1.3 Geometriske følger | Matematikk R2

Kva er ei geometrisk følgje?

I førre kapittel såg vi på aritmetiske følgjer, der vi adderer ein fast differanse $d$ for å gå frå eitt ledd til det neste. No skal vi sjå på geometriske følgjer.

I ei geometrisk følgje går vi frå eitt ledd til det neste ved å multiplisere med eit fast tal $k$ , som vert kalla kvotienten.

Eksempel frå kvardagen:
- Rentes rente (banksparing og lån)
- Folkevekst
- Radioaktiv nedbryting

Geometrisk følgje

k

✏️Eksempel 1: Er følgja geometrisk?

Avgjer om $3, 6, 12, 24, 48, \ldots$ er ei geometrisk følgje.

Vi sjekkar forholda:
$\displaystyle \frac{6}{3} = 2$
$\displaystyle \frac{12}{6} = 2$
$\displaystyle \frac{24}{12} = 2$

Forholdet er konstant, så følgja er geometrisk med $k = 2$ .

📝Oppgave 1

Avgjer om $81, 27, 9, 3, \ldots$ er ei geometrisk følgje. Finn i så fall $k$ .

📜Eksplisitt formel

For ei geometrisk følgje med første ledd

a_1

og kvotient

k

$a_n = a_1 \cdot k^{n-1}$

✏️Eksempel 2: Finne eit bestemt ledd

Ei geometrisk følgje har $a_1 = 5$ og $k = 2$ . Finn $a_8$ .

a_8 = 5 \cdot 2^{8-1} = 5 \cdot 2^7 = 5 \cdot 128 = 640

📝Oppgave 2

Ei geometrisk følgje har $a_1 = 4$ og $k = 3$ . Finn $a_6$ .

✏️Eksempel 3: Finne kvotienten

I ei geometrisk følgje er $a_2 = 12$ og $a_5 = 324$ . Finn $k$ .

Frå $a_2$ til $a_5$ er det $5 - 2 = 3$ steg.

$a_5 = a_2 \cdot k^3$
$324 = 12 \cdot k^3$
$k^3 = 27$
$k = 3$

📝Oppgave 3

I ei geometrisk følgje er $a_3 = 20$ og $a_6 = 540$ . Finn $k$ og $a_1$ .

Vekstfaktor og prosentvis endring

Kvotienten $k$ vert ofte kalla vekstfaktoren:

$k = 1 + \frac{p}{100}$

der $p$ er prosentvis endring.

Eksempel:
- 5% auke: $k = 1{,}05$
- 3% nedgang: $k = 0{,}97$

✏️Eksempel 4: Rentes rente

Du set 10 000 kr i banken med 4% årleg rente. Kor mykje har du etter 5 år?

Vekstfaktoren er $k = 1{,}04$ .

$a_5 = 10\,000 \cdot 1{,}04^5 = 10\,000 \cdot 1{,}2167 \approx 12\,167$ kr

📝Oppgave 4

Ein bil mister 15% av verdien kvart år. Han kosta 300 000 kr ny. Kva er han verd etter 3 år?

✏️Eksempel 5: Halveringstid

Eit radioaktivt stoff har halveringstid på 10 år. Du startar med 200 gram. Kor mykje er igjen etter 30 år?

Halveringstid tyder $k = 0{,}5$ per periode.

30 år = 3 halveringsperiodar.

$a_3 = 200 \cdot 0{,}5^3 = 200 \cdot 0{,}125 = 25$ gram

📝Oppgave 5

Bakteriar doblar seg kvar time. Du startar med 100 bakteriar. Når er det over 10 000?

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Geometrisk følgje: Ei følgje der forholdet (kvotienten) $\displaystyle k = \frac{a_{n+1}}{a_n}$ er konstant.
- Eksplisitt formel: $a_n = a_1 \cdot k^{n-1}$ .
- Finne kvotienten: Frå to kjende ledd: $a_m = a_n \cdot k^{m-n}$ gjev ei likning for $k$ .
- Bruksområde: Rentes rente (vekstfaktor $\displaystyle k = 1 + \frac{p}{100}$ ), halveringstid ( $\displaystyle k = \frac{1}{2}$ ) og verditap ( $\displaystyle k = 1 - \frac{p}{100}$ ).

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Geometrisk følgje	Konstant forhold mellom påfølgjande ledd
Kvotient $k$	$\displaystyle k = \frac{a_{n+1}}{a_n}$
Vekstfaktor	$\displaystyle 1 \pm \frac{p}{100}$ ved prosentvis endring
Halveringstid	Tida det tek før verdien er halvert

Viktige formlar

a_n = a_1 \cdot k^{n-1}

- Rentes rente: verdi etter

n

år

\displaystyle = \text{startverdi} \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver