3.7 Funksjonsdrøfting med integrasjon

Hele bildet: opp og ned trappen

Gjennom R1 og R2 har du bygget en trapp av operasjoner: derivasjon tar deg ett trinn ned — fra $f$ til $f'$, fra posisjon til fart, fra kostnad til marginalkostnad. Integrasjon tar deg ett trinn opp igjen. Til nå har du stort sett gått trappen i én retning om gangen. I dette siste kapittelet går vi begge veier i samme oppgave — og det er da funksjonsdrøftingen blir komplett.

Tenk på alt du nå kan hente ut: kjenner du $f'$, gir integrasjon deg $f$ tilbake — så nær som en konstant, som et kjent punkt spikrer fast. Kjenner du $f$, forteller arealfunksjonen $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ hvordan akkumulerte mengder vokser — og fundamentalsetningen sier at $A$ vokser og synker i takt med fortegnet til $f$. Og i den virkelige verden: fart blir posisjon, akselerasjon blir fart, marginalkostnad blir totalkostnad — integralet av en rate er alltid den akkumulerte mengden.

Dette kapittelet er R2-analysens finale: rekonstruksjon av funksjoner, arealfunksjoner med kjerneregel, gjennomsnittsverdier, og anvendelser i fysikk og økonomi.

Rekonstruksjon: fra $f'$ tilbake til $f$

Integrasjon opphever derivasjon — nesten: $\int f'(x)\,dx = f(x) + C$. Den løse konstanten betyr at $f'$ alene aldri bestemmer $f$; vi trenger ett holdepunkt, typisk et punkt på grafen. Oppskriften: integrer, sett inn punktet, løs for $C$.

Eksempel: $f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$ og grafen går gjennom $(2, 5)$. Integrasjon gir $f(x) = x^3 - 2x^2 + x + C$, og kravet $f(2) = 5$ gir $8 - 8 + 2 + C = 5$, altså $C = 3$:

$$f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3$$

Starter vi enda lenger ned — fra $f''$ — må vi opp to trinn, og hvert trinn har sin egen konstant. Da trengs to betingelser. Eksempel: $f''(x) = 12x - 6$ med $f'(1) = 3$ og $f(1) = 5$. Første integrasjon: $f'(x) = 6x^2 - 6x + C_1$, og $f'(1) = 3$ gir $C_1 = 3$. Andre integrasjon: $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 3x + C_2$, og $f(1) = 5$ gir $C_2 = 3$. Ferdig — og alltid med gratis fasitkontroll: deriver svaret to ganger og sjekk begge betingelsene.

Dette er mer enn algebra-akrobatikk. Grafen til $f'$ alene forteller mye om $f$ — stiger der $f' > 0$, synker der $f' < 0$, ekstremalpunkter der $f'$ skifter fortegn — men først med et kjent punkt kan hele grafen tegnes. Eksempel: er $f'$ parabelen $-(x+1)(x-3) = -x^2 + 2x + 3$ og $f(0) = 2$, gir integrasjonen $\displaystyle f(x) = -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x + 2$, med minimum i $x = -1$ og maksimum i $x = 3$ — akkurat der $f'$ krysser aksen.

Arealfunksjonen — og kjerneregelen på grensen

Fundamentalsetningens del 1 fortjener et gjensyn med drøftingsbriller. Arealfunksjonen $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ måler akkumulert areal, og $A'(x) = f(x)$. Det betyr at hele drøftingsapparatet kan brukes på $A$: den vokser der $f > 0$, synker der $f < 0$, og har ekstremalpunkter der $f$ skifter fortegn.

Konkret: la $f(t) = 4 - t$ og $\displaystyle A(x) = \int_0^x (4-t)\,dt = 4x - \frac{x^2}{2}$ for $0 \leq x \leq 6$. Siden $A' = f$, vokser $A$ frem til $x = 4$ — der $f$ krysser aksen — og synker etterpå: maksimum $A(4) = 8$. Tolkningen er fysisk klar: etter $x = 4$ kommer arealbidragene under aksen, og de trekker fra.

Hva om øvre grense ikke er $x$, men en funksjon $g(x)$? Da må kjerneregelen på banen:

$$\frac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x)) \cdot g'(x)$$

Eksempel: $\displaystyle \frac{d}{dx}\int_0^{x^2} t^3\,dt = (x^2)^3 \cdot 2x = 2x^7$, og $\displaystyle \frac{d}{dx}\int_1^{\sin x} e^t\,dt = e^{\sin x}\cos x$. Er begge grensene variable, splittes integralet først: $\int_x^{x^2} t\,dt$ deriveres til $x^2 \cdot 2x - x \cdot 1 = 2x^3 - x$.

I samme ånd definerer integralet gjennomsnittsverdien av en funksjon: $\displaystyle \bar{f} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$ — arealet fordelt jevnt utover. Romtemperaturen $\displaystyle T(t) = 20 + 4\sin\frac{\pi t}{6}$ over seks timer har gjennomsnitt $\displaystyle \bar{T} = \frac{1}{6}\left(120 + \frac{48}{\pi}\right) = 20 + \frac{8}{\pi} \approx 22{,}55$ °C — ikke $20$, for sinusbuen ligger over $20$ hele perioden $[0,6]$.

Rater og mengder: fysikk og økonomi

Den store samlende ideen til slutt: integralet av en rate er den akkumulerte mengden. Hastighet er endringsrate for posisjon, så $\int v\,dt$ er forflytning; akselerasjon er rate for hastighet; marginalkostnad er rate for totalkostnad; effekt er rate for energi. Alt du lærte om fortegn og oppdeling i kapittel 2.6, følger med på kjøpet.

Fysikk: En partikkel har $v(t) = 3t^2 - 6t$ m/s og starter i $s(0) = 2$. Posisjonen: $s(t) = t^3 - 3t^2 + 2$ (integrasjon pluss startbetingelse). Nullpunktene $v = 3t(t-2)$ viser at partikkelen rygger på $(0,2)$ og går frem etter $t = 2$. Total strekning på $[0,4]$ krever derfor oppdeling: $\left|\int_0^2 v\,dt\right| + \int_2^4 v\,dt = 4 + 20 = 24$ m, mens netto forflytning er $\int_0^4 v\,dt = 16$ m. To spørsmål, to svar — som alltid.

Økonomi: Marginalkostnaden $MC(x) = 3x^2 - 12x + 15$ kr/enhet med faste kostnader $1000$ kr gir totalkostnaden $K(x) = x^3 - 6x^2 + 15x + 1000$ — integrasjon, der den faste kostnaden er konstanten $C$ i kjøtt og blod. Kostnaden ved å øke produksjonen fra $10$ til $20$ enheter er $\int_{10}^{20} MC(x)\,dx = K(20) - K(10) = 5350$ kr — fundamentalsetningen som bedriftsøkonomi.

Til eksamen kommer disse trådene gjerne flettet i én oppgave: gitt $f'(x) = -x^2 + 4$ og $f(0) = 3$, finn $f$ (integrasjon: $\displaystyle -\frac{x^3}{3} + 4x + 3$), klassifiser ekstremalpunktene (derivasjon: minimum i $x = -2$, maksimum i $x = 2$ via $f''(x) = -2x$), og beregn arealer (integrasjon igjen). Opp og ned trappen i samme oppgave — det er full funksjonsdrøfting, og det er dit hele R2-analysen har siktet.

Oppsummering: analysen samlet

Trappen står ferdig, og du går den nå i begge retninger. Oppover: $\int f'(x)\,dx = f(x) + C$, der hvert kjente punkt spikrer fast én konstant — fra $f''$ trengs to betingelser, én per integrasjon, slik $f''(x) = 12x - 6$ med $f'(1) = 3$ og $f(1) = 5$ ga $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 3x + 3$. Nedover: fortegnet til $f'$ avslører hvor $f$ stiger, synker og snur. Og på tvers: arealfunksjonen $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ drøftes med nøyaktig samme apparat, siden $A' = f$ — med kjerneregelvarianten $\displaystyle \frac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x))g'(x)$ for variable grenser, og gjennomsnittsverdien $\displaystyle \bar{f} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$ som integralets demokratiske fordeling av arealet.

Den samlende innsikten bærer alt: integralet av en rate er den akkumulerte mengden. Fart ble posisjon (og strekning krevde fortegns-oppdeling: $24$ m mot $16$ m netto), marginalkostnad ble totalkostnad med faste kostnader som integrasjonskonstant. Med følger og rekker, induksjon, hele integrasjonsverktøykassen, numerikk, volumer og nå full funksjonsdrøfting har du R2-analysens kjerne på plass — trapp, verktøy og blikket som ser hvilke som trengs når.