Tilbake
2.3
Integrasjon av 1/x og eksponentialfunksjoner

2.3 Integrasjon av 1/x og eksponentialfunksjoner

Alle fag for VG3

Spesielle integraler med ln og e^x.

50 min
12 oppgaver
LogaritmeEksponentialfunksjonln xe^x
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 12 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Brukes videre i
3.3Delbrøkoppspalting

Integrasjon av spesielle funksjonar

I dette kapittelet skal vi sjå på integrasjon av funksjonar som gir logaritmar og eksponentialfunksjonar som resultat. Desse integrala dukkar opp i mange praktiske samanhengar, mellom anna ved modellering av vekst, forfall og straumning.

Vi startar med det viktige integralet av 1x\displaystyle \frac{1}{x}, som gir den naturlege logaritmen.

Integralet av 1/x
For x≠0x \neq 0 har vi:

∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C

Vi bruker absoluttverdi fordi ln⁡x\ln x berre er definert for x>0x > 0, men 1x\displaystyle \frac{1}{x} er definert for alle x≠0x \neq 0.

Verifisering: Vi kan sjekke dette ved å derivere: ddx[ln⁡∣x∣]=1x\displaystyle \frac{d}{dx}[\ln|x|] = \frac{1}{x}

✏️Eksempel 1: Grunnleggjande integral med 1/x

Rekn ut ∫3x dx\displaystyle \displaystyle\int \frac{3}{x} \, dx.

Vi trekkjer konstanten utanfor integralet:

∫3x dx=3∫1x dx=3ln⁡∣x∣+C\int \frac{3}{x} \, dx = 3 \int \frac{1}{x} \, dx = 3\ln|x| + C

📝Oppgave 1

Rekn ut ∫5x dx\displaystyle \displaystyle\int \frac{5}{x} \, dx.

Integralet av e^x
Den naturlege eksponentialfunksjonen exe^x er sin eigen deriverte, og dermed òg sitt eige integral:

∫ex dx=ex+C\int e^x \, dx = e^x + C

Dette er ein av dei enklaste og viktigaste integralformlane.

✏️Eksempel 2: Integral med e^x

Rekn ut ∫(ex+2x) dx\displaystyle\int (e^x + 2x) \, dx.

Vi integrerer ledd for ledd:

∫(ex+2x) dx=∫ex dx+∫2x dx=ex+x2+C\int (e^x + 2x) \, dx = \int e^x \, dx + \int 2x \, dx = e^x + x^2 + C

📝Oppgave 2

Rekn ut ∫(3ex−4x) dx\displaystyle\int (3e^x - 4x) \, dx.

Integralet av e^(kx)
For ein konstant k≠0k \neq 0:

∫ekx dx=1kekx+C\int e^{kx} \, dx = \frac{1}{k} e^{kx} + C

Verifisering: ddx[1kekx]=1k⋅k⋅ekx=ekx\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{1}{k} e^{kx}\right] = \frac{1}{k} \cdot k \cdot e^{kx} = e^{kx}

✏️Eksempel 3: Integral med e^(kx)

Rekn ut ∫e3x dx\displaystyle\int e^{3x} \, dx og ∫e−2x dx\displaystyle\int e^{-2x} \, dx.

a) For e3xe^{3x} har vi k=3k = 3:
∫e3x dx=13e3x+C\int e^{3x} \, dx = \frac{1}{3} e^{3x} + C

b) For e−2xe^{-2x} har vi k=−2k = -2:
∫e−2x dx=1−2e−2x+C=−12e−2x+C\int e^{-2x} \, dx = \frac{1}{-2} e^{-2x} + C = -\frac{1}{2} e^{-2x} + C

📝Oppgave 3

Rekn ut ∫4e5x dx\displaystyle\int 4e^{5x} \, dx og ∫e−x dx\displaystyle\int e^{-x} \, dx.

Integralet av a^x
For ein konstant a>0a > 0, a≠1a \neq 1:

∫ax dx=axln⁡a+C\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C

Verifisering: Vi veit at ddx[ax]=axln⁡a\displaystyle \frac{d}{dx}[a^x] = a^x \ln a, difor:
ddx[axln⁡a]=axln⁡aln⁡a=ax\frac{d}{dx}\left[\frac{a^x}{\ln a}\right] = \frac{a^x \ln a}{\ln a} = a^x

✏️Eksempel 4: Integral med a^x

Rekn ut ∫2x dx\displaystyle\int 2^x \, dx.

Vi bruker formelen med a=2a = 2:

∫2x dx=2xln⁡2+C\int 2^x \, dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C

Dette kan skrivast som 2xln⁡2+C≈1,44⋅2x+C\displaystyle \frac{2^x}{\ln 2} + C \approx 1{,}44 \cdot 2^x + C

📝Oppgave 4

Rekn ut ∫3x dx\displaystyle\int 3^x \, dx og ∫5⋅2x dx\displaystyle\int 5 \cdot 2^x \, dx.

📜Kjerneregelen for integrasjon
Dersom u=g(x)u = g(x) er ein deriverbar funksjon, så har vi:

∫f(g(x))⋅g′(x) dx=F(g(x))+C\int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = F(g(x)) + C

der FF er ein antiderivert av ff.

Spesielt for logaritmar:
∫g′(x)g(x) dx=ln⁡∣g(x)∣+C\int \frac{g'(x)}{g(x)} \, dx = \ln|g(x)| + C

Spesielt for eksponentialfunksjonar:
∫g′(x)⋅eg(x) dx=eg(x)+C\int g'(x) \cdot e^{g(x)} \, dx = e^{g(x)} + C

✏️Eksempel 5: Kjerneregelen med ln

Rekn ut ∫2xx2+1 dx\displaystyle \displaystyle\int \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx.

Vi set g(x)=x2+1g(x) = x^2 + 1. Då er g′(x)=2xg'(x) = 2x.

Integralet har forma ∫g′(x)g(x) dx\displaystyle \int \frac{g'(x)}{g(x)} \, dx, så vi bruker kjerneregelen:

∫2xx2+1 dx=ln⁡∣x2+1∣+C=ln⁡(x2+1)+C\int \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx = \ln|x^2 + 1| + C = \ln(x^2 + 1) + C

(Vi slepp absoluttverdi sidan x2+1>0x^2 + 1 > 0 for alle xx.)

📝Oppgave 5

Rekn ut ∫3x2x3+5 dx\displaystyle \displaystyle\int \frac{3x^2}{x^3 + 5} \, dx og ∫cos⁡xsin⁡x dx\displaystyle \displaystyle\int \frac{\cos x}{\sin x} \, dx.

✏️Eksempel 6: Kjerneregelen med e^x

Rekn ut ∫2x⋅ex2 dx\displaystyle\int 2x \cdot e^{x^2} \, dx.

Vi set g(x)=x2g(x) = x^2. Då er g′(x)=2xg'(x) = 2x.

Integralet har forma ∫g′(x)⋅eg(x) dx\int g'(x) \cdot e^{g(x)} \, dx, så:

∫2x⋅ex2 dx=ex2+C\int 2x \cdot e^{x^2} \, dx = e^{x^2} + C

Kontroll: ddx[ex2]=ex2⋅2x=2x⋅ex2\displaystyle \frac{d}{dx}[e^{x^2}] = e^{x^2} \cdot 2x = 2x \cdot e^{x^2} \checkmark

📝Oppgave 6

Rekn ut ∫(3x2+2)⋅ex3+2x dx\displaystyle\int (3x^2 + 2) \cdot e^{x^3 + 2x} \, dx.

Bestemt integral med ln og e^x
For bestemte integral bruker vi fundamentalteoremet i analysen:

∫ab1x dx=[ln⁡∣x∣]ab=ln⁡∣b∣−ln⁡∣a∣\int_a^b \frac{1}{x} \, dx = \Big[\ln|x|\Big]_a^b = \ln|b| - \ln|a|

∫abex dx=[ex]ab=eb−ea\int_a^b e^x \, dx = \Big[e^x\Big]_a^b = e^b - e^a

Merk: For ∫1x dx\displaystyle \int \frac{1}{x} \, dx må aa og bb ha same forteikn (begge positive eller begge negative).

✏️Eksempel 7: Bestemt integral

Rekn ut ∫1e1x dx\displaystyle \displaystyle\int_1^e \frac{1}{x} \, dx og ∫02ex dx\displaystyle\int_0^2 e^x \, dx.

a) ∫1e1x dx=[ln⁡∣x∣]1e=ln⁡e−ln⁡1=1−0=1\displaystyle \displaystyle\int_1^e \frac{1}{x} \, dx = \Big[\ln|x|\Big]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1

b) ∫02ex dx=[ex]02=e2−e0=e2−1≈6,39\displaystyle\int_0^2 e^x \, dx = \Big[e^x\Big]_0^2 = e^2 - e^0 = e^2 - 1 \approx 6{,}39

📝Oppgave 7

Rekn ut ∫142x dx\displaystyle \displaystyle\int_1^4 \frac{2}{x} \, dx og ∫013e2x dx\displaystyle\int_0^1 3e^{2x} \, dx.

Oppsummering

FunksjonIntegral
1x\displaystyle \frac{1}{x}ln⁡∣x∣+C\ln|x| + C
exe^xex+Ce^x + C
ekxe^{kx}1kekx+C\displaystyle \frac{1}{k}e^{kx} + C
axa^xaxln⁡a+C\displaystyle \frac{a^x}{\ln a} + C
g′(x)g(x)\displaystyle \frac{g'(x)}{g(x)}ln⁡∣g(x)∣+C\ln|g(x)| + C
g′(x)⋅eg(x)g'(x) \cdot e^{g(x)}eg(x)+Ce^{g(x)} + C
Repetisjonsoppgåver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.