7.6 Sinussetningen og cosinussetningen | Matematikk R1

Sinussetningen, cosinussetningen og arealsetningen for vilkårlige trekanter.

55 min

20 oppgaver

SinussetningenCosinussetningenArealsetningenVilkårlige trekanter

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 20 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

7.1Trigonometriske funksjoner og enhetssirkelen

Sinussetninga og cosinussetninga

Pytagoras' setning gjeld berre for rettvinkla trekantar. Men i mange praktiske situasjonar har vi trekantar utan rette vinklar. Då treng vi meir generelle verktøy: sinussetninga og cosinussetninga.

I ein vilkårleg trekant $ABC$ bruker vi notasjonen:
- Sidene $a$ , $b$ , $c$ er motståande til vinklane $A$ , $B$ , $C$
- Side $a$ er motståande til vinkel $A$ , osv.

Sinussetninga

Sinussetninga gir ein samanheng mellom sider og motståande vinklar i ein trekant.

📜Sinussetninga

I ein vilkårleg trekant

ABC

gjeld:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Ekvivalent:

$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$

Når blir sinussetninga brukt? Når du kjenner ei side og den motståande vinkelen, pluss ei ekstra opplysning (ei anna side eller vinkel).

✏️Eksempel 1: Bruk av sinussetninga

I trekant $ABC$ er $A = 40°$ , $B = 75°$ og $a = 12$ . Finn $b$ og $c$ .

Løysing:

Steg 1: Finn vinkel $C$ :
$C = 180° - 40° - 75° = 65°$

Steg 2: Bruk sinussetninga til å finne $b$ :
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$
$\frac{12}{\sin 40°} = \frac{b}{\sin 75°}$
$b = \frac{12 \cdot \sin 75°}{\sin 40°} = \frac{12 \cdot 0{,}9659}{0{,}6428} \approx 18{,}03$

Steg 3: Finn $c$ :
$c = \frac{12 \cdot \sin 65°}{\sin 40°} = \frac{12 \cdot 0{,}9063}{0{,}6428} \approx 16{,}92$

📝Oppgave 1

Bruk sinussetninga til å finne dei ukjende storleikane i trekant $ABC$ .

A = 50°

B = 60°

a = 10

. Finn

b

A = 35°

C = 80°

c = 15

. Finn

a

b

Tvitydingsproblemet

Når vi kjenner to sider og ein motståande vinkel (SSV-tilfellet), kan det oppstå to moglege trekantar. Dette blir kalla tvitydingsproblemet.

Problemet oppstår fordi likninga $\sin B = k$ (med $0 < k < 1$ ) har to løysingar i $(0°, 180°)$ : ein spiss og ein stump vinkel.

Når oppstår tviting?

Gitt: side $a$ , side $b$ og vinkel $A$ (motståande $a$ ).

- Om $A \geq 90°$ : Inga tviting (berre éin mogleg trekant, eller inga løysing)
- Om $A < 90°$ og $a \geq b$ : Inga tviting (største side motståande største vinkel)
- Om $A < 90°$ og $a < b$ : Mogleg tviting -- sjekk om både $B$ og $180° - B$ gir ein gyldig trekant

✏️Eksempel 2: Tvitydingsproblemet

I trekant $ABC$ er $a = 8$ , $b = 12$ og $A = 30°$ . Finn moglege verdiar for vinkel $B$ .

Løysing:

Sinussetninga gir:
$\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin A}{a} \Rightarrow \sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{12 \cdot \sin 30°}{8} = \frac{12 \cdot 0{,}5}{8} = 0{,}75$

$B = \arcsin(0{,}75) \approx 48{,}6°$ eller $B \approx 180° - 48{,}6° = 131{,}4°$

Sjekk begge:
- $B \approx 48{,}6°$ : $C \approx 180° - 30° - 48{,}6° = 101{,}4°$ ✓ (gyldig trekant)
- $B \approx 131{,}4°$ : $C \approx 180° - 30° - 131{,}4° = 18{,}6°$ ✓ (òg gyldig trekant)

Det er to moglege trekantar!

📝Oppgave 2

Avgjer om det er null, éin eller to moglege trekantar, og finn løysinga(ne).

a = 5

b = 8

A = 30°

a = 3

b = 7

A = 40°

a = 10

b = 6

A = 50°

Cosinussetninga

Cosinussetninga er ei generalisering av Pytagoras' setning til vilkårlege trekantar. Ho er særleg nyttig når vi kjenner tre sider (SSS) eller to sider og den mellomliggjande vinkelen (SVS).

📜Cosinussetninga

I ein vilkårleg trekant

ABC

gjeld:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

Tilsvarande for dei andre sidene:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$

Spesialtilfelle: Når $C = 90°$ får vi $c^2 = a^2 + b^2$ (Pytagoras).

✏️Eksempel 3: Finn ei ukjend side

I trekant $ABC$ er $a = 7$ , $b = 10$ og $C = 60°$ . Finn $c$ .

Løysing:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$
$= 7^2 + 10^2 - 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \cos 60°$
$= 49 + 100 - 140 \cdot 0{,}5$
$= 149 - 70 = 79$

$c = \sqrt{79} \approx 8{,}89$

✏️Eksempel 4: Finn ein ukjend vinkel

I trekant $ABC$ er $a = 5$ , $b = 7$ og $c = 9$ . Finn vinkel $C$ .

Løysing:

Vi løyser cosinussetninga for $\cos C$ :

$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{25 + 49 - 81}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{-7}{70} = -0{,}1$

$C = \arccos(-0{,}1) \approx 95{,}7°$

Vinkel $C$ er stump, noko som gir meining fordi $c$ er den lengste sida.

📝Oppgave 3

Bruk cosinussetninga.

a = 5

b = 8

C = 45°

. Finn

c

a = 6

b = 8

c = 10

. Finn vinkel

C

a = 4

b = 5

c = 8

. Finn største vinkel.

Løs oppgaven Tren

Arealsetninga

Arealsetninga gir oss ein elegant formel for arealet av ein trekant når vi kjenner to sider og den mellomliggjande vinkelen.

📜Arealsetninga

Arealet av ein trekant med sider

a

b

og mellomliggjande vinkel

C

er:

$A = \frac{1}{2}ab\sin C$

Tilsvarande: $\displaystyle A = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2}bc\sin A$

Spesialtilfelle: Når $C = 90°$ : $\displaystyle A = \frac{1}{2}ab$ (den vanlege arealformelen).

✏️Eksempel 5: Areal med arealsetninga

Finn arealet av trekant $ABC$ der $a = 8$ , $b = 11$ og $C = 50°$ .

Løysing:

$A = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 11 \cdot \sin 50°$

$= 44 \cdot 0{,}766 = 33{,}7$

Arealet er ca. $33{,}7$ arealeiningar.

📝Oppgave 4

Finn arealet av trekantane.

a = 6

b = 9

C = 30°

b = 10

c = 12

A = 120°

Likesida trekant med side $s = 8$

Løs oppgaven Tren

Kjend informasjon	Metode
To vinklar + ei side (VVS)	Sinussetninga
To sider + motståande vinkel (SSV)	Sinussetninga (obs: tviting!)
To sider + mellomliggjande vinkel (SVS)	Cosinussetninga
Tre sider (SSS)	Cosinussetninga
To sider + mellomliggjande vinkel (areal)	Arealsetninga

Praktiske bruksområde

Sinussetninga og cosinussetninga blir brukte i mange praktiske samanhengar: landmåling, navigasjon, kartlegging, konstruksjon og fysikk.

✏️Eksempel 6: Landmåling

Frå to punkt $A$ og $B$ på bakken, som er $200$ m frå kvarandre, blir vinklane til eit tårn $C$ på ei øy målte. Frå $A$ er vinkelen $\angle BAC = 63°$ og frå $B$ er vinkelen $\angle ABC = 72°$ . Finn avstanden frå $A$ til tårnet.

Løysing:

Steg 1: Finn vinkel $C$ :
$C = 180° - 63° - 72° = 45°$

Steg 2: Vi kjenner $c = AB = 200$ m og skal finne $b = AC$ . Bruker sinussetninga:

$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

$b = \frac{c \cdot \sin B}{\sin C} = \frac{200 \cdot \sin 72°}{\sin 45°} = \frac{200 \cdot 0{,}9511}{0{,}7071} \approx 269 \text{ m}$

Avstanden frå $A$ til tårnet er ca. $269$ m.

📝Oppgave 5

To vegar går ut frå eit kryss med ein vinkel på $65°$ mellom seg. Person $A$ går $300$ m langs den eine vegen og person $B$ går $400$ m langs den andre. Finn avstanden mellom $A$ og $B$ .

📝Oppgave 6

Eit skip seglar frå hamn $A$ til hamn $B$ (avstand $80$ km). Skipet seglar først $50$ km i retning $N30°O$ til eit punkt $P$ , og deretter vidare til $B$ . Vinkelen $\angle APB = 110°$ . Finn avstanden $PB$ .

📝Oppgave 7

Finn alle vinklane i trekant $ABC$ med sider $a = 5$ , $b = 6$ , $c = 7$ .

📝Oppgave 8

I eit parallellogram er sidene $8$ cm og $12$ cm, og den minste vinkelen er $55°$ . Finn lengda av begge diagonalane.

📝Oppgave 9

Finn arealet av trekant $ABC$ med sider $a = 7$ , $b = 9$ og $c = 12$ .

📝Oppgave 10

Eit fly flyg frå by $A$ med kurs $N40°O$ i $250$ km til by $B$ , og deretter med kurs $S70°O$ i $180$ km til by $C$ . Finn avstanden frå $A$ til $C$ .

📝Oppgave 11

Bevis cosinussetninga ved hjelp av vektorar.

📝Oppgave 12

Ei rektangulær tomt har diagonalar på $30$ m og $40$ m som kryssar kvarandre med ein vinkel på $55°$ . Finn arealet av tomta.

📝Oppgave 13

Bruk GeoGebra til å konstruere trekant $ABC$ med $a = 7$ , $b = 10$ , $C = 60°$ . Mål $c$ og verifiser svaret med cosinussetninga.

📝Oppgave 14

Eit regulært femkantområde (pentagon) har sidelengd $s$ . Vis at arealet er $\displaystyle A = \frac{5s^2}{4}\tan 54°$ .

Oppsummering

Sinussetninga: $\displaystyle \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
Blir brukt ved VVS og SSV (obs: tviting!).

Cosinussetninga: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$
Blir brukt ved SVS og SSS.

Arealsetninga: $\displaystyle A = \frac{1}{2}ab\sin C$

Tvitydingsproblemet: Når $\sin B = k$ ( $0 < k < 1$ ) har to løysingar, sjekk om begge gir gyldige trekantar.

Vel metode ut frå kva som er kjent -- sjå tabellen for val av setning.

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.