3.7 Derivasjon av sammensatte funksjoner

Når y ikke vil stå alene

Til nå har funksjonene våre vært pent servert på formen $y = f(x)$ -- $y$ alene på venstre side, klar til å deriveres. Men virkeligheten er ikke alltid så ryddig. Tenk på en sirkel: $x^2 + y^2 = 25$. Her er $x$ og $y$ flettet sammen i én likning, og skal du løse ut $y$, må du velge mellom to grener med stygge rottegn. Likevel har sirkelen tangenter, og tangentene har stigningstall -- så det finnes en derivert. Hvordan får vi tak i den?

Svaret er implisitt derivasjon: vi deriverer hele likningen slik den står, uten å løse ut $y$ først. Det eneste vi trenger å huske, er at $y$ i hemmelighet er en funksjon av $x$ -- så hver gang vi deriverer et ledd med $y$, må kjerneregelen med på kjøpet:

$$\frac{d}{dx}[y^n] = n \cdot y^{n-1} \cdot \frac{dy}{dx}$$

Det er hele trikset. Resten er vanlig derivasjon og litt likningsløsning.

Trikset -- kjerneregelen på y

La oss gjøre tankegangen helt konkret. Når vi deriverer $x^2$ med hensyn på $x$, får vi $2x$ -- som vanlig. Men når vi deriverer $y^2$ med hensyn på $x$, er $y$ ikke en konstant: den er en funksjon av $x$, en kjerne. Kjerneregelen gir da $\displaystyle 2y \cdot \frac{dy}{dx}$, eller kortere $2y \cdot y'$. Faktoren $y'$ er prisen vi betaler for at $y$ henger sammen med $x$.

Fremgangsmåten har fire steg. Først deriverer vi begge sider av likningen med hensyn på $x$. Hvert $y$-ledd får da en faktor $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ fra kjerneregelen. Deretter samler vi alle ledd med $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ på den ene siden av likhetstegnet. Så faktoriserer vi ut $\displaystyle \frac{dy}{dx}$, og til slutt deler vi på parentesen, slik at $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ står alene.

Merk én ting til: produktet $xy$ krever produktregelen, siden begge faktorene avhenger av $x$:

$$\frac{d}{dx}[xy] = 1 \cdot y + x \cdot y' = y + xy'$$

Resultatet av implisitt derivasjon blir gjerne et uttrykk for $y'$ som inneholder både $x$ og $y$. Det er helt i orden -- for å finne stigningstallet i et punkt, setter vi inn begge koordinatene. Kurven kan jo ha flere punkter med samme $x$-verdi (tenk på sirkelen: ett punkt oppe og ett nede), og da må stigningstallet naturligvis avhenge av hvilket av dem vi mener.

Sirkelen og andre sammenflettede kurver

Nå tar vi sirkelen fra innledningen: $x^2 + y^2 = 25$, en sirkel med radius 5 om origo. Vi deriverer begge sider med hensyn på $x$. Venstre side gir $2x$ fra første ledd og $\displaystyle 2y\frac{dy}{dx}$ fra andre (kjerneregelen!), og høyre side -- konstanten 25 -- gir null:

$$2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0$$

Vi løser for $\displaystyle \frac{dy}{dx}$:

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$

Et kompakt og vakkert svar. La oss teste det i punktet $(3, 4)$, som ligger på sirkelen siden $9 + 16 = 25$. Stigningstallet er $\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{3}{4}$. Det stemmer med geometrien: radien ut til $(3,4)$ har stigningstall $\displaystyle \frac{4}{3}$, og tangenten skal stå vinkelrett på radien -- akkurat det $\displaystyle -\frac{3}{4}$ gjør, siden $\displaystyle \frac{4}{3} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = -1$.

Så et eksempel med produktledd: finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ for $xy + y^2 = 1$. Produktregelen på $xy$ og kjerneregelen på $y^2$ gir

$$y + x\frac{dy}{dx} + 2y\frac{dy}{dx} = 0$$

Vi samler $\displaystyle \frac{dy}{dx}$-leddene og faktoriserer:

$$\frac{dy}{dx}(x + 2y) = -y \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x + 2y}$$

Mønsteret er alltid det samme: deriver ledd for ledd, husk $y'$-faktorene, samle, faktoriser, del. Implisitt derivasjon brukes til å finne tangenter til kurver der $y$ ikke enkelt kan isoleres -- sirkler, ellipser, hyperbler -- og er dessuten nøkkelen til neste kapittel om relaterte rater.

Oppsummering

Når $x$ og $y$ er flettet sammen i én likning -- som i sirkelen $x^2 + y^2 = 25$ -- trenger vi ikke løse ut $y$ for å finne stigningstall. Implisitt derivasjon lar oss derivere likningen slik den står: vi deriverer begge sider med hensyn på $x$ og husker at $y$ er en funksjon av $x$, slik at kjerneregelen gir $(y^n)' = ny^{n-1}y'$ og produktregelen gir $(xy)' = y + xy'$.

Fremgangsmåten er fast: deriver hvert ledd, samle alle ledd med $y'$ på én side, faktoriser ut $y'$, og del. Svaret inneholder gjerne både $x$ og $y$ -- naturlig nok, siden kurven kan ha flere punkter over samme $x$-verdi.

For sirkelen fant vi $\displaystyle y' = -\frac{x}{y}$, som i punktet $(3, 4)$ gir tangentstigning $\displaystyle -\frac{3}{4}$ -- vinkelrett på radien, akkurat som geometrien krever. For $xy + y^2 = 1$ ga samme oppskrift $\displaystyle y' = -\frac{y}{x+2y}$.

Teknikken er mer enn et kuriosum: i neste kapittel deriverer vi likninger med hensyn på tiden og kobler sammen endringsfarter -- og da er det implisitt derivasjon som gjør jobben.