiske formlene $(\sin(kx))' = k\cos(kx)$ og $(\cos(kx))' = -k\sin(kx)$ -- jo raskere svingning, desto større endringsfart. For en generell svingemodell er $(A\sin(B(x - C)) + D)' = AB\cos(B(x - C))$. Produktregelen brukes på uttrykk som $x^2 \sin x$, akkurat som ellers.

Tolkningen er den samme som alltid: den deriverte av en svingning gir endringsfarten -- hvor raskt temperaturen stiger, eller hvor raskt issalget tar seg opp om våren. Toppen av sesongen er ikke der det vokser raskest; der står alt stille, og cosinusen er null.