3.2 Delvis integrasjon

Integrasjon ved delvis integrasjon.

55 min

15 oppgaver

Delvis integrasjonProduktregel baklengsLIATE

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 15 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.2Ubestemt integral

Innleiing

I førre kapittel lærte vi substitusjon, som er kjerneregelen baklengs. No skal vi lære ein annan viktig integrasjonsteknikk: delvis integrasjon.

Delvis integrasjon blir brukt når vi skal integrere eit produkt av to funksjonar, til dømes $x \cdot e^x$ eller $x \cdot \sin(x)$ .

Idéen er å bruke produktregelen for derivasjon baklengs. Lat oss først hugse produktregelen:

$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$

Viss vi integrerer begge sider, får vi:

$u \cdot v = \int u' \cdot v \, dx + \int u \cdot v' \, dx$

Ved å omorganisere denne likninga, kan vi utleie formelen for delvis integrasjon.

Forkunnskap frå kapittel 4: Døme og oppgåver i dette kapittelet som bruker sinus, cosinus eller tangens, byggjer på radianar og derivasjonsreglane

(\sin x)' = \cos x

(\cos x)' = -\sin x

\displaystyle (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}

frå kapittel 4. Hopp over dei ved første gjennomgang og kom tilbake til dei etter kapittel 4.

Utleiing av formelen

Vi startar med produktregelen:

$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$

Integrerer vi begge sider med omsyn på $x$ :

$\int (u \cdot v)' \, dx = \int u' \cdot v \, dx + \int u \cdot v' \, dx$

Venstre side er berre $u \cdot v$ (integralet av den deriverte gir tilbake funksjonen):

$u \cdot v = \int u' \cdot v \, dx + \int u \cdot v' \, dx$

No løyser vi for $\int u \cdot v' \, dx$ :

$\int u \cdot v' \, dx = u \cdot v - \int u' \cdot v \, dx$

Dette er formelen for delvis integrasjon!

Delvis integrasjon

u = u(x)

✏️Eksempel 1: Integrere

x \cdot e^x

Finn $\displaystyle\int x \cdot e^x \, dx$ .

Løysing:

Vi brukar delvis integrasjon med:
- $u = x \quad \Rightarrow \quad u' = 1$
- $v' = e^x \quad \Rightarrow \quad v = e^x$

Set inn i formelen $\int u \cdot v' \, dx = u \cdot v - \int u' \cdot v \, dx$ :

$\int x \cdot e^x \, dx = x \cdot e^x - \int 1 \cdot e^x \, dx$

$= x \cdot e^x - e^x + C$

$= e^x(x - 1) + C$

Sjekk ved derivasjon:
$(e^x(x-1))' = e^x(x-1) + e^x \cdot 1 = e^x \cdot x - e^x + e^x = x \cdot e^x$ ✓

Svar: $\int x \cdot e^x \, dx = e^x(x - 1) + C$

📝Oppgave 3.2.1

Bruk delvis integrasjon til å finne integrala.

\displaystyle\int x \cdot e^{2x} \, dx

\displaystyle\int x \cdot e^{-x} \, dx

\displaystyle\int 2x \cdot e^x \, dx

Val av $u$ og $v'$

Det viktigaste ved delvis integrasjon er å velje riktig $u$ og $v'$ . Målet er at det nye integralet $\int u' \cdot v \, dx$ skal vere enklare enn det opprinnelege.

Vel $u$ som den faktoren som blir enklare når han vert derivert, og $v'$ som ein faktor du kan integrere:

Faktor i integranden	Vel som	Grunn
$\ln x$	$u$	$\displaystyle (\ln x)' = \frac{1}{x}$ er enklare, medan $\ln x$ er vanskeleg å integrere
polynom ( $x$ , $x^2$ , …)	$u$	graden synk for kvar derivasjon
$e^x$ , $\sin x$ , $\cos x$	$v'$	lette å integrere, og blir ikkje meir kompliserte

Står eit polynom saman med

\ln x

, vel vi

u = \ln x

v'

= polynomet.

✏️Eksempel 2: Integrere

x \cdot \sin(x)

Finn $\displaystyle\int x \cdot \sin(x) \, dx$ .

Løysing:

Faktoren $x$ blir enklare når vi deriverer, og $\sin(x)$ er lett å integrere.

Vi vel:
- $u = x \quad \Rightarrow \quad u' = 1$
- $v' = \sin(x) \quad \Rightarrow \quad v = -\cos(x)$

Delvis integrasjon gir:

$\begin{aligned} &\int x \cdot \sin(x) \, dx \\ = {}&x \cdot (-\cos(x)) - \int 1 \cdot (-\cos(x)) \, dx \end{aligned}$

$= -x \cos(x) + \int \cos(x) \, dx$

$= -x \cos(x) + \sin(x) + C$

Sjekk: $(-x\cos(x) + \sin(x))' = -\cos(x) + x\sin(x) + \cos(x) = x\sin(x)$ ✓

Svar: $\int x \cdot \sin(x) \, dx = -x \cos(x) + \sin(x) + C$

📝Oppgave 3.2.2

Bruk delvis integrasjon til å finne integrala.

\displaystyle\int x \cdot \cos(x) \, dx

\displaystyle\int x \cdot \cos(2x) \, dx

\displaystyle\int x \cdot \sin(3x) \, dx

✏️Eksempel 3: Integrere

\ln(x)

Finn $\displaystyle\int \ln(x) \, dx$ .

Løysing:

Her har vi tilsynelatande berre ein funksjon, men vi kan skrive $\ln(x) = \ln(x) \cdot 1$ .

Vi kan ikkje integrere $\ln(x)$ direkte, men den deriverte $\displaystyle \frac{1}{x}$ er enkel. Difor vel vi $u = \ln(x)$ og $v' = 1$ .

Vi vel:
- $\displaystyle u = \ln(x) \quad \Rightarrow \quad u' = \frac{1}{x}$
- $v' = 1 \quad \Rightarrow \quad v = x$

Delvis integrasjon gir:

$\int \ln(x) \, dx = \ln(x) \cdot x - \int \frac{1}{x} \cdot x \, dx$

$= x \ln(x) - \int 1 \, dx$

$= x \ln(x) - x + C$

$= x(\ln(x) - 1) + C$

Sjekk: $\displaystyle (x\ln(x) - x)' = \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} - 1 = \ln(x) + 1 - 1 = \ln(x)$ ✓

Svar: $\int \ln(x) \, dx = x(\ln(x) - 1) + C$

📝Oppgave 3.2.3

Finn integrala ved å bruke delvis integrasjon.

\displaystyle\int x \cdot \ln(x) \, dx

\displaystyle\int x^2 \cdot \ln(x) \, dx

\displaystyle\int \ln(2x) \, dx

Gjentatt delvis integrasjon

Nokre gonger må vi bruke delvis integrasjon fleire gonger for å løyse eit integral. Dette skjer typisk når vi har eit polynom av grad 2 eller høgare ganga med ein eksponential- eller trigonometrisk funksjon.

Til dømes krev $\int x^2 \cdot e^x \, dx$ to rundar med delvis integrasjon fordi $x^2$ må deriverast to gonger for å bli ein konstant.

✏️Eksempel 4: Gjentatt delvis integrasjon

Finn $\displaystyle\int x^2 \cdot e^x \, dx$ .

Løysing:

Første runde:
- $u = x^2 \quad \Rightarrow \quad u' = 2x$
- $v' = e^x \quad \Rightarrow \quad v = e^x$

$\int x^2 \cdot e^x \, dx = x^2 \cdot e^x - \int 2x \cdot e^x \, dx$

Andre runde (på $\int 2x \cdot e^x \, dx$ ):
- $u = 2x \quad \Rightarrow \quad u' = 2$
- $v' = e^x \quad \Rightarrow \quad v = e^x$

$\int 2x \cdot e^x \, dx = 2x \cdot e^x - \int 2 \cdot e^x \, dx = 2x \cdot e^x - 2e^x$

Set saman:

$\int x^2 \cdot e^x \, dx = x^2 \cdot e^x - (2x \cdot e^x - 2e^x) + C$

$= x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C$

$= e^x(x^2 - 2x + 2) + C$

Sjekk: $(e^x(x^2 - 2x + 2))' = e^x(x^2 - 2x + 2) + e^x(2x - 2) = e^x(x^2 - 2x + 2 + 2x - 2) = x^2 e^x$ ✓

Svar: $\int x^2 \cdot e^x \, dx = e^x(x^2 - 2x + 2) + C$

Tabellbasert delvis integrasjon

Når vi har eit polynom gonga med $e^x$ eller ein trigonometrisk funksjon, kan vi bruke ein tabellbasert metode som gjer utrekninga meir oversiktleg.

Vi set opp ein tabell med tre kolonnar:
1. Forteikn: Vekslande $+$ og $-$
2. Deriverte av $u$ : Deriver til du når 0
3. Integral av $v'$ : Integrer like mange gonger

Svaret får vi ved å multiplisere diagonalt og summere.

✏️Eksempel 5: Tabellbasert metode

Bruk tabellarisk metode til å finne $\displaystyle\int x^3 \cdot e^{2x} \, dx$ .

Løysing:

Vi set opp tabellen med $u = x^3$ (deriverer) og $v' = e^{2x}$ (integrerer):

Forteikn	Deriverte av $u$	Integral av $v'$
$+$	$x^3$	$e^{2x}$
$-$	$3x^2$	$\displaystyle \frac{1}{2}e^{2x}$
$+$	$6x$	$\displaystyle \frac{1}{4}e^{2x}$
$-$	$6$	$\displaystyle \frac{1}{8}e^{2x}$
$+$	$0$	$\displaystyle \frac{1}{16}e^{2x}$

Multipliserer diagonalt (rad 1 med rad 2, rad 2 med rad 3, osv.) og summerer:

\begin{aligned} &\int x^3 \cdot e^{2x} \, dx \\ = {}&(+)x^3 \cdot \frac{1}{2}e^{2x} + (-)3x^2 \cdot \frac{1}{4}e^{2x} \\ &\quad {} + (+)6x \cdot \frac{1}{8}e^{2x} + (-)6 \cdot \frac{1}{16}e^{2x} + C \end{aligned}

= \frac{e^{2x}}{2}x^3 - \frac{3e^{2x}}{4}x^2 + \frac{6e^{2x}}{8}x - \frac{6e^{2x}}{16} + C

= \frac{e^{2x}}{16}(8x^3 - 12x^2 + 12x - 6) + C

= \frac{e^{2x}}{8}(4x^3 - 6x^2 + 6x - 3) + C

Svar:

\displaystyle \int x^3 \cdot e^{2x} \, dx = \frac{e^{2x}}{8}(4x^3 - 6x^2 + 6x - 3) + C

📝Oppgave 3.2.4

Bruk gjentatt delvis integrasjon (eller tabellarisk metode) til å finne integrala.

\displaystyle\int x^2 \cdot \cos(x) \, dx

\displaystyle\int x^2 \cdot e^{-x} \, dx

\displaystyle\int x^3 \cdot e^x \, dx

\displaystyle\int x^2 \cdot \sin(2x) \, dx

Sirkulær delvis integrasjon

Nokre gonger leier delvis integrasjon oss i ein sirkel - vi endar opp med det same integralet vi starta med! Dette skjer typisk med produkt av eksponential- og trigonometriske funksjonar, til dømes $\int e^x \sin(x) \, dx$ .

Løysinga er å setje opp ei likning der integralet vi søkjer etter er det ukjende, og deretter løyse for dette ukjende.

📜Sirkulær delvis integrasjon

Viss vi etter to rundar med delvis integrasjon endar opp med det opprinnelege integralet

I

igjen, set vi opp ei likning og løyser ho for

I

$I = M - c \cdot I \quad \Rightarrow \quad (1 + c)I = M \quad \Rightarrow \quad I = \frac{M}{1 + c}$

der $M$ er mellomresultatet og $c > 0$ er talet framfor $I$ på høgre side.

Viktig: Pass på forteiknet og talet framfor $I$ på høgre side. Står det $+I$ med same koeffisient som på venstre side, har valet av $u$ og $v'$ gått i ring, og vi må velje annleis.

✏️Eksempel 6: Sirkulær delvis integrasjon

Finn $\displaystyle\int e^x \cdot \sin(x) \, dx$ .

Løysing:

La $I = \int e^x \sin(x) \, dx$ .

Første runde:
- $u = e^x \quad \Rightarrow \quad u' = e^x$
- $v' = \sin(x) \quad \Rightarrow \quad v = -\cos(x)$

$\begin{aligned} I &= -e^x \cos(x) - \int (-\cos(x)) \cdot e^x \, dx \\ &= -e^x \cos(x) + \int e^x \cos(x) \, dx \end{aligned}$

Andre runde (på $\int e^x \cos(x) \, dx$ ):
- $u = e^x \quad \Rightarrow \quad u' = e^x$
- $v' = \cos(x) \quad \Rightarrow \quad v = \sin(x)$

$\begin{aligned} &\int e^x \cos(x) \, dx \\ = {}&e^x \sin(x) - \int e^x \sin(x) \, dx \\ = {}&e^x \sin(x) - I \end{aligned}$

Set saman:

$I = -e^x \cos(x) + e^x \sin(x) - I$

$2I = e^x(\sin(x) - \cos(x))$

$I = \frac{e^x(\sin(x) - \cos(x))}{2} + C$

Sjekk: $\displaystyle \left(\frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2}\right)' = \frac{e^x(\sin x - \cos x) + e^x(\cos x + \sin x)}{2} = \frac{2e^x \sin x}{2} = e^x \sin x$ ✓

Svar: $\displaystyle \int e^x \cdot \sin(x) \, dx = \frac{e^x(\sin(x) - \cos(x))}{2} + C$

📝Oppgave 3.2.5

Bruk sirkulær delvis integrasjon til å finne integrala.

\displaystyle\int e^x \cdot \cos(x) \, dx

\displaystyle\int e^{2x} \cdot \sin(x) \, dx

\displaystyle\int e^{-x} \cdot \cos(2x) \, dx

📜Generell formel for

\int e^{ax} \sin(bx) \, dx

\int e^{ax} \cos(bx) \, dx

For konstantar

a

b

gjeld:

$\int e^{ax} \sin(bx) \, dx = \frac{e^{ax}(a\sin(bx) - b\cos(bx))}{a^2 + b^2} + C$

$\int e^{ax} \cos(bx) \, dx = \frac{e^{ax}(a\cos(bx) + b\sin(bx))}{a^2 + b^2} + C$

Merk: Desse formlane kan utleiast ved sirkulær delvis integrasjon, men er nyttige å ha tilgjengelege for å spare tid.

Bestemt integral med delvis integrasjon

Når vi bruker delvis integrasjon på eit bestemt integral, har vi to tilnærmingar:

Metode 1: Finn først det ubestemte integralet, og evaluer deretter ved grensene.

Metode 2: Bruk formelen for delvis integrasjon direkte med grenser:

$\int_a^b u \cdot v' \, dx = \Big[u \cdot v\Big]_a^b - \int_a^b u' \cdot v \, dx$

Metode 2 kan vere meir effektiv fordi vi slepp å halde styr på integrasjonskonstanten.

✏️Eksempel 7: Bestemt integral

Rekn ut $\displaystyle\int_0^1 x \cdot e^x \, dx$ .

Løysing:

Vi brukar formelen $\int_a^b u \cdot v' \, dx = [u \cdot v]_a^b - \int_a^b u' \cdot v \, dx$ .

Med $u = x$ , $u' = 1$ , $v' = e^x$ , $v = e^x$ :

$\int_0^1 x \cdot e^x \, dx = \Big[x \cdot e^x\Big]_0^1 - \int_0^1 1 \cdot e^x \, dx$

$= \Big[x \cdot e^x\Big]_0^1 - \Big[e^x\Big]_0^1$

$= (1 \cdot e^1 - 0 \cdot e^0) - (e^1 - e^0)$

$= e - 0 - e + 1$

$= 1$

Svar: $\int_0^1 x \cdot e^x \, dx = 1$

📝Oppgave 3.2.6

Rekn ut dei bestemte integrala ved hjelp av delvis integrasjon.

\displaystyle\int_0^{\pi} x \cdot \sin(x) \, dx

\displaystyle\int_1^e \ln(x) \, dx

\displaystyle\int_0^2 x \cdot e^{-x} \, dx

\displaystyle\int_1^e x \cdot \ln(x) \, dx

Løs oppgaven

✏️Eksempel 8: Kombinere teknikkar

Finn $\displaystyle\int x^2 \cdot \sin(x) \, dx$ .

Løysing:

Dette krev to rundar med delvis integrasjon.

Første runde:
- $u = x^2 \quad \Rightarrow \quad u' = 2x$
- $v' = \sin(x) \quad \Rightarrow \quad v = -\cos(x)$

$\int x^2 \sin(x) \, dx = -x^2 \cos(x) - \int (-\cos(x)) \cdot 2x \, dx$
$= -x^2 \cos(x) + 2\int x \cos(x) \, dx$

Andre runde (på $\int x \cos(x) \, dx$ ):
- $u = x \quad \Rightarrow \quad u' = 1$
- $v' = \cos(x) \quad \Rightarrow \quad v = \sin(x)$

$\begin{aligned} \int x \cos(x) \, dx &= x \sin(x) - \int \sin(x) \, dx \\ &= x \sin(x) + \cos(x) \end{aligned}$

Set saman:

$\begin{aligned} &\int x^2 \sin(x) \, dx \\ = {}&-x^2 \cos(x) + 2(x \sin(x) + \cos(x)) + C \end{aligned}$
$= -x^2 \cos(x) + 2x \sin(x) + 2\cos(x) + C$
$= (2 - x^2)\cos(x) + 2x\sin(x) + C$

Svar: $\int x^2 \cdot \sin(x) \, dx = (2 - x^2)\cos(x) + 2x\sin(x) + C$

Vanlege feil ved delvis integrasjon

1. Feil val av $u$ og $v'$ :
Viss du vel feil, får du eit vanskelegare integral. Vel

u

slik at

u'

blir enklare enn

u

2. Gløymer forteikn:
Ver nøye med minusteiknet i formelen: $\int u \cdot v' \, dx = uv \mathbf{-} \int u' \cdot v \, dx$

3. Gløymer integrasjonskonstanten:
Hugs alltid $+ C$ på slutten av ubestemte integral.

4. Feil ved sirkulær integrasjon:
Pass på at integralet $I$ dukkar opp med riktig forteikn når du set opp likninga.

5. Stoppar for tidleg:
Ved gjentatt delvis integrasjon, hald fram til polynomet er derivert til 0.

📝Oppgave 3.2.7

Løys desse utfordrande integrala.

\displaystyle\int (\ln(x))^2 \, dx

\displaystyle\int_1^{e} x^2 \cdot \ln(x) \, dx

\displaystyle\int_0^{\pi/2} x^2 \cdot \cos(x) \, dx

Løs oppgaven

Bruksområde for delvis integrasjon

Delvis integrasjon har mange praktiske bruksområde. Punkt 2 og 3 er fordjuping (utanfor læreplanen) og viser kvar metoden blir brukt vidare:

1. Fysikk - Arbeid og energi:
Arbeidet utført av ein variabel kraft $F(x)$ over ei strekning er $W = \int F(x) \, dx$ . Når krafta er eit produkt av funksjonar, bruker vi delvis integrasjon.

2. Sannsynsrekning (fordjuping, utanfor læreplanen):
Forventningsverdi og varians av kontinuerlege sannsynsfordelingar krev ofte delvis integrasjon.

3. Fourier-analyse (fordjuping, utanfor læreplanen):
Utrekning av Fourier-koeffisientar involverer integral av typen $\int f(x) \sin(nx) \, dx$ og $\int f(x) \cos(nx) \, dx$ .

4. Differensiallikningar:
Løysing av visse differensiallikningar krev delvis integrasjon.

✏️Eksempel 9: Gjennomsnittsverdi

Finn gjennomsnittsverdien til funksjonen $f(x) = x \cdot e^{-x}$ på intervallet $[0, 2]$ .

Løysing:

Gjennomsnittsverdien på $[a, b]$ er gitt ved:

$\bar{f} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx$

Vi må først rekne ut $\int_0^2 x \cdot e^{-x} \, dx$ .

Med delvis integrasjon ( $u = x$ , $v' = e^{-x}$ ):

$\int_0^2 x \cdot e^{-x} \, dx = \Big[-x e^{-x}\Big]_0^2 + \int_0^2 e^{-x} \, dx$

$= (-2e^{-2} - 0) + \Big[-e^{-x}\Big]_0^2$

$= -2e^{-2} + (-e^{-2} + 1)$

$= 1 - 3e^{-2}$

Gjennomsnittsverdien blir:

$\bar{f} = \frac{1}{2-0}(1 - 3e^{-2}) = \frac{1 - 3e^{-2}}{2} \approx 0{,}297$

Svar: Gjennomsnittsverdien er $\displaystyle \frac{1 - 3e^{-2}}{2} \approx 0{,}297$ .

Eksamensrelevante oppgåver

På eksamen i R2 kjem delvis integrasjon ofte i kombinasjon med andre emne. Typiske oppgåver:

- Finn areal avgrensa av grafar der integralet krev delvis integrasjon
- Rekn ut volum av omdreiingslegeme
- Finn gjennomsnittsverdiar

📝Oppgave 3.2.9

Løys desse eksamensrelevante oppgåvene.

Finn arealet av området avgrensa av $y = (x + 1) \cdot e^{-x}$ , $x$ -aksen, $x = 0$ og $x = 1$ .

Finn volumet når området under $y = \ln(x)$ frå $x = 1$ til $x = e$ blir rotert om $x$ -aksen.

Vis at $\displaystyle \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^2(x) \, dx = \frac{\pi}{4}$ ved delvis integrasjon.

Løs oppgaven

📝Oppgave 3.2.10

Blanda oppgåver - vel rett integrasjonsteknikk.

\displaystyle\int x^2 \cdot e^{x^3} \, dx

\displaystyle\int x \cdot \sqrt{1+x^2} \, dx

\displaystyle\int x \cdot \ln(x^2) \, dx

\displaystyle\int e^x \cdot \sin(e^x) \, dx

Når skal du bruke delvis integrasjon?

Bruk delvis integrasjon når:
1. Du har eit produkt av to ulike funksjonstypar
2. Substitusjon ikkje fungerer
3. Ein av funksjonane blir enklare ved derivasjon

Bruk substitusjon når:
1. Du ser den deriverte av ein indre funksjon
2. Integranden har forma $f(g(x)) \cdot g'(x)$

Tips: Prøv substitusjon først - det er ofte raskare!

Oppsummering

Formelen for delvis integrasjon:
$\int u \cdot v' \, dx = u \cdot v - \int u' \cdot v \, dx$

Val av $u$ : vel den faktoren som blir enklare når han vert derivert ( $\ln x$ før polynom), og la $v'$ vere ein faktor som er lett å integrere ( $e^x$ , $\sin x$ , $\cos x$ ).

Spesielle tilfelle:
- Polynom av grad $n$ krev $n$ rundar med delvis integrasjon
- Produkt av $e^x$ og trigonometriske funksjonar gir sirkulær delvis integrasjon
- $\int \ln(x) \, dx = x(\ln(x) - 1) + C$ er eit viktig resultat

Hugs:
- Sjekk alltid svaret ved derivasjon
- Ikkje gløym integrasjonskonstanten $C$
- Vurder om substitusjon er enklare før du startar med delvis integrasjon

Viktige integral frå delvis integrasjon

\begin{aligned} \int x \cdot e^{ax} \, dx &= \frac{e^{ax}}{a^2}(ax - 1) + C \\[6pt] \int x \cdot \sin(ax) \, dx &= \frac{\sin(ax) - ax\cos(ax)}{a^2} + C \\[6pt] \int x \cdot \cos(ax) \, dx &= \frac{\cos(ax) + ax\sin(ax)}{a^2} + C \\[6pt] \int \ln(x) \, dx &= x(\ln(x) - 1) + C \\[6pt] \int x \cdot \ln(x) \, dx &= \frac{x^2}{4}(2\ln(x) - 1) + C \\[6pt] \int e^{ax} \sin(bx) \, dx &= \frac{e^{ax}(a\sin(bx) - b\cos(bx))}{a^2 + b^2} + C \\[6pt] \int e^{ax} \cos(bx) \, dx &= \frac{e^{ax}(a\cos(bx) + b\sin(bx))}{a^2 + b^2} + C \end{aligned}

Desse resultata er nyttige å hugse og kan brukast direkte i utrekningar.

Generelle formlar for polynom

\begin{aligned} \int x^n \cdot e^x \, dx &= e^x \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k} \frac{n!}{k!} x^k + C \\[1em] \text{For } n = 1: \quad &e^x(x - 1) + C \\ \text{For } n = 2: \quad &e^x(x^2 - 2x + 2) + C \\ \text{For } n = 3: \quad &e^x(x^3 - 3x^2 + 6x - 6) + C \end{aligned}

Legg merke til mønsteret: koeffisientane er $\displaystyle \frac{n!}{k!}$ med vekslande forteikn.

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Innleiing

Utleiing av formelen

Val av uuu og v′v'v′

Gjentatt delvis integrasjon

Tabellbasert delvis integrasjon

Sirkulær delvis integrasjon

Bestemt integral med delvis integrasjon

Bruksområde for delvis integrasjon

Eksamensrelevante oppgåver

Oppsummering

Val av $u$ og $v'$