4.4 Cosinuslikninger

Løse likninger med cosinus.

50 min

23 oppgaver

CosinuslikningGenerell løsningSymmetri

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 23 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.2Enhetssirkelen og trigonometriske definisjoner

Introduksjon til cosinuslikningar

I førre kapittel lærte vi å løyse sinuslikningar. No skal vi sjå på cosinuslikningar, som er likningar der den ukjende står inne i ein cosinusfunksjon.

Eksempel på cosinuslikningar:
- $\displaystyle \cos(x) = \frac{1}{2}$
- $\cos(2x) = -1$
- $\displaystyle \cos(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Cosinusfunksjonen har andre symmetrieigenskapar enn sinus, noko som påverkar korleis vi finn løysingane.

Symmetrien til cosinusfunksjonen

Cosinusfunksjonen $\cos(x)$ har følgjande viktige eigenskapar:

Verdimengd: $-1 \leq \cos(x) \leq 1$

Periode: $2\pi$ (funksjonen gjentek seg for kvar $2\pi$ )

Symmetri: $\cos(-x) = \cos(x)$ (partalssymmetri om $y$ -aksen)

Denne symmetrien tyder at viss $\cos(\alpha) = a$ , så er òg $\cos(-\alpha) = a$ .

Cosinuslikning

\cos(u) = a

Steg-for-steg-metode

For å løyse cosinuslikningar brukar vi følgjande framgangsmåte:

📜Generell løysing av

\cos(x) = a

Viss

\cos(x) = a

der

-1 \leq a \leq 1

, er den generelle løysinga:

$x = \pm \arccos(a) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Forklaring:
- $\arccos(a)$ gir hovudløysinga i $[0, \pi]$
- $\pm$ kjem frå symmetrien til cosinusfunksjonen
- $+ 2\pi n$ gir alle periodiske løysingar

Samanlikning med sinus:

Funksjon	Generell løysing
$\sin(x) = a$	$x = \arcsin(a) + 2\pi n$ eller $x = \pi - \arcsin(a) + 2\pi n$
$\cos(x) = a$	$x = \pm \arccos(a) + 2\pi n$

For cosinus brukar vi

\pm

i staden for to separate uttrykk.

✏️Eksempel 1: Enkel cosinuslikning

Løys likninga $\displaystyle \cos(x) = \frac{1}{2}$

Steg 1: Sjekk løysbarheit

\displaystyle \frac{1}{2}

ligg mellom

-1

1

, så likninga har løysing.

Steg 2: Finn hovudløysinga
$\displaystyle \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$

Steg 3: Skriv generell løysing
$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Løysingar i $[0, 2\pi)$ :
- $\displaystyle x = \frac{\pi}{3}$ (n = 0, positivt forteikn)
- $\displaystyle x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$ (n = 1, negativt forteikn)

📊Utforsk: Løysingane av cos x = 0,5 grafisk

Skjeringspunkta mellom $f(x) = \cos x$ og linja $y = 0{,}5$ er løysingane av likninga $\cos x = 0{,}5$ på $[0, 2\pi]$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{3}$ og $\displaystyle x = \frac{5\pi}{3}$ . Legg merke til symmetrien om $x = \pi$ .

📝Oppgave 1

Løys likninga $\displaystyle \cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Finn generell løysing og alle løysingar i $[0, 2\pi)$ .

✏️Eksempel 2: Negativ cosinusverdi

Løys likninga $\displaystyle \cos(x) = -\frac{1}{2}$

Steg 1: Finn hovudløysinga

\displaystyle \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}

Steg 2: Skriv generell løysing
$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Løysingar i $[0, 2\pi)$ :
- $\displaystyle x = \frac{2\pi}{3}$
- $\displaystyle x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$

Kontroll: $\displaystyle \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$ \checkmark

📝Oppgave 2

Løys likninga $\displaystyle \cos(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ . Finn alle løysingar i $[0, 2\pi)$ .

✏️Eksempel 3: Spesielle cosinusverdiar

Løys likningane: a) $\cos(x) = 0$ b) $\cos(x) = 1$ c) $\cos(x) = -1$

a) $\cos(x) = 0$

$\displaystyle \arccos(0) = \frac{\pi}{2}$

Generell løysing: $\displaystyle x = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Dette kan skrivast enklare som: $\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ (alle oddetals-multiplar av $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ )

b) $\cos(x) = 1$

$\arccos(1) = 0$

Generell løysing: $x = 2\pi n$ (berre éi løysing per periode)

c) $\cos(x) = -1$

$\arccos(-1) = \pi$

Generell løysing: $x = \pi + 2\pi n$

📝Oppgave 3

Løys likninga $\cos(x) = -1$ og finn alle løysingar i intervallet $[-2\pi, 2\pi]$ .

Likningar på forma $\cos(kx) = a$

Når argumentet inneheld ein faktor $k$ , må vi løyse for heile argumentet først, og deretter dele på $k$ .

📜Løysing av

\cos(kx) = a

For å løyse

\cos(kx) = a

der

k \neq 0

1. Set $u = kx$ og løys $\cos(u) = a$
2. Få $u = \pm \arccos(a) + 2\pi n$
3. Del på $k$ : $\displaystyle x = \frac{\pm \arccos(a) + 2\pi n}{k}$

Generell løysing:
$x = \pm \frac{\arccos(a)}{k} + \frac{2\pi n}{k}, \quad n \in \mathbb{Z}$

✏️Eksempel 4: Likning med $\cos(2x)$

Løys likninga $\displaystyle \cos(2x) = \frac{1}{2}$ . Finn alle løysingar i $[0, 2\pi)$ .

Steg 1: Set

u = 2x

\displaystyle \cos(u) = \frac{1}{2}

Steg 2: Finn generell løysing for $u$
$\displaystyle u = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

Steg 3: Set inn $u = 2x$ og løys for $x$
$\displaystyle 2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$
$\displaystyle x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$

Steg 4: Finn løysingar i $[0, 2\pi)$

Med positivt forteikn ( $\displaystyle x = \frac{\pi}{6} + \pi n$ ):
- $n = 0$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{6}$
- $n = 1$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$

Med negativt forteikn ( $\displaystyle x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$ ):
- $n = 1$ : $\displaystyle x = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6}$
- $n = 2$ : $\displaystyle x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$

Løysingar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$

📝Oppgave 4

Løys likninga $\displaystyle \cos(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ . Finn alle løysingar i $[0, 2\pi)$ .

✏️Eksempel 5: Likning med $\cos(3x)$

Løys likninga $\cos(3x) = 0$ . Finn alle løysingar i $[0, 2\pi)$ .

Steg 1: Løys for argumentet

\displaystyle 3x = \frac{\pi}{2} + \pi n

(forenkla form for

\cos(u) = 0

)

Steg 2: Del på 3
$\displaystyle x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$

Steg 3: List opp løysingar i $[0, 2\pi)$
- $n = 0$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{6}$
- $n = 1$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$
- $n = 2$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}$
- $n = 3$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$
- $n = 4$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3} = \frac{3\pi}{2}$
- $n = 5$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{3} = \frac{11\pi}{6}$

Løysingar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}, \frac{11\pi}{6}$

📝Oppgave 5

Løys likninga $\cos(3x) = 1$ . Finn alle løysingar i $[0, 2\pi)$ .

Likningar på forma $\cos(kx + c) = a$

Når argumentet òg inneheld ein konstant $c$ , må vi ta omsyn til denne i løysinga.

📜Løysing av

\cos(kx + c) = a

For å løyse

\cos(kx + c) = a

1. Set $u = kx + c$ og løys $\cos(u) = a$
2. Få $u = \pm \arccos(a) + 2\pi n$
3. Set inn og løys for $x$ : $kx + c = \pm \arccos(a) + 2\pi n$

Generell løysing:
$x = \frac{-c \pm \arccos(a) + 2\pi n}{k}, \quad n \in \mathbb{Z}$

✏️Eksempel 6: Faseforskyving

Løys likninga $\displaystyle \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Steg 1: Set

\displaystyle u = x - \frac{\pi}{4}

\displaystyle \cos(u) = \frac{\sqrt{2}}{2}

Steg 2: Finn løysing for $u$
$\displaystyle u = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

Steg 3: Set inn og løys for $x$
$\displaystyle x - \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$
$\displaystyle x = \frac{\pi}{4} \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

To løysingsrekkjer:
- $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$
- $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = 2\pi n$

Generell løysing: $x = 2\pi n$ eller $\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Løysingar i $[0, 2\pi)$ : $x = 0$ og $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$

📝Oppgave 6

Løys likninga $\displaystyle \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$ . Finn alle løysingar i $[0, 2\pi)$ .

✏️Eksempel 7: Kombinasjon av k og c

Løys likninga $\displaystyle \cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Finn alle løysingar i $[0, \pi]$ .

Steg 1: Lat

\displaystyle u = 2x + \frac{\pi}{6}

\displaystyle \cos(u) = \frac{\sqrt{3}}{2}

\displaystyle u = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n

Steg 2: Set inn og løys for $x$
$\displaystyle 2x + \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$
$\displaystyle 2x = -\frac{\pi}{6} \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

Med positivt forteikn:
$\displaystyle 2x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = 2\pi n$
$x = \pi n$

Med negativt forteikn:
$\displaystyle 2x = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$
$\displaystyle x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$

Løysingar i $[0, \pi]$ :
- Frå $x = \pi n$ : $x = 0$ og $x = \pi$
- Frå $\displaystyle x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$ : $\displaystyle x = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6}$

Løysingar: $\displaystyle x = 0, \frac{5\pi}{6}, \pi$

📝Oppgave 7

Løys likninga $\displaystyle \cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ . Finn alle løysingar i $[0, 2\pi)$ .

Samanlikning: Sinus vs. Cosinus

Det er viktig å forstå skilnadene mellom løysingsmetodane for sinus- og cosinuslikningar.

Løysingsformlar - oppsummering

\sin(x) = a

✏️Eksempel 8: Samanlikning av sinus og cosinus

Løys både $\displaystyle \sin(x) = \frac{1}{2}$ og $\displaystyle \cos(x) = \frac{1}{2}$ i $[0, 2\pi)$ .

Sinuslikning: $\displaystyle \sin(x) = \frac{1}{2}$

\displaystyle x = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}

\displaystyle x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}

Løysingar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{6}$ og $\displaystyle x = \frac{5\pi}{6}$

Cosinuslikning: $\displaystyle \cos(x) = \frac{1}{2}$
$\displaystyle x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \pm \frac{\pi}{3}$
Med +: $\displaystyle x = \frac{\pi}{3}$
Med -: $\displaystyle x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$

Løysingar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{3}$ og $\displaystyle x = \frac{5\pi}{3}$

Observasjon: Begge gir to løysingar per periode, men på forskjellige stader.

📝Oppgave 8

Løys både $\displaystyle \sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ og $\displaystyle \cos(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ i $[0, 2\pi)$ . Kva likning har løysingar i tredje kvadrant?

Likningar utan løysing

Ei cosinuslikning $\cos(x) = a$ har inga løysing viss $|a| > 1$ .

✏️Eksempel 9: Likning utan løysing

Undersøk om likninga $\cos(x) = 2$ har noka løysing.

Sidan verdimengda til cosinus er $[-1, 1]$ , og $2 > 1$ , kan $\cos(x)$ aldri vere lik $2$ .

Konklusjon: Likninga har inga løysing.

På same måte har $\cos(x) = -3$ inga løysing sidan $-3 < -1$ .

📝Oppgave 9

Avgjer kva for nokre av følgjande likningar som har løysing:
a) $\cos(x) = 0{,}8$
b) $\cos(x) = 1{,}2$
c) $\cos(x) = -0{,}99$
d) $\cos(2x) = -1{,}5$

Praktiske bruksområde

Cosinuslikningar dukkar opp i mange praktiske samanhengar, særleg i periodiske fenomen.

✏️Eksempel 10: Temperaturmodell

Temperaturen i ein by gjennom året kan modellerast med funksjonen:

$T(t) = 12 + 10\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)$

der $T$ er temperaturen i grader Celsius og $t$ er talet på månader etter 1. januar.

a) Når er temperaturen $17$ grader?
b) Når er temperaturen under $7$ grader?

a) Finn når $T(t) = 17$ :

$\displaystyle 12 + 10\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) = 17$

$\displaystyle 10\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) = 5$

$\displaystyle \cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) = 0{,}5 = \frac{1}{2}$

Lat $\displaystyle u = \frac{\pi t}{6}$ :
$\displaystyle u = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$\displaystyle \frac{\pi t}{6} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$t = \pm 2 + 12n$

I løpet av eit år ( $0 \leq t < 12$ ):
- $t = 2$ (mars)
- $t = -2 + 12 = 10$ (november)

b) Finn når $T(t) < 7$ :

$\displaystyle 12 + 10\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) < 7$

$\displaystyle \cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) < -0{,}5$

Cosinus er mindre enn $-0{,}5$ når argumentet er mellom $\displaystyle \frac{2\pi}{3}$ og $\displaystyle \frac{4\pi}{3}$ (pluss periodar).

$\displaystyle \frac{2\pi}{3} < \frac{\pi t}{6} < \frac{4\pi}{3}$

$4 < t < 8$

Temperaturen er under 7 grader frå mai til august (dette gir ikkje meining for ein nordleg by, så modellen er forenkla).

📝Oppgave 10

Ein pendel svingar slik at posisjonen er gitt ved $x(t) = 5\cos(2t)$ cm, der $t$ er tid i sekund.

a) Når er pendelen i posisjon $x = 2{,}5$ cm for første gong?
b) Kor ofte passerer pendelen gjennom $x = 0$ ?

✏️Eksempel 11: Lydbølgjer

Ei lydbølgje blir skildra av trykket $P(t) = P_0\cos(2\pi f t)$ , der $f = 440$ Hz (tonen A).

Når er trykket maksimalt ( $P = P_0$ ) i løpet av dei første 10 millisekunda?

Finn når $P(t) = P_0$ :

$P_0\cos(2\pi \cdot 440 \cdot t) = P_0$

$\cos(880\pi t) = 1$

$880\pi t = 2\pi n$

$\displaystyle t = \frac{n}{440}$ sekund

I løpet av 10 ms ( $0 \leq t < 0{,}01$ ):

Perioden er $\displaystyle T = \frac{1}{440} \approx 0{,}00227$ sekund.

- $n = 0$ : $t = 0$ ms
- $n = 1$ : $t \approx 2{,}27$ ms
- $n = 2$ : $t \approx 4{,}55$ ms
- $n = 3$ : $t \approx 6{,}82$ ms
- $n = 4$ : $t \approx 9{,}09$ ms

Trykket er maksimalt ved $t = 0$ , $2{,}27$ , $4{,}55$ , $6{,}82$ og $9{,}09$ ms.

📝Oppgave 11

Ei vekselspenning er gitt ved $V(t) = 230\sqrt{2}\cos(100\pi t)$ volt.

a) Finn alle tidspunkt i det første sekundet der spenninga er $230$ volt.
b) Kor mange gonger per sekund er spenninga null?

✏️Eksempel 12: Geometrisk problem

I ein trekant ABC er $\angle A = x$ , og vi veit at $\displaystyle \cos(x) = \frac{3}{5}$ .

a) Finn $x$ i grader.
b) Finn $\sin(x)$ .

a) Finn vinkelen:

\displaystyle x = \arccos\left(\frac{3}{5}\right) = \arccos(0{,}6)

Brukar kalkulator: $x \approx 53{,}13^\circ$

b) Finn $\sin(x)$ :
Brukar identiteten $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ :

$\displaystyle \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$\displaystyle \sin(x) = \frac{4}{5}$ (positiv sidan $x$ er ein vinkel i ein trekant)

Merk: Dette er ein 3-4-5 rettvinkla trekant!

📝Oppgave 12

Ein vinkel $\theta$ i ein rettvinkla trekant oppfyller $\displaystyle \cos(\theta) = \frac{5}{13}$ . Finn $\sin(\theta)$ og $\tan(\theta)$ .

✏️Eksempel 13: Krevjande likning

Løys likninga $2\cos^2(x) - 1 = 0$

Steg 1: Omform likninga

2\cos^2(x) = 1

\displaystyle \cos^2(x) = \frac{1}{2}

\displaystyle \cos(x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}

Steg 2: Løys for $\displaystyle \cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\displaystyle x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

Steg 3: Løys for $\displaystyle \cos(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\displaystyle x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$

Kombinert løysing i $[0, 2\pi)$ :
$\displaystyle x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

Alternativ: Bruk identiteten $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$ :
$\cos(2x) = 0$
$\displaystyle 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$
$\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$

📝Oppgave 13

Løys likninga $\cos^2(x) - \cos(x) = 0$ i $[0, 2\pi)$ .

✏️Eksempel 14: Løysing i grader

Løys likninga $\cos(x) = 0{,}6$ og gi svaret i grader. Finn alle løysingar i $[0^\circ, 360^\circ)$ .

Steg 1: Finn hovudløysinga

x = \arccos(0{,}6) \approx 53{,}13^\circ

Steg 2: Skriv generell løysing
$x = \pm 53{,}13^\circ + 360^\circ \cdot n$

Steg 3: Finn løysingar i $[0^\circ, 360^\circ)$
- Med +: $x \approx 53{,}13^\circ$
- Med -: $x \approx -53{,}13^\circ + 360^\circ = 306{,}87^\circ$

Løysingar: $x \approx 53{,}13^\circ$ og $x \approx 306{,}87^\circ$

📝Oppgave 14

Løys likninga $\cos(x) = -0{,}3$ og gi svaret i grader. Finn alle løysingar i $[0^\circ, 360^\circ)$ .

Hugseliste for cosinuslikningar:
1. Sjekk om

|a| \leq 1

2. Finn

\arccos(a)

3. Bruk

\pm

for å få begge løysingsrekkjene
4. Hugs å dele på

k

viss argumentet er

kx + c

5. Juster for faseforskyving

c

6. List opp løysingar i gitt intervall

Ekstraoppgåver

Din fremgang

0 / 4 oppgaver

Oppsummering

Hovudpunkt

1. Generell løysing av $\cos(x) = a$ :
$x = \pm \arccos(a) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

2. For $\cos(kx + c) = a$ :
$x = \frac{-c \pm \arccos(a) + 2\pi n}{k}$

3. Symmetri: $\cos(-x) = \cos(x)$ gir $\pm$ i løysingsformelen

4. Løysbarheit: Berre løysing når $-1 \leq a \leq 1$

5. Tal på løysingar: Per periode $[0, 2\pi)$ :
- Generelt 2 løysingar
- 1 løysing viss $a = \pm 1$
- 0 løysingar viss $|a| > 1$

Repetisjonsoppgåver