2.3 Integrasjon av 1/x og eksponentialfunksjoner

Hullet i potensregelen

Forrige kapittel etterlot oss med et mysterium. Potensregelen $\displaystyle \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ virker for alle eksponenter — unntatt én. For $n = -1$ bryter den sammen i en deling på null. Men funksjonen $\displaystyle \frac{1}{x}$ er da ikke noe monster? Grafen er glatt og pen, arealet under den er høyst reelt. Noe må da være dens antideriverte!

Svaret er en av matematikkens vakreste overraskelser: antideriverten til $\displaystyle \frac{1}{x}$ er ikke en potensfunksjon i det hele tatt, men den naturlige logaritmen. Husk fra R1 at $\displaystyle (\ln x)' = \frac{1}{x}$ — der ligger løsningen og venter.

I dette kapittelet tetter vi hullet og utvider samtidig repertoaret med eksponentialfunksjonene $e^x$, $e^{kx}$ og $a^x$ — funksjonene som styrer vekst og forfall i naturen. Til slutt lærer vi å kjenne igjen kjerneregelens fotavtrykk i integraler, et mønster som løser tilsynelatende håpløse oppgaver på én linje.

Logaritmen tetter hullet

Siden $\displaystyle (\ln x)' = \frac{1}{x}$, er $\ln x$ en antiderivert til $\displaystyle \frac{1}{x}$ — i hvert fall for $x > 0$, der $\ln x$ er definert. Men $\displaystyle \frac{1}{x}$ lever også på den negative siden av tallinja. Der redder absoluttverdien oss: for $x < 0$ er $\displaystyle (\ln|x|)' = (\ln(-x))' = \frac{-1}{-x} = \frac{1}{x}$. Dermed gjelder for alle $x \neq 0$:

$$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$$

Absoluttverditegnet er altså ikke pynt — det gjør formelen gyldig på begge sider av null. Konstantfaktorer blir med som vanlig: $\displaystyle \int \frac{3}{x}\,dx = 3\ln|x| + C$.

For bestemte integraler (som vi snart skal regne mange av) gir dette $\displaystyle \int_a^b \frac{1}{x}\,dx = \ln|b| - \ln|a|$, forutsatt at $a$ og $b$ har samme fortegn — vi kan ikke integrere tvers over bruddet i $x = 0$. Et særlig pent tilfelle:

$$\int_1^e \frac{1}{x} \, dx = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1$$

Arealet under hyperbelen fra $1$ til $e$ er nøyaktig $1$ — det er faktisk en av måtene tallet $e$ kan defineres på. Hullet i potensregelen viste seg å skjule en av analysens dypeste forbindelser.

Eksponentialfunksjonene — vekstens integraler

Nå til funksjonene som modellerer alt fra bakterievekst til bankrenter. Aller enklest er $e^x$: siden $(e^x)' = e^x$, er funksjonen også sitt eget integral:

$$\int e^x \, dx = e^x + C$$

I praksis møter vi oftere $e^{kx}$ — vekst eller forfall med rate $k$. Derivasjonen av $e^{kx}$ spytter ut en faktor $k$ (kjerneregelen), så integrasjonen må kompensere med å dele:

$$\int e^{kx} \, dx = \frac{1}{k} e^{kx} + C \qquad (k \neq 0)$$

Sjekk: $\displaystyle \left(\frac{1}{k}e^{kx}\right)' = \frac{1}{k} \cdot k \cdot e^{kx} = e^{kx}$. ✓ Konkret: $\displaystyle \int e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}e^{3x} + C$ og $\displaystyle \int e^{-2x}\,dx = -\frac{1}{2}e^{-2x} + C$ — pass på fortegnet når $k$ er negativ.

Også andre grunntall lar seg integrere. Fra $(a^x)' = a^x \ln a$ følger

$$\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \qquad (a > 0,\ a \neq 1)$$

slik at for eksempel $\displaystyle \int 2^x\,dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C$.

Bestemte integraler går som før via antideriverten: $\int_0^2 e^x\,dx = e^2 - e^0 = e^2 - 1 \approx 6{,}39$. Legg merke til hvor mye areal som gjemmer seg under en eksponentialkurve allerede på et kort intervall — det er vekstens natur.

Kjerneregelens fotavtrykk

Nå kommer kapittelets mest elegante idé. Husk kjerneregelen forlengs: $(F(g(x)))' = f(g(x)) \cdot g'(x)$. Leser vi den baklengs, sier den at integraler på formen «funksjon av en kjerne, ganget med kjernens deriverte» løses umiddelbart:

$$\int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = F(g(x)) + C$$

To spesialtilfeller er så vanlige at de fortjener å stå i ramme. Brøker der telleren er nevnerens deriverte:

$$\int \frac{g'(x)}{g(x)} \, dx = \ln|g(x)| + C$$

og eksponentialuttrykk der kjernens deriverte står som faktor:

$$\int g'(x) \cdot e^{g(x)} \, dx = e^{g(x)} + C$$

Se mønsteret i aksjon. I $\displaystyle \int \frac{2x}{x^2+1}\,dx$ er nevneren $g(x) = x^2 + 1$ og telleren nøyaktig $g'(x) = 2x$ — altså

$$\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx = \ln(x^2+1) + C$$

(absoluttverdien kan sløyfes siden $x^2 + 1 > 0$). Og i $\int 2x \cdot e^{x^2}\,dx$ er kjernen $x^2$ med derivert $2x$ på plass som faktor:

$$\int 2x \cdot e^{x^2}\,dx = e^{x^2} + C$$

Treningen består i å se mønsteret: sjekk om telleren er nevnerens deriverte, eller om eksponentens deriverte står ved siden av. Dette blikket blir til en fullverdig teknikk — substitusjon — i kapittel 3.1.

Oppsummering: hullet er tettet, repertoaret utvidet

Mysteriet fra forrige kapittel er løst: $\displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$, med absoluttverdien som sørger for gyldighet på begge sider av null. Logaritmen — som i R1 mest var et regneverktøy — viste seg å være den manglende brikken i integralregningen, og arealet under $\displaystyle \frac{1}{x}$ fra $1$ til $e$ er nøyaktig $1$.

Eksponentialfunksjonene føyde seg pent inn: $\int e^x\,dx = e^x + C$, $\displaystyle \int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$ og $\displaystyle \int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ — i hvert tilfelle kompenserer vi for faktoren derivasjonen ville produsert. Og viktigst for veien videre: vi lærte å kjenne igjen kjerneregelens fotavtrykk. Mønstrene $\displaystyle \int \frac{g'}{g}\,dx = \ln|g| + C$ og $\int g' e^{g}\,dx = e^{g} + C$ løser integraler som ser avskrekkende ut, bare vi ser at kjernens deriverte står klar i uttrykket.

Så langt har vi samlet antideriverte. Men hva er egentlig et bestemt integral — hvorfor gir $F(b) - F(a)$ et areal? For å svare på det må vi tilbake til antikkens Hellas, til en mann som tegnet sirkler i sanden mens Syrakus falt.