4.4 Cosinuslikninger

Samme melodi, ny rytme

I forrige kapittel lærte du å løse sinuslikninger, og kanskje tenker du at cosinus bare er mer av det samme. Nesten — men ikke helt. Tenk på temperaturen gjennom et år i en by på den sørlige halvkulen: den er varmest i januar, kaldest i juli, og følger en cosinuskurve som starter i et ytterpunkt. Når meteorologen spør «når passerer temperaturen 17 grader?», står vi overfor en cosinuslikning: en likning der den ukjente står inne i en cosinusfunksjon, som $\displaystyle \cos x = \frac{1}{2}$, $\cos(2x) = -1$ eller $\displaystyle \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Cosinus deler mye med sinus: verdimengden er $[-1, 1]$, perioden er $2\pi$, og likningen $\cos x = a$ er løsbar bare når $-1 \leq a \leq 1$. Men cosinus har en annen symmetri. Der sinuskurven er symmetrisk om toppene sine på en måte som gir løsningsparet $v$ og $\pi - v$, er cosinus symmetrisk om $y$-aksen: $\cos(-x) = \cos(x)$. Hvis $\cos\alpha = a$, så er også $\cos(-\alpha) = a$. Denne ene egenskapen forandrer formen på alle løsningene våre — i stedet for to separate uttrykk får vi ett kompakt uttrykk med $\pm$.

I denne fortellingen lærer du den generelle løsningen av $\cos x = a$, hvordan du takler sammensatte argumenter som $\cos(kx + c)$, hva som skiller cosinus- fra sinuslikninger, og hvordan alt brukes på temperaturer, lydbølger og geometri.

Symmetrien som gir oss pluss-minus

La oss se hva symmetrien $\cos(-x) = \cos(x)$ gjør med løsningene. På enhetssirkelen er cosinus $x$-koordinaten, og en loddrett linje $x = a$ skjærer sirkelen i to punkter som ligger speilvendt om $x$-aksen: ett ved vinkelen $\alpha$ og ett ved $-\alpha$. Begge har samme cosinusverdi. Sammen med periodisiteten gir det den generelle løsningen

$$x = \pm\cos^{-1}(a) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

der $\cos^{-1}(a)$ er hovedløsningen, som alltid ligger i $[0, \pi]$. Sammenlign med sinus: der trengte vi to separate uttrykk, $\sin^{-1}(a) + 2\pi n$ og $\pi - \sin^{-1}(a) + 2\pi n$. For cosinus pakker $\pm$-tegnet begge familiene inn i én formel.

Et eksempel: $\displaystyle \cos x = \frac{1}{2}$. Hovedløsningen er $\displaystyle \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$, så $\displaystyle x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$. I intervallet $[0, 2\pi\rangle$ gir det $\displaystyle x = \frac{\pi}{3}$ og $\displaystyle x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$. Med negativ høyreside, $\displaystyle \cos x = -\frac{1}{2}$, blir hovedløsningen $\displaystyle \frac{2\pi}{3}$, og løsningene i $[0, 2\pi\rangle$ er $\displaystyle \frac{2\pi}{3}$ og $\displaystyle \frac{4\pi}{3}$.

Ytterpunktene fortjener et eget blikk. $\cos x = 1$ har hovedløsning $0$, og $\pm 0$ er samme tall, så vi får bare $x = 2\pi n$ — én løsning per periode. $\cos x = -1$ gir $x = \pi + 2\pi n$. Og $\cos x = 0$ gir $\displaystyle x = \pm\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, som kan skrives kompakt som $\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ — nullpunktene ligger jevnt fordelt med avstand $\pi$.

Sammensatte argumenter: $\cos(kx + c) = a$

Akkurat som for sinus møter vi sjelden et nakent $x$ i praksis. Strategien er den samme substitusjonen: sett $u = kx + c$, løs $\cos u = a$ til $u = \pm\cos^{-1}(a) + 2\pi n$, og pakk ut $x$ til slutt. Den generelle formelen blir $\displaystyle x = \frac{-c \pm \cos^{-1}(a) + 2\pi n}{k}$, men det er tryggere å gjøre stegene enn å pugge formelen.

Se på $\displaystyle \cos(2x) = \frac{1}{2}$. Substitusjonen gir $\displaystyle 2x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, og delt på $2$: $\displaystyle x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi n$. Merk at perioden ble halvert til $\pi$. I $[0, 2\pi\rangle$ gir plusstegnet $\displaystyle x = \frac{\pi}{6}$ og $\displaystyle \frac{7\pi}{6}$, minustegnet gir $\displaystyle \frac{5\pi}{6}$ og $\displaystyle \frac{11\pi}{6}$ — fire løsninger, dobbelt så mange som uten faktoren $2$. Tilsvarende gir $\cos(3x) = 0$ likningen $\displaystyle 3x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, altså $\displaystyle x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, med hele seks løsninger i $[0, 2\pi\rangle$.

Med faseforskyvning følger vi samme spor. Likningen $\displaystyle \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ gir $\displaystyle x - \frac{\pi}{4} = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n$, og dermed to løsningsrekker: $\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ og $x = 2\pi n$. Kombinerer vi alt, som i $\displaystyle \cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, blir regningen $\displaystyle 2x + \frac{\pi}{6} = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi n$, som gir $x = \pi n$ fra plusstegnet og $\displaystyle x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$ fra minustegnet. Husk rekkefølgen: trekk fra $c$ først, del på $k$ til slutt — også $2\pi n$-leddet skal deles.

Sinus mot cosinus — og noen kraftigere likninger

Det lønner seg å ha de to løsningsformlene side om side. For $\sin x = a$ er løsningene $x = \sin^{-1}(a) + 2\pi n$ eller $x = \pi - \sin^{-1}(a) + 2\pi n$ — to separate uttrykk. For $\cos x = a$ er det ett uttrykk med pluss-minus: $x = \pm\cos^{-1}(a) + 2\pi n$. Begge gir normalt to løsninger per periode, men på forskjellige steder. Løser du både $\displaystyle \sin x = \frac{1}{2}$ og $\displaystyle \cos x = \frac{1}{2}$ i $[0, 2\pi\rangle$, får du henholdsvis $\displaystyle \left\{\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right\}$ og $\displaystyle \left\{\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\right\}$ — to løsninger hver, men på ulike steder.

Antallet løsninger per periode følger et fast mønster for begge: to løsninger når $-1 < a < 1$, én løsning når $a = \pm 1$, og ingen når $|a| > 1$. En likning som $\cos x = 2$ kan du avvise umiddelbart uten regning.

Noen likninger krever et ekstra grep før formelen slår inn. Ta $2\cos^2 x - 1 = 0$. Vi løser for kvadratet: $\displaystyle \cos^2 x = \frac{1}{2}$, som gir $\displaystyle \cos x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$ — to vanlige cosinuslikninger. Den positive gir $\displaystyle x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n$, den negative $\displaystyle x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, og samlet i $[0, 2\pi\rangle$: $\displaystyle x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$. Et elegant alternativ er å gjenkjenne dobbeltvinkelidentiteten $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$, slik at likningen blir $\cos(2x) = 0$ med samme svar.

Og trenger du svaret i grader, fungerer alt likt — bare bytt $2\pi n$ med $360° \cdot n$. For $\cos x = 0{,}6$ gir kalkulatoren $x \approx 53{,}13°$, og løsningene i $[0°, 360°\rangle$ er $53{,}13°$ og $306{,}87°$.

Temperaturer, toner og trekanter

La oss vende tilbake til meteorologen. Temperaturen i en by på den sørlige halvkulen modelleres med $\displaystyle T(t) = 12 + 10\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)$, der $t$ er måneder etter 1. januar. Når er temperaturen $17$ grader? Vi isolerer cosinusleddet: $\displaystyle 10\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) = 5$, altså $\displaystyle \cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) = \frac{1}{2}$. Substitusjonen gir $\displaystyle \frac{\pi t}{6} = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, og løst for $t$: $t = \pm 2 + 12n$. Innenfor ett år betyr det $t = 2$ (mars) og $t = 10$ (november) — én gang på vei ned mot vinteren, én gang på vei opp mot sommeren. Den maksimale temperaturen er for øvrig $12 + 10 = 22$ grader, når cosinusleddet er $1$.

Samme matematikk styrer musikken. Tonen A beskrives av trykket $P(t) = P_0\cos(2\pi \cdot 440\, t)$ med frekvens $440$ Hz. Trykket er maksimalt når $\cos(880\pi t) = 1$, altså når $880\pi t = 2\pi n$, som gir $\displaystyle t = \frac{n}{440}$ sekunder — hvert $2{,}27$ millisekund treffer bølgetoppen øret ditt.

Cosinuslikninger dukker også opp i geometri. Vet du at $\displaystyle \cos x = \frac{3}{5}$ for en vinkel i en trekant, gir kalkulatoren $x = \cos^{-1}(0{,}6) \approx 53{,}13°$, og den pytagoreiske identiteten gir $\displaystyle \sin x = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac{4}{5}$ — vinkelen er den samme som i den klassiske 3-4-5-trekanten, selv om trekanten din ikke trenger å være rettvinklet.

Huskelisten for alle cosinuslikninger: sjekk at $|a| \leq 1$, finn $\cos^{-1}(a)$, bruk $\pm$ for begge løsningsrekkene, del på $k$ og juster for $c$ ved sammensatt argument, og list til slutt opp løsningene i det aktuelle intervallet.

Oppsummering

Vi startet med meteorologens spørsmål og oppdaget at cosinuslikninger synger samme melodi som sinuslikninger — men i en annen rytme, diktert av symmetrien $\cos(-x) = \cos x$. Fordi cosinus er en like funksjon, samles begge løsningsfamiliene i ett uttrykk: $\cos x = a$ har den generelle løsningen $x = \pm\cos^{-1}(a) + 2\pi n$, der hovedløsningen $\cos^{-1}(a)$ ligger i $[0, \pi]$. Som før gjelder løsbarhetskravet $-1 \leq a \leq 1$: to løsninger per periode når $-1 < a < 1$, én når $a = \pm 1$, ingen når $|a| > 1$.

For sammensatte argumenter $\cos(kx + c) = a$ brukte vi substitusjon: løs for hele argumentet, trekk fra $c$, og del alt — også $2\pi n$-leddet — på $k$. Faktoren $k$ krymper perioden og mangedobler antall løsninger i et fast intervall, slik $\displaystyle \cos(2x) = \frac{1}{2}$ ga fire løsninger i $[0, 2\pi\rangle$ og $\cos(3x) = 0$ ga seks.

Vi sammenlignet med sinus — to separate uttrykk der, ett $\pm$-uttrykk her — og så at kvadratiske varianter som $2\cos^2 x - 1 = 0$ løses ved å først finne $\displaystyle \cos x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$, eller ved å dra kjensel på dobbeltvinkelen $\cos 2x$.

Til slutt lot vi verktøyene arbeide: temperaturmodellen ga oss mars og november som svar, lydbølgen til kammertonen toppet seg hvert $\displaystyle \frac{1}{440}$ sekund, og en cosinusverdi på $\displaystyle \frac{3}{5}$ ga samme vinkel som i en 3-4-5-trekant. Cosinuslikningen er, som sin søster sinus, en nøkkel til tidspunktene og vinklene i en periodisk verden.