3.7 Funksjonsdrøfting med integrasjon

Fullstendig drøfting med både derivasjon og integrasjon.

55 min

24 oppgaver

FunksjonsdrøftingArealVolumAnvendelser

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 24 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.7Areal mellom kurver 3.6Volum av omdreiningslegemer

Funksjonsdrøfting med integrasjon

I tidlegare kapittel har vi lært å drøfte funksjonar ved hjelp av derivasjon. Vi har funne nullpunkt, ekstremalpunkt, vendepunkt og skissert grafar. No skal vi utvide verktøykassa vår med integrasjon.

Integrasjon gjev oss høve til å:
- Finne ein funksjon $f(x)$ når vi kjenner den deriverte $f'(x)$ og eitt punkt
- Rekne ut arealet under ein graf som ein funksjon av $x$
- Analysere korleis akkumulerte storleikar veks over tid
- Løyse praktiske problem i fysikk, økonomi og andre fagfelt

Vi skal sjå at derivasjon og integrasjon utfyller kvarandre i funksjonsdrøfting, og at vi ofte treng begge verktøya for ein fullstendig analyse.

Samanhengen mellom $f$ , $f'$ og $\int f$

Lat oss starte med å forstå korleis ein funksjon, den deriverte hans og integralet hans heng saman.

Dersom $f(x)$ er ein funksjon:
- $f'(x)$ fortel oss vekstfarten til $f$ i kvart punkt
- $\int f(x)\,dx = F(x) + C$ gjev oss ein funksjon $F$ der $F'(x) = f(x)$

Dette tyder at:
- Derivasjon går frå $F$ til $f$ : $F \xrightarrow{\text{derivasjon}} f$
- Integrasjon går frå $f$ til $F$ : $f \xrightarrow{\text{integrasjon}} F$

Derivasjon og integrasjon er inverse operasjonar (med atterhald om konstanten $C$ ).

Samanhengen mellom derivasjon og integrasjon

f

✏️Døme 1: Verifisere samanhengen

Lat $f(x) = x^3 - 2x$ .

a) Finn $f'(x)$ og deretter $\int f'(x)\,dx$ .
b) Finn $\int f(x)\,dx$ og deretter $\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\int f(x)\,dx\right]$ .
c) Kommenter resultata.

Løysing:

a) Vi deriverer først:
$f'(x) = 3x^2 - 2$

Så integrerer vi $f'(x)$ :
$\int (3x^2 - 2)\,dx = x^3 - 2x + C = f(x) + C$

Vi får tilbake $f(x)$ , pluss ein konstant.

b) Vi integrerer først:
$\int (x^3 - 2x)\,dx = \frac{x^4}{4} - x^2 + C$

Så deriverer vi resultatet:
$\frac{d}{dx}\left[\frac{x^4}{4} - x^2 + C\right] = x^3 - 2x = f(x)$

Vi får tilbake nøyaktig $f(x)$ .

c) Resultata viser at:
- Integrasjon etterfølgd av derivasjon gjev tilbake originalfunksjonen
- Derivasjon etterfølgd av integrasjon gjev originalfunksjonen pluss ein konstant

Konstanten forsvinn ved derivasjon, men må leggjast til ved integrasjon.

📝Oppgave 3.7.1

Verifiser samanhengen mellom derivasjon og integrasjon for følgjande funksjonar.

Finn $f'(x)$ og deretter $\int f'(x)\,dx$ for $f(x) = x^4$

Finn $\int f(x)\,dx$ og deretter $\displaystyle \frac{d}{dx}[\int f(x)\,dx]$ for $f(x) = 2x + 1$

Gjer det same for $f(x) = e^x$

Gjer det same for $f(x) = \sin x$

Bestemme $f(x)$ når $f'(x)$ og eit punkt er gitt

Ei viktig bruk av integrasjon er å rekonstruere ein funksjon frå den deriverte hans.

Dersom vi kjenner $f'(x)$ , kan vi integrere for å finne $f(x)$ :
$f(x) = \int f'(x)\,dx = F(x) + C$

Men dette gjev oss uendeleg mange løysingar (éi for kvar verdi av $C$ ). For å finne den spesifikke funksjonen treng vi tilleggsinformasjon, typisk verdien av $f$ i eitt punkt.

📜Bestemme ein funksjon frå den deriverte hans

Gitt

f'(x)

og vilkåret

f(a) = b

, kan vi finne

f(x)

slik:

Steg 1: Integrer $f'(x)$ :
$f(x) = \int f'(x)\,dx = F(x) + C$

Steg 2: Bruk vilkåret $f(a) = b$ til å bestemme $C$ :
$f(a) = F(a) + C = b \quad \Rightarrow \quad C = b - F(a)$

Steg 3: Set inn verdien av $C$ for å få den endelege funksjonen.

✏️Døme 2: Finne f(x) frå f'(x) og eit punkt

Ein funksjon $f$ har den deriverte $f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$ .
Grafen til $f$ går gjennom punktet $(2, 5)$ .
Bestem $f(x)$ .

Løysing:

Steg 1: Vi integrerer $f'(x)$ :
$f(x) = \int (3x^2 - 4x + 1)\,dx = x^3 - 2x^2 + x + C$

Steg 2: Vi bruker at $f(2) = 5$ :
$f(2) = 2^3 - 2 \cdot 2^2 + 2 + C = 8 - 8 + 2 + C = 2 + C = 5$
$C = 3$

Steg 3: Den endelege funksjonen er:
$f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3$

Sjekk: $f(2) = 8 - 8 + 2 + 3 = 5$ ✓

📝Oppgave 3.7.2

Bestem funksjonen $f(x)$ i kvart tilfelle.

f'(x) = 2x - 3

f(1) = 4

f'(x) = 6x^2 + 2x

f(0) = 1

f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2

f(-1) = 0

f'(x) = e^x

f(0) = 2

Løs oppgaven Tren

Fleire initialvilkår

Nokre gonger får vi oppgitt fleire vilkår, til dømes både $f(a)$ og $f'(a)$ . Dette skjer ofte når vi startar frå den andrederiverte $f''(x)$ .

Kvart integrasjonssteg innfører éin ny konstant, så:
- Frå $f''(x)$ til $f'(x)$ : éin konstant $C_1$
- Frå $f'(x)$ til $f(x)$ : éin konstant $C_2$

Vi treng like mange vilkår som vi har konstantar.

✏️Døme 2b: Finne f(x) frå f''(x) og to vilkår

Finn $f(x)$ når $f''(x) = 12x - 6$ , $f'(1) = 3$ og $f(1) = 5$ .

Løysing:

Steg 1: Integrer $f''(x)$ for å finne $f'(x)$ :
$f'(x) = \int (12x - 6)\,dx = 6x^2 - 6x + C_1$

Bruk $f'(1) = 3$ :
$f'(1) = 6(1)^2 - 6(1) + C_1 = 6 - 6 + C_1 = C_1 = 3$

Så $f'(x) = 6x^2 - 6x + 3$ .

Steg 2: Integrer $f'(x)$ for å finne $f(x)$ :
$f(x) = \int (6x^2 - 6x + 3)\,dx = 2x^3 - 3x^2 + 3x + C_2$

Bruk $f(1) = 5$ :
$f(1) = 2(1)^3 - 3(1)^2 + 3(1) + C_2 = 2 - 3 + 3 + C_2 = 2 + C_2 = 5$
$C_2 = 3$

Svar: $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 3x + 3$

Sjekk:
- $f'(x) = 6x^2 - 6x + 3$ , så $f'(1) = 6 - 6 + 3 = 3$ ✓
- $f''(x) = 12x - 6$ ✓
- $f(1) = 2 - 3 + 3 + 3 = 5$ ✓

📝Oppgave 3.7.2b

Bestem funksjonen $f(x)$ frå den gitte andrederiverte og vilkåra.

f''(x) = 6x

f'(0) = 2

f(0) = 1

f''(x) = 2

f'(1) = 0

f(1) = 3

f''(x) = e^x

f'(0) = 1

f(0) = 0

Løs oppgaven Tren

Arealet under grafen som funksjon av $x$

Vi har tidlegare brukt det bestemte integralet til å rekne ut arealet under ein graf mellom to faste grenser. No skal vi sjå på arealet som ein funksjon der den øvre grensa varierer.

Dersom vi lèt $x$ vere den øvre grensa, får vi ein arealfunksjon som fortel oss arealet frå eit fast startpunkt $a$ til ei variabel øvre grense $x$ .

Arealfunksjonen

f(t) \geq 0

📜Fundamentalteoremet i analysen (del 1)

Dersom

f

er kontinuerleg på

[a, b]

A(x) = \int_a^x f(t)\,dt

, så er:

$A'(x) = f(x)$

Med andre ord: Den deriverte av arealfunksjonen er lik integranden.

Dette tyder at vekstfarten til arealet i punktet $x$ er lik funksjonsverdien $f(x)$ i det punktet.

✏️Døme 3: Analysere ein arealfunksjon

Lat $f(t) = t^2$ og definer arealfunksjonen $A(x) = \int_0^x t^2\,dt$ .

a) Rekn ut $A(x)$ eksplisitt.
b) Finn $A'(x)$ ved å derivere svaret frå a).
c) Verifiser at $A'(x) = f(x)$ .
d) Rekn ut $A(1)$ , $A(2)$ og $A(3)$ , og forklar kva tala tyder geometrisk.

Løysing:

a) Vi reknar ut det bestemte integralet:
$A(x) = \int_0^x t^2\,dt = \left[\frac{t^3}{3}\right]_0^x = \frac{x^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{x^3}{3}$

b) Vi deriverer:
$A'(x) = \left(\frac{x^3}{3}\right)' = \frac{3x^2}{3} = x^2$

c) Vi ser at $A'(x) = x^2 = f(x)$ ✓

Dette stemmer med fundamentalteoremet i analysen.

d) Vi reknar ut:
- $\displaystyle A(1) = \frac{1^3}{3} = \frac{1}{3}$ : Arealet under $f(t) = t^2$ frå $t = 0$ til $t = 1$
- $\displaystyle A(2) = \frac{2^3}{3} = \frac{8}{3}$ : Arealet frå $t = 0$ til $t = 2$
- $\displaystyle A(3) = \frac{3^3}{3} = 9$ : Arealet frå $t = 0$ til $t = 3$

Vi ser at arealet veks raskt etter kvart som $x$ aukar.

📝Oppgave 3.7.3

Lat $A(x) = \int_1^x (2t + 1)\,dt$ for $x \geq 1$ .

Rekn ut $A(x)$ eksplisitt

Finn $A'(x)$ og verifiser at $A'(x) = 2x + 1$

For kva for ein verdi av $x$ er $A(x) = 0$ ?

Rekn ut $A(3)$ og forklar kva talet tyder

Løs oppgaven Tren

Fundamentalteoremet med kjerneregel

Kva om den øvre grensa ikkje berre er $x$ , men ein funksjon $g(x)$ ?

Til dømes, kva er den deriverte av $A(x) = \int_0^{x^2} f(t)\,dt$ ?

Her må vi bruke kjerneregelen.

📜Fundamentalteoremet med kjerneregel

Dersom

f

er kontinuerleg og

g

er deriverbar, så er:

$\frac{d}{dx}\left[\int_a^{g(x)} f(t)\,dt\right] = f(g(x)) \cdot g'(x)$

Forklaring: Vi deriverer først med omsyn på den øvre grensa (gjev $f(g(x))$ ), og multipliserer med den deriverte av sjølve grensa (kjerneregelen).

✏️Døme 3b: Derivere integral med variabel grense

Finn den deriverte av:

a) $A(x) = \int_0^{x^2} t^3\,dt$

b) $B(x) = \int_1^{\sin x} e^t\,dt$

c) $C(x) = \int_{x}^{x^2} t\,dt$

Løysing:

a) Her er $f(t) = t^3$ og $g(x) = x^2$ , så $g'(x) = 2x$ .

$A'(x) = f(g(x)) \cdot g'(x) = (x^2)^3 \cdot 2x = x^6 \cdot 2x = 2x^7$

b) Her er $f(t) = e^t$ og $g(x) = \sin x$ , så $g'(x) = \cos x$ .

$B'(x) = f(\sin x) \cdot \cos x = e^{\sin x} \cdot \cos x$

c) Her må vi splitte integralet:
$C(x) = \int_{x}^{x^2} t\,dt = \int_0^{x^2} t\,dt - \int_0^{x} t\,dt$

$C'(x) = x^2 \cdot 2x - x \cdot 1 = 2x^3 - x$

Sjekk c): Vi kan òg rekne ut $C(x)$ eksplisitt:
$C(x) = \left[\frac{t^2}{2}\right]_x^{x^2} = \frac{x^4}{2} - \frac{x^2}{2}$
$C'(x) = 2x^3 - x \; \checkmark$

📝Oppgave 3.7.3b

Finn den deriverte av følgjande integralfunksjonar.

F(x) = \int_0^{x^3} \sqrt{t}\,dt

\displaystyle G(x) = \int_1^{e^x} \frac{1}{t}\,dt

H(x) = \int_{x}^{2x} t^2\,dt

K(x) = \int_0^{\cos x} e^{t^2}\,dt

Løs oppgaven Tren

Analysere korleis arealet veks

Arealfunksjonen $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ fortel oss kor raskt arealet blir akkumulert. Sidan $A'(x) = f(x)$ , kan vi bruke eigenskapane til $f$ til å forstå veksten til $A$ :

- Når $f(x) > 0$ : Arealet $A$ veks (fordi $A'(x) > 0$ )
- Når $f(x) < 0$ : Arealet $A$ minkar (fordi $A'(x) < 0$ )
- Når $f(x) = 0$ : Arealet $A$ har eit mogleg ekstremalpunkt

Dette gjev ei djupare forståing av samanhengen mellom ein funksjon og integralet hans.

✏️Døme 4: Vekst av arealfunksjonen

Lat $f(t) = 4 - t$ og $A(x) = \int_0^x (4-t)\,dt$ for $0 \leq x \leq 6$ .

a) Rekn ut $A(x)$ eksplisitt.
b) Når veks $A(x)$ ? Når minkar $A(x)$ ?
c) Finn maksimumspunktet til $A(x)$ og forklar kvifor dette skjer.
d) Skisser grafane til $f$ og $A$ i same koordinatsystem.

Løysing:

a) Vi integrerer:
$A(x) = \int_0^x (4-t)\,dt = \left[4t - \frac{t^2}{2}\right]_0^x = 4x - \frac{x^2}{2}$

b) Vi veit at $A'(x) = f(x) = 4 - x$ .

- $A'(x) > 0$ når $4 - x > 0$ , dvs. når $x < 4$ : $A$ veks
- $A'(x) < 0$ når $4 - x < 0$ , dvs. når $x > 4$ : $A$ minkar

c) Maksimum skjer når $A'(x) = 0$ , dvs. når $x = 4$ .

$A(4) = 4 \cdot 4 - \frac{16}{2} = 16 - 8 = 8$

Maksimumspunktet er $(4, 8)$ .

Forklaring: Når $x = 4$ kryssar $f(t) = 4 - t$ $t$ -aksen. For $t > 4$ er $f(t) < 0$ , og areal under $x$ -aksen blir trekt frå. Difor byrjar totalarealet å minke etter $x = 4$ .

d) Grafen til $f(t) = 4 - t$ er ei rett linje som minkar frå $(0, 4)$ og kryssar $t$ -aksen i $(4, 0)$ .
Grafen til $\displaystyle A(x) = 4x - \frac{x^2}{2}$ er ein parabel med topp i $(4, 8)$ .

📝Oppgave 3.7.4

Lat $f(t) = t^2 - 4$ og $A(x) = \int_0^x (t^2 - 4)\,dt$ for $x \geq 0$ .

Rekn ut $A(x)$ eksplisitt

For kva for verdiar av $x$ veks $A(x)$ ?

Finn eventuelle ekstremalpunkt til $A(x)$ for $x \geq 0$

Kva fortel det negative arealet $A(2)$ oss?

Løs oppgaven Tren

Gjennomsnittsverdien til ein funksjon

Integralet kan brukast til å finne gjennomsnittsverdien til ein funksjon over eit intervall. Dette er viktig i mange praktiske samanhengar.

Gjennomsnittsverdi av ein funksjon

f

✏️Døme 4b: Gjennomsnittsverdi

Temperaturen i eit rom over ein 6-timarsperiode er gitt ved $\displaystyle T(t) = 20 + 4\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right)$ grader Celsius, der $t$ er tida i timar frå $t = 0$ til $t = 6$ .

a) Finn gjennomsnittstemperaturen over dei 6 timane.
b) Når er temperaturen lik gjennomsnittet?

Løysing:

a) Gjennomsnittstemperaturen er:
$\bar{T} = \frac{1}{6-0} \int_0^6 \left(20 + 4\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right)\right)\,dt$

Vi reknar ut integralet:
$\int_0^6 \left(20 + 4\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right)\right)\,dt = \left[20t - \frac{24}{\pi}\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)\right]_0^6$

$= \left(120 - \frac{24}{\pi}\cos(\pi)\right) - \left(0 - \frac{24}{\pi}\cos(0)\right)$

$= 120 - \frac{24}{\pi}(-1) + \frac{24}{\pi}(1) = 120 + \frac{48}{\pi}$

Gjennomsnittet:
$\bar{T} = \frac{1}{6}\left(120 + \frac{48}{\pi}\right) = 20 + \frac{8}{\pi} \approx 22{,}55°C$

b) Vi løyser $T(t) = \bar{T}$ :
$20 + 4\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right) = 20 + \frac{8}{\pi}$
$\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right) = \frac{2}{\pi}$
$\frac{\pi t}{6} = \arcsin\left(\frac{2}{\pi}\right) \approx 0{,}69$
$t \approx 1{,}32 \text{ timar}$

Temperaturen er òg lik gjennomsnittet ved $t = 6 - 1{,}32 = 4{,}68$ timar (symmetri).

📝Oppgave 3.7.4b

Finn gjennomsnittsverdien til følgjande funksjonar på dei gitte intervalla.

f(x) = x^2

på

[0, 3]

g(x) = e^x

på

[0, 1]

h(x) = \cos x

på

[0, \pi]

Forklar geometrisk kvifor svaret i c) er null

Løs oppgaven Tren

Kombinere derivasjon og integrasjon i drøfting

Ei fullstendig funksjonsdrøfting kan involvere både derivasjon og integrasjon. Vi kan:

1. Gå frå $f$ til $f'$ (derivasjon): Finne stigingsforhold, ekstremalpunkt, vendepunkt
2. Gå frå $f'$ til $f$ (integrasjon): Rekonstruere $f$ frå vekstfarten
3. Gå frå $f$ til arealfunksjonen: Analysere akkumulerte verdiar

Denne fleksibiliteten er særleg nyttig når vi arbeider med praktiske problem der vi får oppgitt ulike typar informasjon.

📜Kjedegang gjennom funksjonshierarkiet

For ein tre gonger deriverbar funksjon

f

har vi følgjande samanheng:

$\cdots \xleftarrow{\int} f''(x) \xleftarrow{\int} f'(x) \xleftarrow{\int} f(x) \xleftarrow{\int} F(x) \xleftarrow{\int} \cdots$

$\cdots \xrightarrow{\frac{d}{dx}} f''(x) \xrightarrow{\frac{d}{dx}} f'(x) \xrightarrow{\frac{d}{dx}} f(x) \xrightarrow{\frac{d}{dx}} F(x) \xrightarrow{\frac{d}{dx}} \cdots$

Kvar pil representerer anten derivasjon (høgre) eller integrasjon (venstre).

✏️Døme 5: Fullstendig drøfting

Ein funksjon $f$ oppfyller $f''(x) = 6x$ , $f'(0) = 2$ og $f(0) = 1$ .

a) Finn $f'(x)$ .
b) Finn $f(x)$ .
c) Finn nullpunkta til $f$ .
d) Finn ekstremalpunkta til $f$ og avgjer om dei er maksimum eller minimum.
e) Finn arealfunksjonen $A(x) = \int_0^x f(t)\,dt$ .

Løysing:

a) Vi integrerer $f''(x)$ :
$f'(x) = \int 6x\,dx = 3x^2 + C_1$
Frå $f'(0) = 2$ : $3 \cdot 0^2 + C_1 = 2 \Rightarrow C_1 = 2$
$f'(x) = 3x^2 + 2$

b) Vi integrerer $f'(x)$ :
$f(x) = \int (3x^2 + 2)\,dx = x^3 + 2x + C_2$
Frå $f(0) = 1$ : $0 + 0 + C_2 = 1 \Rightarrow C_2 = 1$
$f(x) = x^3 + 2x + 1$

c) Nullpunkt: $x^3 + 2x + 1 = 0$

Ved numerisk metode eller CAS finn vi eitt reelt nullpunkt ca. $x \approx -0{,}453$ .

d) Ekstremalpunkt: $f'(x) = 3x^2 + 2 = 0$ gjev $\displaystyle x^2 = -\frac{2}{3}$ , som ikkje har reelle løysingar.

Sidan $f'(x) = 3x^2 + 2 > 0$ for alle $x$ , har $f$ ingen ekstremalpunkt.

e) Arealfunksjonen:
$A(x) = \int_0^x (t^3 + 2t + 1)\,dt = \left[\frac{t^4}{4} + t^2 + t\right]_0^x = \frac{x^4}{4} + x^2 + x$

📝Oppgave 3.7.5

Ein funksjon $g$ oppfyller $g''(x) = 12x - 6$ , $g'(1) = 0$ og $g(1) = 2$ .

Finn $g'(x)$

Finn $g(x)$

Finn og klassifiser alle ekstremalpunkta til $g$

Finn $\int_0^1 g(x)\,dx$ og tolk svaret geometrisk

Løs oppgaven Tren

Skissere graf frå informasjon om den deriverte

Ofte får vi informasjon om $f'(x)$ (anten som formel, graf eller tabell) og skal bruke dette til å teikne grafen til $f(x)$ . Her bruker vi integrasjon implisitt.

Nøkkelprinsipp:
- $f'(x) > 0$ tyder at $f$ stig
- $f'(x) < 0$ tyder at $f$ minkar
- $f'(x) = 0$ kan vere eit ekstremalpunkt for $f$
- $f'$ skiftar forteikn i eit ekstremalpunkt for $f$
- Stor $|f'(x)|$ tyder bratt graf, liten $|f'(x)|$ tyder slak graf

✏️Døme 5b: Skissere f frå grafen til f'

Grafen til $f'(x)$ er ein parabel med toppunkt i $(1, 4)$ som kryssar $x$ -aksen i $x = -1$ og $x = 3$ . Vi veit at $f(0) = 2$ .

a) Finn eit uttrykk for $f'(x)$ .
b) Finn $f(x)$ .
c) Finn ekstremalpunkta til $f$ .
d) Skisser grafen til $f$ .

Løysing:

a) Ein parabel med nullpunkt i $x = -1$ og $x = 3$ kan skrivast:
$f'(x) = a(x+1)(x-3)$

Toppunktet er i $x = 1$ (midt mellom nullpunkta). Der er $f'(1) = 4$ :
$f'(1) = a(1+1)(1-3) = a \cdot 2 \cdot (-2) = -4a = 4$
$a = -1$

Så $f'(x) = -(x+1)(x-3) = -(x^2 - 2x - 3) = -x^2 + 2x + 3$

b) Vi integrerer:
$f(x) = \int(-x^2 + 2x + 3)\,dx = -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x + C$

Frå $f(0) = 2$ : $0 + 0 + 0 + C = 2$ , så $C = 2$ .

$f(x) = -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x + 2$

c) Ekstremalpunkt der $f'(x) = 0$ : $x = -1$ og $x = 3$

- For $x < -1$ : $f'(x) < 0$ (minkar)
- For $-1 < x < 3$ : $f'(x) > 0$ (stig)
- For $x > 3$ : $f'(x) < 0$ (minkar)

Så: Minimum i $x = -1$ og maksimum i $x = 3$ .

$\displaystyle f(-1) = \frac{1}{3} + 1 - 3 + 2 = \frac{1}{3}$

$f(3) = -9 + 9 + 9 + 2 = 11$

d) Grafen til $f$ har minimum $\displaystyle (−1, \frac{1}{3})$ , maksimum $(3, 11)$ , og går gjennom $(0, 2)$ .

📝Oppgave 3.7.5b

Grafen til $f'(x)$ går gjennom punkta $(-2, 0)$ , $(0, -4)$ og $(2, 0)$ , og er ein parabel. Vi veit at $f(0) = 0$ .

Finn $f'(x)$

Finn $f(x)$

Finn og klassifiser ekstremalpunkta til $f$

Finn vendepunktet til $f$

Løs oppgaven Tren

Tolking av integral i kontekst

Integral har viktige tolkingar i mange fagfelt:

Fysikk:
- Dersom $v(t)$ er fart, er $\int_a^b v(t)\,dt$ tilbakelagd strekning (med forteikn)
- Dersom $a(t)$ er akselerasjon, er $\int_a^b a(t)\,dt$ endring i fart
- Dersom $P(t)$ er effekt, er $\int_a^b P(t)\,dt$ arbeid/energi

Økonomi:
- Dersom $r(t)$ er ei rente (momentan vekstrate), er $\int_a^b r(t)\,dt$ total akkumulert vekst
- Dersom $MC(x)$ er marginalkostnad, er $\int_a^b MC(x)\,dx$ endring i totalkostnad

Generelt: Integralet av ein rate gjev den totale mengda.

Integral som akkumulert mengd

r(t)

✏️Døme 6: Fysikk - rørsle

Ein partikkel rører seg langs ei rett linje med fart $v(t) = 3t^2 - 6t$ m/s for $t \geq 0$ .

a) Finn posisjonen $s(t)$ gitt at $s(0) = 2$ m.
b) Finn den totale tilbakelagde strekninga i løpet av dei første 4 sekunda.
c) Finn nettoforflytning (endring i posisjon) frå $t = 0$ til $t = 4$ .

Løysing:

a) Posisjonen er integralet av farten:
$s(t) = \int v(t)\,dt = \int (3t^2 - 6t)\,dt = t^3 - 3t^2 + C$
Frå $s(0) = 2$ : $0 - 0 + C = 2 \Rightarrow C = 2$
$s(t) = t^3 - 3t^2 + 2$

b) Total tilbakelagd strekning tek omsyn til retningsskifte.

$v(t) = 3t^2 - 6t = 3t(t - 2) = 0$ når $t = 0$ eller $t = 2$ .

- For $0 < t < 2$ : $v(t) < 0$ (partikkelen rører seg bakover)
- For $t > 2$ : $v(t) > 0$ (partikkelen rører seg framover)

Total strekning:
$\int_0^4 |v(t)|\,dt = \int_0^2 |3t^2 - 6t|\,dt + \int_2^4 |3t^2 - 6t|\,dt$
$= -\int_0^2 (3t^2 - 6t)\,dt + \int_2^4 (3t^2 - 6t)\,dt$
$= -[t^3 - 3t^2]_0^2 + [t^3 - 3t^2]_2^4$
$= -(8 - 12 - 0) + (64 - 48 - 8 + 12)$
$= -(-4) + 20 = 4 + 20 = 24 \text{ m}$

c) Nettoforflytning:
$\int_0^4 v(t)\,dt = [t^3 - 3t^2]_0^4 = 64 - 48 = 16 \text{ m}$

Eller: $s(4) - s(0) = (64 - 48 + 2) - 2 = 16$ m

📝Oppgave 3.7.6

Ein bil har akselerasjon $a(t) = 6 - 2t$ m/s $^2$ for $t \geq 0$ . Ved $t = 0$ har bilen fart $v(0) = 10$ m/s og posisjon $s(0) = 0$ m.

Finn fartsfunksjonen $v(t)$

Finn posisjonsfunksjonen $s(t)$

Når stoppar bilen?

Kor langt har bilen køyrt når han stoppar?

Løs oppgaven Tren

✏️Døme 7: Økonomi - marginalanalyse

Ei bedrift har marginalkostnad gitt ved $MC(x) = 3x^2 - 12x + 15$ kroner per eining, der $x$ er talet på einingar som er produsert. Dei faste kostnadene (kostnaden ved $x = 0$ ) er 1000 kr.

a) Finn totalkostnadsfunksjonen $K(x)$ .
b) Kor mykje kostar det å produsere dei første 10 einingane?
c) Kor mykje kostar det å auke produksjonen frå 10 til 20 einingar?

Løysing:

a) Totalkostnaden er integralet av marginalkostnaden:
$K(x) = \int MC(x)\,dx = \int (3x^2 - 12x + 15)\,dx = x^3 - 6x^2 + 15x + C$

Faste kostnader: $K(0) = 1000$ , så $C = 1000$ .
$K(x) = x^3 - 6x^2 + 15x + 1000$

b) Kostnad for dei første 10 einingane:
$K(10) = 1000 - 600 + 150 + 1000 = 1550 \text{ kr}$

(Merk: Vi reknar $K(10) = 10^3 - 6 \cdot 10^2 + 15 \cdot 10 + 1000 = 1000 - 600 + 150 + 1000 = 1550$ )

c) Kostnadsauke frå 10 til 20 einingar:
$K(20) - K(10) = \int_{10}^{20} MC(x)\,dx = \int_{10}^{20} (3x^2 - 12x + 15)\,dx$
$= [x^3 - 6x^2 + 15x]_{10}^{20}$
$= (8000 - 2400 + 300) - (1000 - 600 + 150)$
$= 5900 - 550 = 5350 \text{ kr}$

Alternativt: $K(20) = 20^3 - 6 \cdot 20^2 + 15 \cdot 20 + 1000 = 8000 - 2400 + 300 + 1000 = 6900$ kr
$K(20) - K(10) = 6900 - 1550 = 5350$ kr ✓

📝Oppgave 3.7.7

Ei bedrift har marginalinntekt $MR(x) = 100 - 2x$ kroner per eining, der $x$ er talet på einingar som er selt.

Finn totalinntektsfunksjonen $R(x)$ gitt at $R(0) = 0$

Finn gjennomsnittsinntekta per eining, $\displaystyle \overline{R}(x) = \frac{R(x)}{x}$

For kva for ein verdi av $x$ er totalinntekta størst?

Rekn ut den maksimale totalinntekta

Løs oppgaven Tren

✏️Døme 7b: Fritt fall med luftmotstand

Ein gjenstand blir sleppt frå ro og fell med akselerasjon $a(t) = g - kv(t)$ , der $g = 10$ m/s $^2$ er tyngdeakselerasjonen og $k = 0{,}5$ s $^{-1}$ er ein luftmotstandskonstant.

For små fartar kan vi tilnærme $a(t) \approx 10 - 0{,}5 \cdot 10t = 10 - 5t$ m/s $^2$ for $0 \leq t \leq 2$ s.

a) Finn $v(t)$ for $0 \leq t \leq 2$ .
b) Finn $s(t)$ (fallhøgd) for $0 \leq t \leq 2$ .
c) Kor langt har gjenstanden falle etter 2 sekund?

Løysing:

a) Farten er integralet av akselerasjonen:
$v(t) = \int (10 - 5t)\,dt = 10t - \frac{5t^2}{2} + C$

Frå $v(0) = 0$ (blir sleppt frå ro): $C = 0$

$v(t) = 10t - 2{,}5t^2$

b) Fallhøgda er integralet av farten:
$s(t) = \int (10t - 2{,}5t^2)\,dt = 5t^2 - \frac{2{,}5t^3}{3} + C$

Frå $s(0) = 0$ : $C = 0$

$s(t) = 5t^2 - \frac{5t^3}{6}$

c) Etter 2 sekund:
$s(2) = 5 \cdot 4 - \frac{5 \cdot 8}{6} = 20 - \frac{40}{6} = 20 - 6{,}67 \approx 13{,}3 \text{ m}$

Samanlikning: Utan luftmotstand ville $\displaystyle s(2) = \frac{1}{2}gt^2 = 5 \cdot 4 = 20$ m.
Luftmotstanden har redusert fallet med ca. 6,7 m.

📝Oppgave 3.7.7b

Ein rakett blir skoten rett opp med startfart $v_0 = 50$ m/s. Akselerasjonen er $a(t) = -10$ m/s $^2$ (tyngdekrafta).

Finn $v(t)$

Finn høgda $h(t)$ når $h(0) = 0$

Når er raketten på sitt høgaste?

Kva er maksimal høgd?

Når treffer raketten bakken?

Løs oppgaven Tren

Eksamensrelevante oppgåver

Funksjonsdrøfting med integrasjon er eit viktig tema på eksamen i R2. Typiske oppgåvetypar inkluderer:

1. Finne $f(x)$ når $f'(x)$ og eit punkt er gitt
2. Drøfte arealfunksjonar og tolke resultat
3. Kombinere derivasjon og integrasjon i same oppgåve
4. Nytte integral i praktiske kontekstar
5. Vise samanhengar mellom $f$ , $f'$ , $f''$ og integral
6. Tolke grafar av $f'$ for å forstå $f$

Dei følgjande oppgåvene er typiske eksamensoppgåver som testar fleire aspekt av dette temaet.

✏️Døme 8: Eksamensoppgåve

Grafen til $f'(x)$ er vist. Funksjonen $f'$ er gitt ved $f'(x) = -x^2 + 4$ .

a) Bestem $f(x)$ når $f(0) = 3$ .
b) Finn nullpunkta til $f$ .
c) Finn og klassifiser ekstremalpunkta til $f$ .
d) Rekn ut arealet av området mellom grafen til $f$ og $x$ -aksen for $-2 \leq x \leq 2$ .

Løysing:

a) Vi integrerer:
$f(x) = \int (-x^2 + 4)\,dx = -\frac{x^3}{3} + 4x + C$
Frå $f(0) = 3$ : $0 + 0 + C = 3 \Rightarrow C = 3$
$f(x) = -\frac{x^3}{3} + 4x + 3$

b) Nullpunkt: $\displaystyle -\frac{x^3}{3} + 4x + 3 = 0$

Multipliser med $-3$ : $x^3 - 12x - 9 = 0$

Ved CAS eller numerisk metode finn vi $x \approx -2{,}81$ , $x \approx -0{,}73$ og $x \approx 3{,}54$ .

c) Ekstremalpunkt: $f'(x) = -x^2 + 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2$

$f''(x) = -2x$
- $f''(-2) = 4 > 0$ : Minimum i $x = -2$
- $f''(2) = -4 < 0$ : Maksimum i $x = 2$

$\displaystyle f(-2) = -\frac{(-2)^3}{3} + 4(-2) + 3 = \frac{8}{3} - 8 + 3 = \frac{8}{3} - 5 = -\frac{7}{3}$

$\displaystyle f(2) = -\frac{8}{3} + 8 + 3 = -\frac{8}{3} + 11 = \frac{25}{3}$

Minimum: $\displaystyle (-2, -\frac{7}{3})$ , Maksimum: $\displaystyle (2, \frac{25}{3})$

d) Sidan $f(-2) < 0$ og $f(2) > 0$ , må vi finne kvar grafen kryssar $x$ -aksen mellom $-2$ og $2$ .

Frå b) veit vi at det er eit nullpunkt ca. $x_0 \approx -0{,}73$ .

Areal $= \left|\int_{-2}^{x_0} f(x)\,dx\right| + \int_{x_0}^{2} f(x)\,dx$

$\displaystyle \int f(x)\,dx = -\frac{x^4}{12} + 2x^2 + 3x + C$

Med numerisk utrekning blir arealet ca. $\approx 11{,}6$ .

📝Oppgave 3.7.8

Ein funksjon $f$ er gitt ved $f'(x) = x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$ . Vi veit at $f(2) = 0$ .

Bestem $f(x)$

Finn og klassifiser ekstremalpunkta til $f$

Finn arealfunksjonen $A(x) = \int_1^x f(t)\,dt$

For kva for verdiar av $x > 1$ er $A(x) = 0$ ?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3.7.9

Vasstanden i ein tank endrar seg med raten $r(t) = 10 - 2t$ liter per minutt, der $t$ er tida i minutt. Ved $t = 0$ er det 50 liter vatn i tanken.

Finn vassmengda $V(t)$ som funksjon av tida

Når er vassmengda størst, og kor mykje vatn er det då?

Når er tanken tom?

Kor mykje vatn renn totalt inn i tanken dei første 5 minutta?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3.7.10

Lat $f(x) = x \cdot e^{-x}$ for $x \geq 0$ .

Vis at $f'(x) = (1-x)e^{-x}$

Finn ekstremalpunkta til $f$

Vis at $\int f(x)\,dx = -(x+1)e^{-x} + C$ ved å derivere høgre side

Rekn ut $\int_0^{\infty} f(x)\,dx$ og tolk resultatet

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3.7.11

Ein funksjon $f$ er gitt ved $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ .

Finn nullpunkta til $f$

Finn ekstremalpunkta til $f$ og avgjer om dei er maksimum eller minimum

Rekn ut $\int_0^2 |f(x)|\,dx$

Finn gjennomsnittet av $f$ på $[0, 2]$

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3.7.12

Lat $G(x) = \int_0^x e^{-t^2}\,dt$ for $x \geq 0$ . (Dette er relatert til feilfunksjonen $\text{erf}$ , som ikkje har elementær antiderivert.)

Finn $G'(x)$

Bestem $G(0)$

Er $G$ voksande eller avtakande for $x > 0$ ? Grunngi.

Finn $G''(x)$ og bestem vendepunktet til $G$

Skisser grafen til $G(x)$ basert på informasjonen ovanfor

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3.7.13

Ei folkemengd veks med raten $r(t) = 1000 \cdot e^{0{,}02t}$ personar per år, der $t$ er talet på år frå no. Folkemengda i dag er 50 000.

Finn folkemengda $P(t)$ som funksjon av $t$

Kor stor er folkemengda om 10 år?

Kor mange fleire personar er det etter 10 år samanlikna med no?

Når doblar folkemengda seg?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3.7.14

Konsumentoverskotet er definert som $KO = \int_0^{x^*} (D(x) - p^*)\,dx$ , der $D(x)$ er etterspurnadsfunksjonen, $p^*$ er marknadsprisen og $x^*$ er selt kvantum. Anta $D(x) = 100 - x^2$ og marknadspris $p^* = 75$ .

Finn selt kvantum $x^*$ ved marknadspris

Rekn ut konsumentoverskotet

Tolk konsumentoverskotet geometrisk

Kva skjer med konsumentoverskotet dersom prisen søkk til $p^* = 64$ ?

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

I dette kapitlet har vi lært:

1. Samanhengen mellom $f$ , $f'$ og $\int f$ :
- Derivasjon og integrasjon er inverse operasjonar
- $\displaystyle \frac{d}{dx}[\int f(x)\,dx] = f(x)$ og $\int f'(x)\,dx = f(x) + C$

2. Bestemme $f(x)$ frå $f'(x)$ :
- Integrer $f'(x)$ og bruk eit kjent punkt til å finne konstanten $C$
- For to vilkår (frå $f''$ ): integrer to gonger med to konstantar

3. Arealfunksjonen $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ :
- $A'(x) = f(x)$ (fundamentalteoremet i analysen)
- Arealet veks når $f(x) > 0$ og minkar når $f(x) < 0$
- Med kjerneregel: $\displaystyle \frac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x)) \cdot g'(x)$

4. Gjennomsnittsverdi:
- $\displaystyle \bar{f} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$

5. Praktiske bruksområde:
- Fysikk: Posisjon frå fart, fart frå akselerasjon
- Økonomi: Totalkostnad frå marginalkostnad, konsumentoverskot
- Generelt: Integralet av ein rate gjev den akkumulerte mengda

Kombinasjonen av derivasjon og integrasjon gjev eit kraftig verktøy for fullstendig funksjonsanalyse.

Tips til eksamen:

1. Les oppgåva nøye - identifiser om du skal derivere, integrere, eller begge delar.

2. Sjekk svara dine - deriver integralet for å verifisere at du får tilbake integranden.

3. Ikkje gløym konstantane - kvar integrasjon gjev ein ny konstant $C$ .

4. Bruk initialvilkår - set alltid inn kjende verdiar for å finne $C$ .

5. Teikn skisse - ein graf hjelper deg å forstå problemet og verifisere svar.

6. Forteiknsanalyse - bruk forteiknet til $f'$ for å bestemme vekst/avtaking av $f$ .

7. Fysiske einingar - i praktiske problem, sjekk at einingane stemmer.

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Funksjonsdrøfting med integrasjon

Samanhengen mellom fff, f′f'f′ og ∫f\int f∫f

Bestemme f(x)f(x)f(x) når f′(x)f'(x)f′(x) og eit punkt er gitt

Fleire initialvilkår

Arealet under grafen som funksjon av xxx

Fundamentalteoremet med kjerneregel

Analysere korleis arealet veks

Gjennomsnittsverdien til ein funksjon

Kombinere derivasjon og integrasjon i drøfting

Skissere graf frå informasjon om den deriverte

Tolking av integral i kontekst

Eksamensrelevante oppgåver

Oppsummering

Samanhengen mellom $f$ , $f'$ og $\int f$

Bestemme $f(x)$ når $f'(x)$ og eit punkt er gitt

Arealet under grafen som funksjon av $x$