1.6 Induksjonsbevis | Matematikk R2

Matematisk induksjon

Korleis kan vi bevise at ein formel gjeld for alle naturlege tal? Vi kan ikkje sjekke uendeleg mange tilfelle.

Matematisk induksjon lèt oss bevise påstandar for alle naturlege tal ved å bruke eit endeleg argument. Tenk på dominobrikker: dersom den første fell og kvar brikke veltar den neste, fell alle.

Matematisk induksjon

P(n)

✏️Døme 1: Sumformel

Bevis at $\displaystyle 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ for alle $n \geq 1$ .

Lat

P(n)

\displaystyle 1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}

Basissteg ( $n = 1$ ):
VS: $1$ , HS: $\displaystyle \frac{1 \cdot 2}{2} = 1$ ✓

Induksjonssteg:
Anta $P(k)$ : $\displaystyle 1 + 2 + \cdots + k = \frac{k(k+1)}{2}$

Vis $P(k+1)$ :
$1 + 2 + \cdots + k + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1)$
$= \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$

Dette er $P(k+1)$ . ✓

Ved induksjon gjeld formelen for alle $n \geq 1$ .

📝Oppgave 1

Bevis ved induksjon at $1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1) = n^2$ for alle $n \geq 1$ .

✏️Døme 2: Ulikskap

Bevis ved induksjon at $2^n > n$ for alle $n \geq 1$ .

Basissteg ( $n = 1$ ):

2^1 = 2 > 1

✓

Induksjonssteg:
Anta $2^k > k$ .

$2^{k+1} = 2 \cdot 2^k > 2k \geq k + 1$
(sidan $k \geq 1$ )

Altså $2^{k+1} > k + 1$ ✓

Ved induksjon gjeld $2^n > n$ for alle $n \geq 1$ .

📝Oppgave 2

Bevis ved induksjon at $n! > 2^n$ for alle $n \geq 4$ .

✏️Døme 3: Deleleg

Bevis at $n^3 - n$ er deleleg med 6 for alle $n \geq 1$ .

Basissteg ( $n = 1$ ):

1^3 - 1 = 0

, og

6 | 0

✓

Induksjonssteg:
$(k+1)^3 - (k+1) = (k^3 - k) + 3k(k+1)$

- $(k^3 - k)$ er deleleg med 6 (induksjonshypotesen)
- $k(k+1)$ er deleleg med 2 (to påfølgjande tal)
- Dermed er $3k(k+1)$ deleleg med 6

Summen er deleleg med 6. ✓

Ved induksjon er $n^3 - n$ deleleg med 6 for alle $n \geq 1$ .

📝Oppgave 3

Bevis at $4^n - 1$ er deleleg med 3 for alle $n \geq 1$ .

Oppsummering

Tips for induksjonsbevis:
- Formuler påstanden $P(n)$ klart
- Sjekk alltid basissteget først
- Bruk induksjonshypotesen eksplisitt
- Vis tydeleg korleis du får $P(k+1)$ frå $P(k)$

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver